Testtheorie und Testkonstruktion (Fach) / 3 Messmodell und IC Funktionen (Lektion)

Messmodell und IC Funktionen

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• Einführung Klassifikation der Modelle I. nach Art der itemcharakteristischen Funktion:  • deterministisch  • probabilistisch   z.B. linear monoton steigend, logistisch, etc.  II. nach Variablenart der manifesten und latenten Variablen:  •Latente Variablen  kontinuierlich → Latent-Trait-Modelle  qualitativ unterschiedliche Ausprägungen → Latent-Class- Modelle  •Manifeste Variablen:  dichotom → dichotomes Rasch-Modell  polytom → polytomen Rasch-Modells  III. nach Anzahl der Modellparameter:  •Item- und Personenparameter (z.B. Guttman-Modell oder dichotomes Rasch-Modell),  → 1PL-Modell  •Zusätzlicher variierender Itemdiskriminationsparameter (z.B. Birnbaum-Modell)  → 2PL-Modell  •Zusätzlich weitere Parameter  → 3PL-Modell 
• Einführung Latent-Trait Modelle allgemein •Annahme eines latenten Kontinuums (Fähigkeit, Eigenschaft) 𝜃𝑣  •Jede Person v weist auf diesem eine bestimmte Ausprägung 𝜃𝑣 auf  •Es könnte einen kritischen Wert auf 𝜃𝑣 geben, ab dem ein Item gelöst wird.  •Parameter: (A) Personenparameter = Fähigkeit einer Person ein bestimmtes Item zu lösen; (B) Itemparameter = Itemschwierigkeit  •Joint Scale = gemeinsame (eindimensionale) Skala 
• Was ist ein Messmodell? •Funktion zur Prognose der Antwort einer Person auf ein Item.  •Ziel: aufgrund Personenfähigkeit und anderer Einflussgrößen (z.B. Itemschwierigkeit) die Wahl der Antwortkategorie oder Lösungswahrscheinlichkeit vorhersagen  D.h. Messmodelle machen Annahmen über Parameter der Itembeantwortung  •Annahmen = Funktionen  •Beispiele:  Guttman Modell  Modell essentiell tau-äquivalenter Messungen  Logistisches Modell 
• Guttman-Modell Die Guttman-Skala •Alles-oder-Nichts-Itemcharakteristik  d.h. entweder man kann ein Item lösen oder man kann es nicht.  •→ Deterministisches Modell  •Bestimmung der Itemunterschiede und Personenunterschiede auf Ordinalskalenniveau  D.h. Rangreihe  •Es können maximal NItems +1 Eigenschaftsausprägungen von Personen unterschieden werden  •Personen, mit Fähigkeitsausprägungen zwischen den Sprungstellen zweier benachbarter Items, unterscheiden sich in ihrem Testverhalten nicht voneinander.  •Unter einer Verteilungsannahme lassen sich die Itemschwierigkeiten und Personenfähigkeiten auf Intervallskalenniveau bestimmen.  •Grundidee: der Abstand der Items (= Differenz ihrer Schwierigkeiten) ist stets proportional zur Anzahl der Personen in der dazwischen liegenden Scoregruppe.  Damit sind die Itemschwierigkeiten intervallskaliert.  •Messwerte der Personen lassen sich durch die Intervallmitte definieren.  ABER: für Personen die keine oder alle Items gelöst haben, können keine Werte angegeben werden. 
• Guttman-Modell Guttman-Skala: Weiterentwicklung •Annahme von Lösungswahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 sehr extrem, da Raten und Irrtum ausgeschlossen werden  •Ratewahrscheinlichkeit = links der Sprungstelle  •Irrtumswahrscheinlichkeit = rechts der Sprungstelle 
• Modell essentiell tau-äquivalenter Messungen •Annahme von Sprungstelle unplausibel / praxistauglich  •Qualitativer Sprung?  •Besser: Lösungswahrscheinlichkeit steigt langsam und kontinuierlich in Abhängigkeit der latenten Variable  •Welchen Funktionsverlauf sollte man auswählen?  •→ Kriterium der Einfachheit 
• Modell essentiell tau-äquivalenter Messungen Gerade als Itemfunktion Annahmen des Modells essentiell tau-äquivalenter Messungen  • Alle Kategorienfunktionen besitzen dieselbe Steigung (= parallele Geraden)  • unterscheiden sich jedoch in der Schwierigkeit  • Vorteil: Für einen bestimmten Fähigkeitsbereich kann bei Kenntnis der Personenfähigkeit und der Itemschwierigkeit für jede Person die Lösungswahrscheinlichkeit vorhergesagt werden.  • Einschränkungen des Modells  Die Knicke sind psychologisch nicht interpretierbar!  DAHER: Das Konzept linearer Itemfunktionen ist mit der Annahme unterschiedlicher Itemschwierigkeiten nicht vereinbar. 
