10

Angewandte Statistik (Subject) / Lektion 04 (Hypothesentests über Mittelwerte einer Stichprobe) (Lesson)

This lesson was created by Dennis1602.

Learn lesson

This lesson is not released for learning.

back  |  next 1 / 1

• Allgemein - Aufstellen von 3 Radarfallen an attraktiven Stellen, Wie findet man heraus welche stelle attraktiv ist? - Hypothesentest, Messung wo man viele schnelle Autos vermutet, Stichprobe 50 Autos, Aufstellung Hypothese durchschn. Geschwindigkeit weniger als 50km/h -> Überprüfung und ggf. Verwerfung der H. - Bei Feststellung durchschn. Geschwindigkeit höher als 50km/h -> Viele Einnahmen
• Nullhypothesen und Alternativhypothesen (Allgemeines) - Nullhypothese H0 = Annahme über eine Eigenschaft der Grundgesamtheit - Alternativhypothese H1 = Gegenteil der Nullhypothese H0 bei gegebener Nullhypothese - Signifikanzniveau α = Wahrscheinlichkeit der Menge von Testergebnissen, für die wir bereit sind, H0 zurückzuweisen (wird besonders klein gewählt, wenn die fälschliche Ablehnung der Nullhypothese besonders schwerwiegende Folgen hätte, ist Zahl nahe bei 0) - H0: Müh = 3mm (im ersten Test jedes Ergebnis das zu weit nach unten oder oben von 3mm abweicht), H0: Müh >= 10 Tage (im zweiten Test jedes Ergebnis, dass zu weit nach unten von 10 Tagen abweicht) als Anlass für die Ablehnung von H0 -> somit linksseitige, rechtsseitige und zweiseitige Tests - zu beachten: -- Darstellung bezieht sich auf den Parameter Mittelwert, Nullhypothese kann aber auch Annahme über die Varianz oder stochastische Unabhängigkeit zweier Merkmale betreffen -- µ0 ist der hypothetische Zahlenwert, für den in der Nullhypothese eine bestimmte Beziehung zum Parameter µ der Grundgesamtheit formuliert wird -- bei einseitigen Tests bezieht sich links/rechts auf die Lage des Ablehnungsbereichs -> Testwert aus diesem Bereich wird als Widerspruch zur Nullhypothese gewertet -- im Fall der zweiseitigen Tests ist die Gesamtwahrscheinlichkeit α gleichmäßig auf beide Seiten aufzuteilen - Frage: Welche Schlüsse können bzgl. einer behaupteten/angenommenen Eigenschaft der GG (der Hypothese) aus den tatsächlich ermittelten Eigenschaften einer Sticprobe gezogen werden? - Test -> mit Stichprobe verbundene Zufallsvariable ist jetzt Testgröße bzw. Testvariable - es wird nicht mehr gefragt, wo wahrscheinlich der Mittelwert der GG liegt, sondern ob es bei einem angenommenen Mittelwert der GG wahrscheinlich ist, dass die vorliegende Stichprobe beobachtet wurde - die Aussage „dies ist relativ wahrscheinlich, das muss richtig sein“ ist relativ leichtfertig -> um eine Feststellung im Rahmen statistischer Arbeit möglichen Sicherheit treffen zu können, muss das Gegenteil dieser Feststellung als zu unwahrscheinlich nachgewiesen werden - will man A beweisen, zeigt man das nicht A sehr unwahrscheinlich ist - ein einziges Gegenbeispiel genügt, um zu beweisen, dass eine Behauptung falsch ist, umgekehrt reicht aber eine einzelne zutreffende Behauptung nicht aus, um zu beweisen, dass diese immer richtig ist
• Annahme- und Ablehnungsbereiche bei Hypothesentest - zweiseitiger Test -- H0: µ = µ0 -- H1: µ ≠ µ0 - inksseitiger Test -- H0: µ >= µ0 -- H1: µ < µ0 - rechtsseitiger Test -- H0: µ <= µ0 -- H1: µ > µ0
