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Erziehungswissenschaft Statistik III (Fach) / Faktorenanalyse (Lektion)
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- Ziel PCA Auffinden von Komponenten, die eine Gruppe von untereinander korrelierten Variablen repräsentieren Versuch die Gesamtzahl der gemessenen Daten zu vereinfachen/zu reduzieren sucht sozusagen nach Linien in den Streudiagrammen und wiederholt dies solange bis alle Varianzanteile aufgeklärt sind
- Voraussetzung Daten sind mind. Intervallskaliert und annähernd normalverteilt Bereinigung nur hinsichtlich redundanter Effekte
- Ablauf Errechnung Korrelationsmatrix Extraktion der Faktoren Kommunalitäten => ist bei PCA immer 1 Zahl der Faktoren Faktorinterpretation Bestimmung der Faktorwerte
- Korrelationsmatrix R enthält die Koeffizienten für die Korrelation R jeder einzelnen mit jeder anderen Ausgangsvariablen R ist immer quadratisch Hauptdiagonale aus einsen Werte an hauptdiagonale gespiegelt Intervallskala erforderlich
- Eignung der Daten Die Daten müssen untereinander hoch korreliert sein. Dafür: Barlett Test auf Spärizität Kaiser Meyer Olkin Kriterium KMO, KMK, MSA
- Barlett Test auf Spärizität Hohe Korrelation der Ausgangsdaten untereinander? schau auf die signifikanz des Test
- KMO Sind die Daten untereinander hoch korreliert? Daten gut geeignet wenn SumR2 groß und SumP2 klein ist > 0.9 hervorragend > 0.6 mittel <0.5 inakzeptabel
- Zusammenfassung Allgemein Ausgangspunkt Korrelationsmatrix Geeignet sind Datensätze mit hoher Korrelation untereinander KMO gibt mit Wert >0.5 an dass die Daten gut geeignet sind Barlett Test: R sollte von Identitätsmatrix verschieden sein
- 2. Extraktion der Faktoren Daten sollen durch eine geringe Anzahl von Variablen beschrieben werden möglichst vermeidung von Informationsverlust
- Korrelation zu Winkel Cosinus der Vektoren Cos = Ankathete / Hypothenuse AC(Hypothenuse) =1 => Cos = AD(Ankathete)
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- grafische Darstellung der Korrelationsmatrix R Umrechung in Vektoren dann daraus extraktion der Resultante (Seil ziehen mitte)
- Faktorladung Die Resultante wird zum Faktor weisst eine Korrelation zu der Ausgangsvariable auf Diese Korrelation heisst Faktorladung
- Zusammenfassung 2. Extraktion Erstellung Vektordiagramm Erster Faktor = Resultante weitere Faktoren werden rechtwinklig hinzugefügt bis Matrik vollständig repräsentiert ist Korrelation der AUsgangsvariablen (Vektoren) mit den Faktoren = Faktorladung
- 3. Kommunalität wird weggelassen = 1 bei PCA
- 4. Zahl der Faktoren = Reduktion der Daten durch Faktoren => bestimmung wie viele Faktoren beibehalten werden sollen
- 4. Zahl der Faktoren Kriterien Kaiser Kriterium Scree Test Beruhen beide auf den Eigenwert der Faktoren (der Beitrag des jeweiligen Faktors zur Varianzaufklärung)
- 4. Zahl der Faktoren Eigenwert eines Faktors = Summe der quadrierten Ladung auf diesem Faktor (aus Faktormatrix) Faktor 1 alle x2 aufsummieren = Eigenwert des Faktors x1 x2 x2 x2 x3 x2 x4 x2
- 4. Zahl der Faktoren Kaiserkriterium Extraktion nur von Faktoren mit Eigenwert > 1 weil: Ausgangsvariable hat Varianz von 1 Wenn eigenwert unter 1 => klärt sie weniger als Ausgangsvariable auf und kann raus
- 4. Zahl der Faktoren Scree Test grafisches Verfahren Schaue auf Knick im Graphen erster Punkt links von Knick ist letzter zu extrahierender Faktor
- 4. Zahl der Faktoren Kommunalität Anteil der Varianz einer Ausgangsvariable dir durch verbleibenden Faktor erklärt werden kann Summe der quadrierten Faktorladungen einer Variable über alle Faktoren Faktor 1 Faktor 2 x1 x2 + x2 = Kommunalität x1 x2 + = Kommunalität x2 x3
- 5. Faktorinterpretation / Rotation Einfache Interpretation wenn die Ausgangsvariablen auf einem Faktor hoch und auf allen anderen Faktoren niedrig laden Meist nicht möglich => Rotation Varimax
- 5. Faktorinterpretation / Rotation Drehmatrix Die Varimax ermittelt für alle Dimensionen diejenigen Drehwinkel durch die die Varianz der Faktorladungen maximiert wird Drehmatrix SPSS = Komponententransformationsmatrix Faktorladungsmatrix mal Drehmatrix = Faktorladungsmatrix Rotation ändert die Eigenwerte der Faktoren, nicht aber die Varianz verändert
- 6. Faktorwerte = der Wert den die untersuchten Personen oder Objekte in den nue geschaffenen Faktoren annehmen unterschiedliche Schätzverfahren
- 6. Faktorwerte Regressionsmethode von Thurstone Faktorwerte werden als Summe der z-standard Ausgangsvariablen errechnet und mit der Faktorladung A und der Interkorrelation der Ausgangsvariablen R gewichtet
- 6. Faktorwerte Regressionsmethode von Thurstone Eigenschaften von Faktorwerten z-werte also positi= überdurchschnittliche Ausprägung, nega= unterdurchschnittliche Auspr Faktorenwerte sind bei Rotation unkorreliert
- 6. Faktorwerte Zusammenfassung Rotation des Achsensystems im Ursprung für erleichterte Zuordnung der Variablen zu den Faktoren und somit inhaltliche Interpretation Ziel ist die Maximierung der Varianz der Faktorladungen (Varimax-Rotation) Wenn Variablen klar je einem Faktor zugeordnet werden können = Einfachstruktur Faktorwerte = Ausprägung eines Faktors bei den Untersuchungsobjekten