Germanistische Linguistik (Fach) / Semantik (Lektion)

Diese Lektion wurde von magda_lenan erstellt.

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• Wie äußerten sich Frege und Wittgenstein zum Thema Ausdrucksbedeutung? Ansatz von Gottlob Frege (1848-1925; Logiker und Sprachphilosoph): Wer die Bedeutung eines Satzes kennt, kann beurteilen unter welchen Bedingungen er wahr bzw. falsch ist d.h. Bedeutung eines Satzes ergibt sich aus seinen Wahrheitsbedingungen Wittgenstein (1922; Tractatuslogico-philosophicus): Einen Satz verstehen, heißt, wissen, was der Fall ist, wenn er wahr ist. (Man kann ihn also verstehen, ohne zu wissen, ob er wahr ist.)
• Was versteht man unter einer Proposition? -bezeichnet den durch einen Satz ausgedrückten Sachverhalt/Gedanken -kann wahr oder falsch sein; kann also einen Wahrheitswert annehmen -Wahrheitsbedingungen-Semantik bezieht sich (genau genommen) nicht auf Sätze sondern auf Propositionen
• In welcher Beziehung stehen Propositionen mit Präsuppositionen? Die Bedeutung einer Proposition Φ ist dergestalt, dass sie für jede Situation s, für die die Präsuppositionen von Φ erfüllt sind, angibt, ob Φ in s wahr ist oder falsch.Sind die Präsuppositionen einer Proposition in einer Situation nicht erfüllt, dann hat sie in der Situation keinen Wahrheitswert.
• Wie unterscheiden sich Objekt und Metasprache in der Linguistik? Linguistik: Unterscheidung zwischen Metasprache und Objektsprache; Konvention: objektsprachliche Ausdrücke werden kursiv gesetzt Doppelte eckige Klammern, um zu kennzeichnen, dass die Bedeutung eines objektsprachlichen Ausdrucks gemeint ist: [[Bart]] = die Bedeutung von Bart [[Der Bart ist lang]] = die Bedeutung von Der Bart ist lang Einfache Anführungszeichen zur Kennzeichnung der Metasprache für Bedeutungen: Das niederländische Wort oorlog bedeutet ‘Krieg’. Alle Katzen sind nicht grau. a. ‘Für alle Katzen gilt, dass sie nicht grau sind.’ b. ‘Es ist nicht der Fall, dass alle Katzen grau sind.’
• Welches sind die drei Ebenen der Satzbedeutung? Ausdrucksbedeutung (Semantik:Bedeutung des sprachlichen Ausdrucks an sich), wörtliche Bedeutung, kontextunabhängig Äußerungsbedeutung (Semantik/Pragmatik: zur Interpretaion von deiktischen Begriffen->Kontext) wörtliche Bedeutung in der Äußerungssituation Kommunikativer Sinn (Pragmatik) In Kommunikation intendierte (beabsichtigte/gemeinte Bedeutung)
• Welche Bedeutungsarten/-Aspekte gibt es? Satzmodus/Sprechakt Präsuppositionen Implikaturen Indexikalische Ausdrücke Nebeninformationen Informationsstruktur Expressive und soziale Bedeutung Konnotationen
• Was versteht man unter skalaren Implikaturen? Skalare Implikaturen beziehen sich auf skalare Ausdrücke, d.h. Ausdrücke, die sich auf einer Skala anordnen lassen Beispiele: <alle, die meisten, viele, einige, wenige><immer, meistens, oft, häufig, manchmal, selten> Skalare Implikaturen entstehen durch Befolgung der Maxime der Quantität(erste Submaxime): Sei so informativ wie möglich. Ein höherer Skalenwert (z.B. alle) ist informativer als ein niedrigerer Skalenwert (z.B. einige) Beispiele für skalare Implikaturen: Viele Katzen sind grau. skalare Implikatur: Nicht alle Katzen sind grau. Meistens ist Anton fröhlich. skalare Implikatur: Anton ist nicht immer fröhlich. Einige Menschen tanzen gerne. skalare Implikatur: Nicht alle Menschen tanzen gerne. Bruno ist häufig freundlich. skalare Implikatur: Bruno ist nicht immer freundlich.
