Muva (Fach) / MANOVA (Lektion)

8. Vorlesung

Diese Lektion wurde von Amalaswinthaa erstellt.

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• Logik - Erweiterung der univariaten Varianzanalyse (ein- und mehrfaktoriell), deshalb Logik der Berechnung ähnlich - mehr als eine AV - bei der Berechnugn der statistischen Größen werden die Varianzen der ANOVA durch Varianz-Kovarianz-Matrizen ersetzt - Prinzip das gleiche aber eine Ebene "höher"
• Beispiel -- Untersucht werden soll der Erfolg von 3 Therapierichtungen (UV) auf den Therapieerfolg (AV) - AVs: Selbstbericht, Fremdeinschätzung, Symptomanzahl - die 3 AVs werden so kombiniert, dass sie maximale Gruppenunterschiede (hinsichtlich der 3 Therapien) aufweisen
• Vorteile - bei der Berechnung werden automatisch die Beziehungen (Korrelationen) zwischend en AVs berücksichtigt - MANOVA hat fast immer eine größere Power als mehrere ANOVAs zusammengenommen, da die optimale Kombi der AVs gebildet wird - AVs werden automatisch so kombiniert, dass sie einen maximalen Zusammenhang zur UV aufweisen, d.h. dass sich maximale Gruppenunterschiede ergeben --> optimale Linearkombinationen - es muss nicht für jede AV ein eigener Signifikanztest durchgeführt werden --> keine α-Fehler-Kumulierung
• Alpha-Fehler-Kumulierung - α-Fehler wächst, wenn man mehr als einen statistischen Test durchführt - Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit keinen α-Fehler zu begehen? Bei einem Test: (1- α) = 0.95 = 95% Bei 3 Tests: (1- α)3 = (0.95)3 = 86% Allgemein: (1- α)m = (0.95)m  - Lösung: Anpassung des Signifikanzniveaus (Bonferroni Korrektur) oder Globaltests statt vieler Einzeltests
• Gründe für MANOVA - Analyse eines globalen Zusammenhangs zwischen einer oder mehreren UVs und mehreren AVs - Beziehungen zwischen den AVs werden berücksichtigt - α-Kumulierung wird vermieden - meist höhere Power als univariate Analyse, da optimale Linearkombi gebildet wird
• Nachteile - liefert sehr globales Ergebnis: OB es irgendeinen Unterschied bzw. Zusammenhang zwischen irgendwelchen Stufen einer bestimmten UV und einer optimalen Kombination der AVs finden lässt - möchte man wissen, auf welchen AVs dieser Unterschied vorhanden/besonders groß ist --> univariate Varianzanalysen oder Diskriminanzanalyse --> dabei aber Beziehungen nicht mehr berücksichtigt --> α-Kumulierung!
• Sinnvoller Einsatz - gemeinsame Analyse von Variablen, die zum selben theoretischen Rahmen gehören - wenn viele AVs erfasst werden, die unterschiedliche Konstrukte messen --> in getrennten MANOVAs berücksichtigen - globale Hypothese von Interesse --> α-Adjustierung nötig!
• Berechnung - Quadratsummen für den Effekt, den Fehler und die Gesamtquadratsumme berechnen für jede der AVs - zusätzlich für jede Kombinationen an AVs Kreuzproduktsummen berechnen (Abhängigkeit der AVs fließt ein) - man erhält statt einem Wert (z.B. SS-Effekt) viele Werte (p Quadratsummen und p*(p-1) Kreuzproduksummen) - 3 Matrizen der Quadrat- und Kreuzproduktsummen: toal, between, within (+ konstanter Term) -vorläufiges Ergebnis = 2 Matrizen = Matrix für Effekt der UV (Modell) und Matrix für Fehler --> in Beziehung setzen --> neue Matrix - Um Anzahl von Werten zu reduzieren werden aus dieser Matrix Diskriminanzfunktionen gebildet und deren Eigenwerte berechnet - Eigenwerte (λ) geben das Verhältnis von systematischer zu unsystematischer Variation für jede Diskriminanzfunktion an