• Hypothesentests zum Mittelwert bei bekannter Varianz der Grundgesamtheit (Schritte für einen Hypothesentest) - 1. Entscheidung, ob ein zweiseitiger oder einseitiger Test angemessen ist: -- kommt es darauf an, dass ein bestimmter Mittelwert genau vorliegt und sind größere Abweichungen in beide Richtungen unerwünscht -> zweiseitiger Test -- sind Abweichungen in eine Richtung „gut“ und in andere Richtung „schlecht“ -> einseitiger T. - 2. Formulierung der Nullhypothese und der Alternativhypothese: -- statistisch hinreichend sichere Aussage nur, wenn Nullhypothese zurückgewiesen w. kann  -- zweiseitiger Hypothesentest nur sinnvoll, wenn nachgewiesen werden soll, dass der Mittelwert der beobachteten Größe in der Grundgesamtheit nicht einen behaupteten Wert besitzt -- beim einseitigen Test wird das zur Nullhypothese, was wir als falsch nachweisen wollen oder es muss das in der Alternativhypothese formuliert werden, was als akzeptierbar nachgewiesen werden soll - 3. Festlegung des Signifikanzniveaus: -- das Signifikanzniveau ist frühzeitig festzulegen (Festlegung welche Risikogröße sie eingehen dürfen, eine Fehlentscheidung zu treffen) -- wenn die fälschliche Ablehnung der Nullhypothese mit erheblichem Schaden verbunden sein kann, muss die Wahrscheinlichkeit hierfür sehr klein gehalten werden -- Nullhypothese erst zurückweisen, wenn die Testergebnisse hoch signifikant gegen diese Hypothese sprechen -- üblich sind Signifikanzniveaus von α = 0,05 bzw. α = 0,01 - 4. Ziehen der Stichprobe und Berechnung des Mittelwertes  -- mithilfe der z-Transformation: -- z = ((xquer - Müh) / sigma) / Wurzel(n) - 5. Entscheidung über Annahme oder Ablehnung der Nullhypothese: -- wir nehmen an, dass wir eine Stichprobe aus der zu untersuchenden Grundgesamtheit besitzen und den Mittelwert des interessierenden Merkmals sowie dessen Information z als Testgröße errechnet haben -- für die Bewertung der beobachteten Abweichung vom hypothetischen Mittel wählen wir die P-Wert Methode, relativ leicht zu interpretieren ist -- je niedriger der P-Wert, umso höher ist die Signifikanz -- ist der P-Wert kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau α, kann die Nullhypothese abgelehnt werden - für den Fall des einseitigen Tests machen wir uns zuvor noch klar, warum es zulässig ist, die Überlegungen nur auf dem einzigen Wert µ0 aufzubauen, obwohl doch die Nullhypothese µ >= µ0 bzw. µ <= µ0 lautet - linksseitiger Fall: Nullhypothese umfasst jedes µ rechts von µ0, im Sinn der Nullhypothese ist µ0 der „schlechteste mögliche Fall“ -> wenn unsere Testgröße selbst von diesem kleinstmöglichen Wert signifikant nach unten abweicht, wir die Nullhypothese bereits hierfür zurückweisen müssen, dann erst recht für jeden anderen, größeren µ-Wert
• Hypothesentests zum Mittelwert bei bekannter Varianz der Grundgesamtheit (P-Wert-Methode) - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable Xquer den Wert xquer hat oder einen noch stärker vom hypothetischen Mittel µ0 abweichenden Wert? - gleichbedeutend mit der Frage nach der Wahrscheinlichkeit von z=zquer oder einem noch stärker von 0 abweichenden Wert z (je niedriger der p-Wert, umso höher ist die Signifikanz) - Nachschlagen in Tabelle der Standardnormalverteilung: welche Wahrscheinlichkeit p zu Z≤ zquer(falls zquer≤0) bis Z≥ zquer(falls zquer≥0) gehört - dieses p vergleichen wir mit α beim einseitigen Test oder α/2 beim zweiseitigen Test - ist p kleiner als der Vergleichswert, schließen wir daraus auf eine unakzeptabel kleine Wahrscheinlichkeit der Testgröße unter der Nullhypothese und lehnen diese folglich ab - im anderen Fall kein Anlass zur Zurückweisung von H0 -> Akzeptieren der Nullhypothese - p-Wert kleiner als vorgegebenes Signifikanzniveau -> Ablehnung Nullhypothese und Zutreffen der Alternativhypothese Linksseitig p < Alpha Rechtsseitig 1 - p < Alpha