• Was sind die wesentlichen Eigenschaften von Präsuppositionen? Illustration am Beispiel: Die Katze schläft. >> Es gibt eine Katze(das Symbol >> steht für präsupponiert) -bleiben unter Negation, Modalität und in Fragen erhalten Die Katze schläft. >> Es gibt eine Katze Die Katze schläft nicht. >> Es gibt eine Katze Schläft die Katze?>> Es gibt eine Katze Vielleicht schläft die Katze. >> Es gibt eine Katze -sind nicht streichbar (können nicht zurückgenommen/annuliertwerden):??Die Katze schläft, aber/und die Katze existiert nicht. -sind nicht bekräftigbar (wenn eine Präsupposition explizit gemacht wird, mutet das merkwürdig an):??Die Katze schläft und die Katze existiert
• Was sind die wesentlichen Eigenschaften von Implikaturen? Illustration am Beispiel: Einige Dozenten sind überfordert. +> Nicht alle Dozenten sind überfordert -sind nicht konstant unter Negation Es ist nicht der Fall, dass einige Dozenten überfordert sind. implikatiertnicht: Nicht alle Dozenten sind überfordert -sind streichbar Einige Dozenten sind überfordert. Eigentlich sind sogar alle überfordert. -sind bekräftigbar Einige Dozenten sind überfordert. Aber nicht alle.
• Wofür stehen deiktische/indexikalische Ausdrücke? ich, du, hier, jetzt, heute: Beispiele für indexikalische Ausdrücke keine Ausdrucksbedeutung, sondern nur Äußerungsbedeutung-d.h. Bedeutung ist nicht kontextunabhängig, sondern hängt von der Äußerungssituation (allgemein: Kontextsituation->Sprecher,Ort,Zeit) ab
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• Wie werden Sätze mit indexikalischen Ausdrücken, also Sätze, die keine Ausdrucksbedeutung haben in der Wahrheitsbedingungen-Semantik analysiert? 1.Ermittlung der Kontextsituation 2.Bestimmung der Äußerungsbedeutung 3.Bestimmung des Wahrheitswertes bezogen auf die Auswertungssituation Beispiel: Ich bin Moderatorin der Tagesthemen. Ausdrucksbedeutung: unbestimmt Kontextsituation: Caren Miosga äußert den Satz am 07.04.2019 Äußerungsbedeutung:‘Caren Miosgaistam 07.04.2019 Moderatorin der Tagesthemen’ Auswertungssituation: die wirkliche Welt
• Was ist das Kompositionalitätsprinzip(auch Frege-Prinzip)? Die Bedeutung eines komplexen Ausdrucks ergibt sich aus den Bedeutungen seiner unmittelbaren syntaktischen Teile und der Art und Weise, wie sie sich syntaktisch zusammensetzen. Beispiel: Der bärtige Greis öffnet die Flasche. Die Bedeutung des Satzes ergibt sich aus der Bedeutung der DP der bärtige Greis und der Bedeutung der VP öffnet die Flasche. Die Bedeutung der NP bärtige Greis ergibt sich aus der Bedeutung von bärtigeund von Greis. Die Bedeutung der VP öffnet die Flasche ergibt sich aus der Bedeutung von öffnetund der DP die Flasche ...
• Welches sind die zwei Prinzipien der klassischen Logik? Bivalenzprinzip(Zweiwertigkeitsprinzip) Jeder Aussage kann einer von zwei Wahrheitswerten zugewiesen werden, wahr oder falsch. Gesetz vom (ausgeschlossenen) Widerspruch Zwei einander widersprechende Aussagen können nicht gleichzeitig wahr sein (d.h. auch, dass eine Aussage nicht gleichzeitig wahr und falsch sein kann)
• Was versteht man unter Tautologie, Kontradiktion, Kontingenz? Unterscheidung zwischen Aussagen, die notwendig wahr oder notwendig falsch sind –unabhängig von der Beschaffenheit der Welt und Aussagen, deren Wahrheitswert von der Beschaffenheit der Welt abhängt. Tautologien: Aussagen, die notwendig wahr sind Beispiel: Elvis ist tot oder Elvis lebt. Kontradiktionen: Aussagen, die notwendig falsch sind. Beispiel: Maria schläft und ist wach. Kontingente Sätze: Aussagen, die je nach Beschaffenheit der Welt wahr oder falsch sind Beispiel: Maria schläft oder Elvis ist tot.