• Das Binominalmodell • D.h. ein Testmodell mit linearen Itemfunktionen setzt gleiche Schwierigkeit und gleiche Trennschärfe voraus   BINOMINALMODELL 𝜏𝐴 = 𝜏𝐵   Tau-äquivalente Messung → Das Modell hat eine Gerade als Itemfunktion 
• Rasch Modell Logistische Funktion •Wenn die Annahme einer linearen Beziehung zwischen Lösungswahrscheinlichkeit und latenter Variable zu der restriktiven Folgerung konstanter Itemschwierigkeiten führt, so liegt dies daran, dass die Linearität zwischen einer auf das 0-1-Intervall beschränkten Variable und einer potentiell unbeschränkten Variable angenommen wird.  •Eine Möglichkeit, dieses Problem zu umgehen, besteht darin, Linearität zwischen Lösungswahrscheinlichkeit und latenter Variable nur im Mittelbereich anzunehmen und die Itemfunktion im oberen Bereich asymptotisch dem Grenzwert 1 und im unteren Bereich dem Grenzwert 0 anzunähern. 
• Rasch Modell Logistische Funktion •Wenn die Annahme einer linearen Beziehung zwischen Lösungswahrscheinlichkeit und latenter Variable zu der restriktiven Folgerung konstanter Itemschwierigkeiten führt, so liegt dies daran, dass die Linearität zwischen einer auf das 0-1-Intervall beschränkten Variable und einer potentiell unbeschränkten Variable angenommen wird.  •Eine Möglichkeit, dieses Problem zu umgehen, besteht darin, Linearität zwischen Lösungswahrscheinlichkeit und latenter Variable nur im Mittelbereich anzunehmen und die Itemfunktion im oberen Bereich asymptotisch dem Grenzwert 1 und im unteren Bereich dem Grenzwert 0 anzunähern. 
• Probabilistisches Modell Logistische Funktion •ogivenförmiger Kurvenverlauf  •Lösungswahrscheinlichkeit ist probabilistisch  •Für jedes Item kann eine Lösungswahrscheinlichkeit bei Kenntnis der Personenfähigkeit und Itemschwierigkeit ermittelt werden.  •psychologisch plausibel: DENN Lösungswahrscheinlichkeit steigt im Mittelbereich am stärksten mit zunehmender Fähigkeit  •Ist ein Item dagegen zu leicht oder zu schwer, so verändert eine Fähigkeitszunahme nur geringfügig die Lösungswahrscheinlichkeit 
• Probabilistisches Modell Itemcharakteristische Funktion Itemcharakteristische Funktion:  •Item Characteristic Curve (ICC)  •beschreibt den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Antwort und dem latenten Merkmal θ.  •→ beschreibt die Beziehung zwischen einem latenten Merkmal θ (Personenparameter) und dem Reaktionsverhalten auf ein (dichotomes) Item in Form einer Wahrscheinlichkeitsaussage 
• Itemcharakteristische Funktion Parameter Itemschwierigkeit Itemschwierigkeit  •Lage der ICC relativ zur X-Achse  •Konvention: 50% Wahrscheinlichkeit Abszissenwert definiert die Lage des Items und somit seine Schwierigkeit 
• Itemcharakteristische Funktion Parameter Trennschärfe •= Anstieg der ICC (an der steilsten Stelle) 
• Rasch-Modell: ICC Modellgleichung •𝑷𝑿𝒗𝒊=𝒙𝒗𝒊|𝜽𝒗,𝜷𝒊=𝐞𝐱𝐩[𝒙𝒗𝒊(𝜽𝒗−𝜷𝒊)]𝟏+𝐞𝐱𝐩⁡(𝜽𝒗−𝜷𝒊)  •𝑃𝑋𝑣𝑖=1|𝜃𝑣,𝛽𝑖=exp⁡(𝜃𝑣−𝛽𝑖)1+exp⁡(𝜃𝑣−𝛽𝑖)  •𝑃𝑋𝑣𝑖=0|𝜃𝑣,𝛽𝑖=11+exp⁡(𝜃𝑣−𝛽𝑖)  Entscheidend für die Lösungswahrscheinlichkeit ist die Differenz zwischen der individuellen Merkmalsausprägung θv und der Schwierigkeit des jeweiligen Items i (ß).  Änderungen von P(x) in Abhängigkeit von ßi und θv :  •Sind Fähigkeit (θv) und Itemschwierigkeit (ßi) gleich groß, dann beträgt die Lösungswahrscheinlichkeit des Items 50%.  → Wendepunkt der logistischen Funktion  •Je mehr die Fähigkeit die Itemschwierigkeit übersteigt, desto größer wird die Lösungswahrscheinlichkeit. 
• Rasch-Modell: ICC Iteminformation • Ein Item bringt für die Testung einer Person unterschiedlich viel Informationsgewinn  • Am informativsten sind Items, wenn Itemschwierigkeit und Personenfähigkeit nahe beieinander liegen.  • Messungen in extremen Merkmalsbereichen sind bei gegebener Itemmenge weniger reliabel 

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