• Hypothesentests zum Mittelwert bei bekannter Varianz der Grundgesamtheit (Beispiel) - Untersuchung Rettungsdienstzeit -> Ziel: Durchschn. spätestens nach 12min Vorort zu sein - Untersuchung anhand letzte 40 Aufzeichnungen -> Durchschnitt 13,25min - Für Standardabweichung wird nach Erfahrung 3,2min als abgesicherter Wert angenommen - 1. Entscheidung über Typ des Tests -- Wort „spätestens“ -> Durchführung einseitiger Test - 2. Formulierung der Nullhypothese und der Alternativhypothese -- Nachweis, dass Reaktionszeit im Mittel zu lang ist, also wird Gegenteil zur Nullhypothese -- H0: Mittlere Reaktionszeit Müh <= 12 min -- H1: Mittlere Reaktionszeit Müh >= 12 min - 3. Festlegung des Signifikanzniveaus -- Mittleres Signifikanzniveau genügt -> α = 0,05 - 4. Ziehen der Stichprobe, Berechnung des Mittelwertes, z-Transformation -- Auswertung der 40 Einsätze führte zu Mittelwert x = 13,25 Minuten -- Testgröße ergibt z-Wert von 2,47 -- z = ((13,25 - 12) / 3,2) / Wurzel(40) - 5. Entscheidung über Annahme oder Ablehnung der Nullhypothese -- Entscheidung mittels p-Wert-Methode -- Wert der Testgröße = 2,47 -- Zum z-Wert 2,47 entnehmen wir der Tabelle der Standardnormalverteilung einen Wahrscheinlichkeitswert p = 0,9932 -> nur mit Wahrscheinlichkeit 1-p = 0,0068 ist bei zutreffen von H0 mit einem so großen oder größeren z zu rechnen -- Wahrscheinlichkeit kleiner als α = 0,05 -> Zurückweisung H0
• Hypothesentests zum Mittelwert bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit (Allgemeines) - Analog dem Fall bei bekannter Varianz der Grundgesamtheit (siehe oben) - Unterschied in der Anwendung der Verteilung - Ist die Varianz der GG unbekannt, dann müssen wir uns mit der Varianz der Stichprobe behelfen (bekannt aus Lektion über Konfidenzintervalle) - Testgröße nicht normalverteilt, sondern folgt einer t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden, deshalb Wahl der t-Verteilung und nicht der Standardnormalverteilung - t = ((Xquer - Müh) / s) / Wurzel(n)
• Hypothesentests zum Mittelwert bei unbekannter Varianz der Grundgesamtheit (Beispiel) - Wo am besten Radarfallen aufstellen, um Verkehrssünder zu ertappen? - Dort wo sie schneller als 50 km/h fahren, Messung mit 41 Autos hat Durchschn. von 51,2 km/h ergeben und Standardabweichung der Stichprobe von 3,2 km/h - Soll jetzt an der Stelle aufgestellt werden? - 1. Entscheidung über Typ des Tests -- Wort „schneller als“ -> Durchführung einseitiger Test - 2. Formulierung der Nullhypothese und der Alternativhypothese -- Nachweis, dass Geschwindigkeit über 50 km/h liegt, also wird Gegenteil zur Nullhypothese -- H0: Durchschnittsgeschwindigkeit Müh <= 50 km/h -- H1: Durchschnittsgeschwindigkeit Müh >= 50 km/h - 3. Festlegung des Signifikanzniveaus -- Wir wählen -> α = 0,05 - 4. Ziehen der Stichprobe, Berechnung des Mittelwertes -- Auswertung der 41 Messungen ergab Mittelwert x Quer = 51,2 km/h -- Testgröße ergibt t-Wert von 2,401 -- t = ((51,2 - 50) / 3,2 ) / Wurzel(41) -- Anzahl der Freiheitsgrade ist n-1 = 41 – 1 = 40 - 5. Entscheidung über Annahme oder Ablehnung der Nullhypothese -- Entscheidung mittels p-Wert-Methode -- Wert der Testgröße = 2,401 -- Wir finden in der Tabelle der t-Verteilung keine konkrete Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten t-Wert -> Wahrscheinlichkeiten abschätzen -- Wahl Zeile mit 40 Freiheitsgraden und Wahl des dort zu findenden t-Werte aus, die der Testgröße am nächsten sind -- t = 2,021 und t = 2,423 mit P(t <= 2,021) = 0,975 bzw. P(t >= 2,021) = 0,025 und P(t <= 2,423) = 0,990 bzw. P(t > 2,423) = 0,01 -- da Teststatistik 2,401 zwischen 2,021 und 2,423 liegt, muss ihr P-Wert zwischen 0,025 und 0,01 liegen -- damit P-Wert auf alle Fälle kleiner als Signifikanzniveau 0,05 -- Nullhypothese ist damit zu verwerfen -> Autos sind im Schnitt also schneller als 50 km/h
• Fehler erster und zweiter Art - Zurückweisen einer Nullhypothese, obwohl diese zutrifft, ist ein Fehler erster Art -> Fehler wird mit der Wahrscheinlichkeit α begangen - Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese falsch ist, wir aber eine Stichprobe ziehen, die keine auffällige Abweichung aufweisen von dem, was wir bei zutreffender Nullhypothese erwarten, ist Fehler zweiter Art -> Wahrscheinlichkeit β - eindeutige Beziehung für Wahrscheinlichkeit für Fehler der ersten Art und der Grenze zwischen Annahme- und Ablehnungsbereich - Wenn Nullhypothese aufgestellt ist, haben wir Müh0 festgelegt und kennen nun die Verteilung des Stichprobenmittels unter dieser Annahme - Zum Ablehnungsbereich gehört nach unserer Definition kein best. Mittelwert in der GG, deshalb Fehler zweiter Art nicht ohne Zusatzinfos zu bestimmen - Erst, wenn wir erfahren, dass der wahre Wert tatsächlich Müh1 ist, können wir Wahrscheinlichkeit β für Fehler zweiter Art berechnen - für einen festen Stichprobenumfang ist eine Verkleinerung von α immer mit einer Vergrößerung von β verbunden und umgekehrt - α und β können nur beide verkleinert werden, wenn n vergrößert wird - Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art wird mit α bezeichnet - Signifikanzniveau ist eine andere Bezeichnung für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers erster Art - Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art legen wir zu Beginn eines Hypothesentests fest Power/Macht eines Tests -> 1 - β idealerweise Alpha Fehler klein und Power groß -> können wir beides nicht erreichen -> deshalb wird alpha festgesetzt (Signifikanztest)
• Fehler erster und zweiter Art (Beispiel) - Zwei Zuckerabfüllanlagen, eine ist dejustiert - M1 füllt ordnungsgemäß Packungen mit Mittelwert 1000g und Standardabweichung 3g - M2 Mittelwert 997g und Standardabweichung 3g - Füllmenge normalverteilt, Auslieferung Gebinde, deren Packungen von einer M stammen - Großhändler will prüfen, ob Packungen zu leicht sind (Stichprobe 10, Hypothesentest, Signifikanzniveau 5%, Standardabweichung bekannt) -> linksseitiger Hypothesentest - H0: mittlere Füllmenge Müh >= 1000 - H1: mittlere Füllmenge Müh <= 1000 - P-Wert zur Testgröße -3,6893394 (z = (996,5 – 1000/3*Wurzel10) ist 0,0001 - P-Wert liegt im Ablehnungsbereich 0,0001 < 0,05 - Großhändler weiß, dass er bei Ablehnung von H0 im Fall eines kleineren Mittelwertes der Stichprobe einen Fehler erster Art machen kann, weil auch bei ordnungsgemäßem Füllen solche Stichproben in 5% der Fälle vorkommen - Weiß auch, dass er bei Akzeptieren der Nullhypothese einen Fehler zweiter Art machen kann

back  |  next 1 / 1