• Was ist eine logische Folgerung (auch Implikation, Achtung nicht Implikatur)? Eine Aussage q folgt aus einer anderen Aussage p, wenn gilt: immer wenn p wahr ist, ist auch q wahr p⇒q zu lesen als: aus p folgt (logisch) q Beispiel: Hans hat eine Wespe getötet. ⇒Hans hat ein Tier getötet. Das Symbol ⇏drückt aus, dass eine Aussage nicht aus einer anderen logisch folgt, Bsp.: Hans hat ein Tier getötet. ⇏Hans hat eine Wespe getötet.
• Was bedeutet Logische Äquivalenz? Eine Aussage p ist logisch äquivalent zu einer anderen Aussage q, wenn p logisch aus q folgt und q logisch aus p folgt p ⇔qzu lesen als: p ist (logisch) äquivalent zu q Beispiel: Ludwigaist älter als Kim. ⇔Kim ist jünger als Ludwiga. Wir können die Definition für die logische Äquivalenz jetzt schon etwas formaler angeben: p⇔q gdw. q⇒p und p⇒q
• Wann sind zwei Aussagen konträr zueinander? Zwei Aussagen pund q sind konträr, wenn gilt, dass nicht sowohl p als auch q wahr sein können (aber beide falsch sein können) Beispiele: Das Auto fährt langsam. ist konträr zu Das Auto fährt schnell.(mittelschnell) Tim ist älter als Tom. ist konträr zu Tim ist jünger als Tom. (können auch gleich alt sein)
• Wann sind zwei Aussagen kontradiktorisch zueinander? Zwei Aussagen pund q sind kontradiktorisch, wenn sowohl gilt, dass nicht sowohl p als auch q wahr sein können als auch dass nicht sowohl p als auch q falsch sein können. Beispiel Elvis ist tot. ist kontradiktorisch zu Elvis lebt. Tim ist älter als Tom. ist kontradiktorisch zu Tim ist nicht älter als Tom.
• Welche aussagenlogischen syntaktischen Regeln gibt es? Negation: ¬p (nicht p) Konjunktion: [p ∧q](p und q) Disjunktion: [p ∨q] (p oder q) Materiale Implikation: [p → q](wenn p dann q) Materiale Äquivalenz: [p ↔ q](p genau dann, wenn q)
• Welche Ausagenlogische Gesetze gibt es? Idempotenz:[p1 ∧p1] ⇔p1 [p1 ∨p1] ⇔p1 Kommutativität:[p1 ∧p2] ⇔[p2 ∧p1]     [p1 ∨p2] ⇔[p2 ∨p1] Assoziativität:[p1 ∧[p2 ∧p3]] ⇔[[p1 ∧p2] ∧p3]                       [p1 ∨[p2 ∨p3]] ⇔[[p1 ∨p2] ∨p3] Distributivität:[p1 ∧[p2 ∨p3]] ⇔[[p1 ∧p2] ∨[p1 ∧p3]]                       [p1 ∨[p2 ∧p3]] ⇔[[p1 ∨p2] ∧[p1 ∨p3]] De Morgan:¬[p1 ∧p2] ⇔[¬p1 ∨¬p2]                   ¬[p1 ∨p2] ⇔[¬p1 ∧¬p2] Konditionalgesetze:[p1 → p2] ⇔[¬p1 ∨p2]                                [p1 → p2] ⇔[¬p2 → ¬p1] Bikonditionalgesetz:[p1 ↔ p2] ⇔[[p1 → p2] ∧[p2 → p1]] Doppelte Negation:¬¬p1 ⇔p1 Komplementgesetze:[p1 ∨¬p1] ⇔⊤[p1 ∧¬p1] ⇔⊥                                  ¬⊤⇔⊥                                  ¬⊥⇔⊤ ⊤: tautologischer Satz; ⊥: kontradiktorischer Satz
• Was ist eine Menge? Eine Menge ist eine abstrakte Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Für jede Menge muss eindeutig festgelegt sein, welche Objekte dazugehören und welche nicht. Objekte, die zu einer Menge gehören, werden als Elemente der Menge bezeichnet. Notation:x ∈A steht für „x ist ein Element der Menge A”              x ∉B steht für „x ist kein Element der Menge B”