• Anzahl Diskriminanzfunktionen Minimum von p und k-1 p = Anzahl AVs und k = Stufen der UV im Beispiel: p = 3, k = 3 --> also Diskriminanzfaktoren = 2 (k-1)
• Berechnung Diskriminanzfunktion = gewichtete Summe der abhängigen Variablen - werden so berechnet, dass für die erste Diskriminanzfunktion das Verhältnis von zwischen- zu innerhalb-Matrix maximal ist --> trennt also maximal zwischen den Gruppen - Gewichte der zweiten Diskriminanzfunktion werden so bestimmt, dass sie in Bezug auf die noch verbleibenden Unterschiede das maximale Verhältnis an Zwischen- zu innerhalb-Varianz aufweisen
• Diskriminanzfunktionen und Eigenwerte - für jede Diskriminanzfunktion ein Eigenwert = Verhältnis von Varianz zwischen : Varianz innerhalb bezogen auf die jeweilige Diskriminanzfunktion - je höher der Eigenwert der Diskriminanzfunktion, desto besser trennt die Diskriminanzfunktion zwischen den Gruppen
• Berechnung der Prüfgrößen - mehr als 2 Gruppen - mehr als 2 DF und damit mehrere Eigenwerte λ - diese sollen zu einem Wert zusammengefasst werden, der über die F-Verteilung auf Signifikanz geprüft werden kann
• 4 Prüfgrößen der MANOVA 1. Wilks Lambda Λ (Summe der erklärten Varianz, 1 = max. ZH) 2. Pillai-(Bartlett)-Spur V (Produkt nicht-erklärter Varianz, 0 = max. ZH) 3. Hotelling Spur: T  (Summe der Eigenwerte) 4. Roys größte Wurzel λ (größter Eigenwert) - Eigenwerte der Matrix werden unterschiedlich miteinander verknüpft - werden nur 2 Gruppen verglichen, resultieren gleiche F-Werte für alle 4 Maße - Häufig liegen alle Maße dicht beieinander und sind entweder alle signifikant oder nicht
• 4 Prüfgrößen der MANOVA Beurteilung - ersten 3 Maße beruhen auf allen Diskriminanzfunktionen, der Test nach Roy nur auf der varianzstärksten --> weniger Freiheitsgrade und unterscheidet sich tendenziell am meisten von den anderen - Roys größte Wurzel: wird eher Signifikant, wenn sich die DF stark hinsichtlich ihrer gemeinsamen Varianz mit der UV unterscheiden; hat geringere Power, wenn DF gleich stark mit der UV variieren Pillai: besonder robust; sollte verwednet werden, wenn die Erfüllung der Voraussetzungen zweifelhaft/grenzwertig ist (kleine/ungleich große Stichproben) Wilks Lambda: gebräuchlichstes Maß; verwenden, wenn keine Gründe für Pillai ode Roy
• Voraussetzungen  Unabhängigkeit der Fehlerkomponenten - generell wichtig; bei Verletzung: andere Verfahren wie Tests für abhängige Stichproben oder hierarchische Modelle wählen Multivariate NV der AVs: Überprüfung durch spezielle Signifikanztests Homogene Varianz-Kovarianz-Matrizen (Prüfung über Box-Test) --> auf Verletzung der beiden letzten reagiert MANOVA robust, wenn die Stichproben groß und gleich groß sind --> bei gleich großen Stichproben kann Box-Test ignoriert werden
• Anschlussverfahren 1: ANOVAs - Analyse identisch mit "normaler" univariater Varianzanalyse ggf. können sich noch univariate Kontraste oder posthoc Tests anschließen - geben Auskunft darüber, ob die UV einen Zusammenhang mit einer bestimmten AV zeigt
• Anschlussverfahren: Diskriminanzanalyse -"Gewichte" für die einzelnen Variablen berechnen (Diskriminanzkoeffizienten) - Logik ähnlich wie bei mulipler Regression - bei DA: optimale Linearkombination in Bezug auf die AVs (der MANOVA) gebildet und es kann mehrere Kombinationen geben (Diskriminanzfunktionen)
• Varianten der MANOVA - mehrfaktoriell: mehrere UVS, Effekt der Interaktion wird berücksichtigt - abhängige Stichproben -multivariate Kovarianzanalyse (MANCOVA)

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