• Wie können Mengen spezifiziert werden? Aufzählen der Elemente in geschweiften Klammern: Beispiele: U = {ä, ö, ü}V = {Anna, Berta, Carla, Dora} Abstraktion/Prädikatsnotation =Angabe eines Mengenbildungsgesetzes, d.h. Beschreibung der Eigenschaft(en), die für die Mengenzugehörigkeit erfüllt sein muss: M = {x | E(x)} (zu lesen als: „M ist die Menge aller x, die die Eigenschaft E besitzen“) Beispiele: U = {x | x ist ein Umlaut} N = {x | x ist eine natürliche Zahl}
• Was lässt sich über die Anzahl der Elemente einer Menge sagen? Mengen können unterschiedlich viele Elemente haben: kein Element, ein Element, endlich viele Elemente, unendliche Anzahl von Elementen Leere Menge: Menge, die kein Element enthält; notiert als ∅ oder { } Einermenge: Menge, die genau ein Element enthält zu beachten: eine Einermenge, ist nicht dasselbe wie ihr Element: es gilt a ∈{a}, aber nicht a = {a} Mengen als Elemente von Mengen: Mengen können Elemente von anderen Mengen seinz.B. Einermenge, deren Element eine Menge ist: M = {{a, b}}für diese Menge M gilt {a, b} ∈M und a∉M, b ∉M weitere Beispiele:Z = {{1}, {1,2}, {1,2,3}}                         Q = {{a, b, c}, {{d}, {e, f}}, {g}}
• Wann sind zwei Mengen gleich? Zwei Mengen, A und B, sind gleich, genau dann wenn sie dieselben Elemente enthalten A = B gdw. für alle x gilt: [x ∈A ↔ x ∈B] Die Reihenfolge, in der die Elemente einer Menge angegeben werden, ist beliebig, d.h. unterschiedliche Reihenfolgen derselben Elemente führen nicht zu unterschiedlichen Mengen. Es gilt also: {a, b, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {a, c, b} = {b, a, c} = {c, b, a} Auch die Wiederholung identischer Elemente ändert nichts an der Menge; es gilt also {a, b, c} = {a, b, c, a} = {a, b, b, c, c, c}
• Welche Beziehungen können zwischen zwei Mengen, Aund B, in Bezug auf ihre Elemente bestehen? Möglichkeit 1: A und B haben keine gemeinsame Elemente Möglichkeit 2: A und B haben gemeinsame Elemente; vier Fälle 2.1: Nicht alle Elemente von A sind Elemente von B und nicht alle Elemente von B sind Elemente von A 2.2.1: Alle Elemente von B sind Elemente von A und nicht alle Elemente von A sind Elemente von B 2.2.2: Alle Elemente von A sind Elemente von B und nicht alle Elemente von B sind Elemente von A 2.3: Alle Elemente von A sind Elemente von Bund alle Elemente von Bsind Elemente von A
• Was ist eineTeilmengenbeziehung? Eine Menge die Teil einer anderen Menge ist.(andere Bezeichnung: Inklusion), notiert als: A ⊆B A ist eine Teilmenge von B genau dann, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist: A ⊆B gdw. für jedes x gilt: x ∈A → x ∈B Beispiele:{e, i} ⊆{a, e, i, o, u}∅⊆{a, e, i, o, u}              {a, e, i, o, u} ⊆{a, e, i, o, u} Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge. Nach der Definition der Teilmengenbeziehung ist jede Menge eine Teilmenge ihrer selbst. Dies ist bei der sogenannten echten Teilmenge ausgeschlossen.
• Was ist der Unterschied zwischen einer normalen und einer echten Teilmenge? Teilmenge A ⊆B gdw. für jedes x gilt: x ∈A → x ∈B Echte Teilmenge (Notation: A ⊂B) A ⊂B gdw. A ⊆B ∧A ≠ B Sowohl für die Beziehung der Teilmenge als auch für die Beziehung der echten Teilmenge gilt: die Menge B umfasst alle Elemente der Menge A (jedes Element von A ist auch Element von B) Die Definition der Teilmengenbeziehung schließt nicht aus, dass auch die Menge A alle Elemente der Menge B umfasst, d.h. A = B Die Definition für die echte Teilmenge schließt aus, dass A alle Elemente von B umfasst; für A ⊂B gilt, dass A nicht alle Elemente von B enthält.
• Welche drei Gesetze gelten für die Teilmengenbeziehung? Reflexivität: Für jede Menge A gilt: A ⊆A Transitivität: Wenn A ⊆B und B ⊆C, dann gilt auch: A ⊆C Antisymmetrie: Wenn A ⊆B und B ⊆A, dann gilt: A = B
• Was ist die Kardinalität und die Potenzmenge einer Menge? Kardinalität von Mengen Kardinalität einer Menge = Anzahl ihrer Elemente Notation: #(A) oder card(A) Beispiele: #{e, i} = 2#{{1}, {1,2}, {1,2,3}} = 3 Potenzmenge (engl. power set) Potenzmenge einer Menge = Menge aller Teilmengen dieser Menge Notation: pow(A) = {X | X ⊆A} Beispiel: pow({1, 2, 3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Die Potenzmenge der dreielementigen Beispielmenge hat acht Elemente (d.h. acht Teilmengen); die Potenzmenge einer zwei elementigenMenge hat vier ElementeAllgemein: Wenn #(A) = n, dann #(pow(A)) = 2n
• Was ist Hyponymie in der Teilmengenbeziehung? Hyponymie: Ein sprachlicher Ausdruck B ist ein Hyponymzu A, wenn B ein Unterbegriff von A ist, z.B. ist Dackelein Hyponym von Hund. die Bedeutung von Wörtern wie Dackel und Hund lässt sich als Menge von Objekten darstellen ⟦Dackel⟧= {x | x ist ein Dackel} ⟦Hund⟧= {x | x ist ein Hund} Modellierung der Hyponymiebeziehung über Beziehung der echten Teilmenge: Dackel ist ein Hyponym zu Hund gdw. ⟦Dackel⟧⊂⟦Hund⟧ Transitivität von Hyponymiebeziehung und Teilmengenbeziehung: Wenn Dackel ein Hyponym zu Hund ist, und Hund ein Hyponym zu Tier ist,dann ist Dackel ein Hyponym zu Tier.⟦Dackel⟧⊂⟦Hund⟧∧⟦Hund⟧⊂⟦Tier⟧⇒⟦Dackel⟧⊂⟦Tier⟧
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• Modellierung von Satzbedeutung als Menge von möglichen Situationen Modellierung der Bedeutung eines Satzes als eine Teilmenge der Menge aller möglichen Situationen:Die Bedeutung eines Satzes ist die Menge der Situationen, in denen der Satz wahr ist. Beispiel:⟦Bruno schläft.⟧= {s | Bruno schläft in s} s: Variable über Situationen
• Modellierung der logischen Folgerung als Teilmengenbeziehung wir können nun auch die logische Folgerung über die Teilmengenbeziehungerfassen: ⟦Bruno tanzt.⟧⊆⟦Bruno bewegt sich.⟧ Generell: p ⇒q gdw. ⟦p⟧⊆⟦q⟧ D.h.: Ein Satz q folgt logisch aus einem Satz p, wenn die Bedeutung von p in der Bedeutung von q enthalten ist (unter der Voraussetzung, dass Bedeutung von Sätzen durch Mengen von mögliche Situationen modelliert wird)
• Welche Bedeutung trägt der mengentheoretische Operator "Schnitt" Der Schnitt(auch als Durchschnitt bezeichnet) zweier Mengen, A und B, geschrieben A ∩ B, ist die Menge aller Elemente, die in A undin B enthalten sind Definition: A ∩ B =def{x| x ∈A ∧x ∈B} Beispiele: {a, b, c} ∩ {c, d} = {c}{1, 3, 5} ∩ {2, 4, 6} = Ø{e, i} ∩ Ø = Ø
• Welche Bedeutung trägt der menegntheoretische Operator "Vereinigung"? Die Vereinigung zweier Mengen A und B, geschrieben A ∪B, ist diejenige Menge, welche alle Elemente enthält, die in A oderB vorkommen Definition: A ∪B =def{x| x ∈A ∨x ∈B} Beispiele: {1, 3, 5} ∪{2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}{a, b, c} ∪{c, d} = {a, b, c, d}{e, i} ∪Ø = {e, i}
• Welche Bedeutung trägt der mengentheoretische Operator "Differenz"? Die mengentheoretische Differenz, geschrieben A \B, ist diejenige Menge, welche genau die Elemente aus A enthält, die nicht in B enthalten sind: Definition: A \B =def{x| x ∈A ∧x ∉B}                A \B: “A ohne B” Beispiele: {a, b, c} \{c, d} = {a, b}{1, 3, 5} \{2, 4, 6} = {1, 3, 5}{e, i} \∅= {e, i}
• Welche Bedeutung trägt der mengentheretische Operator "Komplement"? Häufig: Beschränkung, dessen was betrachtet wird, auf eine bestimmte Gesamtmenge, z.B. die Menge der natürlichen Zahlen oder die Menge aller Menschen; die betrachtete (begrenzte) Gesamtmenge wird als Universum(U) bezeichnet. Bezüglich eines Universums U kann das Komplementeiner Menge A (wobei A ⊆U), geschrieben Ā, definiert werden: Definition Komplement: Ā =def U \A. Beispiele für die 7 Zwerge als Universum gilt:{Z1,Z2,Z3} = {Z4, Z5, Z6, Z7}Für die natürlichen Zahlen als Universum gilt:{x|x istgerade} = {x | x ist ungerade}
• Modelierungen von semantischen Operationen (Konjunktion,Dissertion,Negation) Modellierung von Konjunktion über Schnittbildung ⟦rosa und flauschig⟧= ⟦rosa⟧∩ ⟦flauschig⟧ Modellierung von Disjunktion über Vereinigung ⟦rosa oder flauschig⟧= ⟦rosa⟧∪⟦flauschig⟧ Modellierung von Negation über Komplementbildung ⟦nicht rosa⟧= ⟦rosa⟧ (hier kommt eigentlich ein Strich über rosa) ⟦nicht flauschig⟧= ⟦flauschig⟧ (hier kommt eigentlich ein Strich über flauschig)
• Modelierung von Satzkonjunktionen Modellierung von Satzkonjunktion über Schnittbildung ⟦Der Flamingo ist rosa und die Katze ist flauschig⟧= ⟦Der Flamingo ist rosa⟧∩ ⟦Die Katze ist flauschig⟧ Modellierung von Satznegation über Komplementbildung⟦Es ist nicht der Fall, dass die Katze flauschig ist.⟧= ⟦DieKatzeistflauschig⟧ (hier eigentlich STrich über die ges. eckige Klammer)
• Wie lautet die mengentheoretische Schreibweise für "genau eine Giraffe ist krank" #(G∩K)= 1
• Wie lautet die mengetheoretische Schreibweise für "Mindestens drei Giraffen sind krank."? #(G∩K)≥3
• Wie lautet die mengentheretische Schreibweise für "Mehr als zwei Giraffen sind krank."? #(G∩K)> 2
• Wie lautet die mengentheoretische Schreibweise für "Eine Giraffe ist krank."? G∩K ≠ ∅
• Wie lautet die mengentheoretische Schreibweise für "Keine Giraffe ist krank."? G∩K=∅
• Wie lautet die mengentheoretische Schreibweise für "Jede Giraffe ist krank."? G⊆K
• Was ist ein geordnetes Paar? Gruppierung von zwei Objekten mit festgelegter Abfolge (anders als bei Mengen ist bei geordneten Paaren die Reihenfolge entscheidend) Notation: in spitzen Klammern Beispiele: ⟨Ben, Anna⟩⟨11, 121⟩  ⟨Kopenhagen, Dänemark⟩
• Wie kann mit geordneten Paaren die Bedeutung von transitiven Verben erfasst werden? ⟦loben⟧= {⟨x, y⟩| x lobt y} d.h. die Bedeutung von loben wird dargestellt über die Menge aller geordneten Paare ⟨x, y⟩ für die gilt: x lobt y
• Was sind Relationen? Mengen von geordneten Paaren, bei denen die beiden Paarlinge in einer bestimmten und für alle Paare gleiche Beziehung zueinander stehen.
• Wie wird eine Menge von geordneten Paaren gebildet? Wenn wir aus zwei Mengen, A und B, das kartesische Produkt, A ×B, bilden, dann erhalten wir die Menge aller geordneten Paare ⟨x, y⟩, mit x ∈A und y ∈B, d.h. A ×B = {⟨x, y⟩| x ∈A und y ∈B} Beispiele: O = {1, 3, 5}E = {2, 4, 6} O ×E = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 4⟩, ⟨1, 6⟩, ⟨3, 2⟩, ⟨3, 4⟩, ⟨3, 6⟩, ⟨5, 2⟩, ⟨5, 4⟩, ⟨5, 6⟩} M = {Anton, Bruno, Carl} M ×M = {⟨Anton, Anton⟩, ⟨Anton, Bruno⟩, ⟨Anton, Carl⟩, ⟨Bruno, Anton⟩, ⟨Bruno, Bruno⟩, ⟨Bruno, Carl⟩, ⟨Carl, Anton⟩, ⟨Carl, Bruno⟩, ⟨Carl, Carl⟩}
• Wie wird das kartesische Produkt auf Relationen angewandt? Eine Relation auf zwei Mengen, A und B, ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes der beiden Mengen, d.h. R ⊆A ×B Beispiele: O ×E = {⟨1, 2⟩, ⟨1, 4⟩, ⟨1, 6⟩, ⟨3, 2⟩, ⟨3, 4⟩, ⟨3, 6⟩, ⟨5, 2⟩, ⟨5, 4⟩, ⟨5, 6⟩} Eine Teilmenge: Rg= {⟨3, 2⟩, ⟨5, 2⟩, ⟨5, 4⟩}  Rg: auffassbarals größer-als-Beziehung M = {Anton, Bruno, Carl}M ×M = {⟨Anton, Anton⟩, ⟨Anton, Bruno⟩, ⟨Anton, Carl⟩, ⟨Bruno, Anton⟩, ⟨Bruno, Bruno⟩, ⟨Bruno, Carl⟩, ⟨Carl, Anton⟩, ⟨Carl, Bruno⟩, ⟨Carl, Carl⟩} gegeben: Anton ist älter als Bruno, Bruno ist älter als Carl Rälter= {⟨Anton, Bruno⟩, ⟨Anton, Carl⟩, ⟨Bruno, Carl⟩}
• Was sind Funktionen? Funktionen sind Relationen. Eine Funktion wie ??=?2 ist ebenfalls eine Menge von geordneten Paaren (Teilmenge des kartesischen Produktes von zwei Mengen von Zahlen) Nicht jede Relation ist eine Funktion. Eine Relation ist dann eine Funktion, wenn sie rechtseindeutig ist, d.h. dass jedes x nicht mit mehr als einem y in der Relation ⟨x, y⟩steht i.a.W.: keinem Element der ersten Menge des kartesischen Produktes wird mehr als ein Element der zweiten Menge zugeordnet

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