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Angewandte Statistik (Subject) / Lektion 03 (Punkt- und Intervallschätzungen) (Lesson)

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• Allgemeines - Wahlprognosen vor Bundes- oder Landtagswahlen (Befragung von 1000 Personen), sehr unzuverlässig - auf Basis einer Begfragung von 1250 Wahlberechtigten wurde ein Stimmenanteil von 7% für die Stichprobe ermittelt - Wahrscheinlichkeitsintervall aufstellen und Aussage treffen, dass der Stimmenanteil der ganzen Bevölkerung mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% zwischen 5,6% und 8,4% liegt - wäre wesentlich genauer und ehrlicher
• Punktschätzung des Mittelwertes - Zufallsvariable = Abbildung vom Ereignisraum in die reelle Zahlenachse - Spezielle Kategorie von Ereignisräumen sind Stichprobenräume - Wir gehen von Grundgesamtheit aus, über die wir mittels Stichproben Erkenntnisse gewinnen wollen - Erkenntnis soll in dem vorliegenden Abschnitt den durchschnittlichen Wert eines Merkmals betreffen, das allen Individuen der GG zukommt (eines metrischen Merkmals), damit wir den Mittelwert überhaupt bilden können - GG -> ziehen von Stichprobe aus GG -> xquer: Zufallsvariable, Abbildung vom Ereignisraum in die reelen Zahlen (aus Stichprobe berechneter Mittelwert) -> Stichprobenverteilung der Zufallsvariablen Xquer = Mittelwert der Stichprobe -> Beispiel Stichprobe1: beobachteter Wert von xquer dient als Schätzwert für den unbekannten Mittelwert der Grundgesamtheit - Mittelwert ist eine Zufallsvariable - Zur Berechnung des Mittelwerts wird dieselbe Formel wie für die Berechnung des Mittelwerts in der GG genommen - Dieser Mittelwert ist eine Punktschätzung für den Mittelwert des Merkmals in der GG - Zufallsvariable Xquer hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung - Zufallsvariable Xquer streut stärker, je stärker das Merkmal in der GG streut
• Punktschätzung des Mittelwertes (Beispiel Körpergewicht) - Körpergewicht aller Einwohner Deutschlands, könnte man alle wiegen, wäre es Aufgabe der beschreibenden Statistik, die Häufigkeitsverteilung des Gewichtes aufzustellen und Maßzahl Müh µ, den Mittelwert, für die zentrale Lage zu berechnen (jedoch nicht realisierbar, unökonomisch - Stattdessen Stichprobe, Wiegen von n=1000 zufällig herausgegriffenen Personen - Alle solche denkbaren Stichproben bilden den uns interessierenden Ereignisraum - Verwendung des Mittelwerts der Gewichte der 1000 Probanden als Schätzwert für den unbekannten Mittelwert der Grundgesamtheit - Mittelwert von 1000 Zahlen ist demnach unsere Zufallsvariable  x Überstrich bzw. xquer - Sie kann für jede Stichprobe einen unterschiedlichen Wert haben und es ergibt sich für diese Werte (Zufallsvariable ist stetig) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung - Kurz: für Schätzung des Mittelwerts einer Population wird ein Wert x Überstrich der Zufallsvariablen X Überstrich verwendet, der sich aus einer Stichprobe errechnet - Für Aussagen über Eignung des Wertes für solche Schätzung wird die gesamte Verteilung der Zufallsvariablen „Stichprobenmittel“ X Überstrich untersucht
• Punktschätzung des Mittelwertes (Aussage 1, Aussage 2, Beachten) - Aussage 1: -- Mittelwert von X Überstrich, bei Zufallsvariablen, auch Erwartungswert E(X Überstrich) genannt, ist gleich dem Mittelwert des betrachteten Merkmals in der Grundgesamtheit -- E(Xquer) = Müh - Aussage 2: -- Varianz von X Überstrich, VAR(X Überstrich) berechnet sich wie folgt, wobei Sigma Quadrat die Varianz des betrachteten Merkmals in der GG ist -- VAR(Xquer) = (Sigma2/n) - Beachten: -- Drei verschiedene Mittelwerte (bei Zufallsvariablen Erwartungswert genannt) und Varianzen -- 1. Größen der GG: griechische Buchstaben, wohldefinierte Zahlen, die wir regelmäßig nicht kennen -- 2. Größen einer einzelnen gezogenen Stichprobe: (im Bsp. 1000 ausgewählte Personen): hängen von der Zufallsauswahl der Stichprobe ab und sind deswegen selbst zufällig -- 3. Größen der Verteilung der Zufallsvariablen: sind aufgrund theoretischer Überlegungen aus den Größen der Population und dem Stichprobenumfang zu berechnen, daher wohldefinierte Zahlen -- Aussagen besagen nun, dass in 1. und 3. beschriebenen Mittelwerte identisch sind und dass die Varianz (und damit auch die Standardabweichung) der Zufallsvariable „Stichprobenmittelwert“ mit wachsendem Stichprobenumfang n immer kleiner wird -- Jede Stichprobe wird einen etwas anderen Mittelwert des Merkmals ergeben und keiner wohl genau dem Mittelwert der GG sein -- Sichergehen, dass Abweichung so gering wie möglich ist sollte man große Stichprobe wählen -- Für die in der Grafik dargestellte Situation: wir haben einen anderen Stichprobenraum, Zufallsvariable und auch Verteilung ist eine andere -- Da unser Ergebnis ein Punkt auf der Achse der Zufallsvariablen ist -> Punktschätzung -- Ziel: interessierende Kenngrößen einer Verteilung durch Angabe eines Wertes zu schätzen -- Kann Parameter der Verteilung, Erwartungswert, Varianz oder Quantile sein -- Punktschätzer ist eine Stichprobenfunktion, die einen möglichst genauen Näherungswert für einen unbekannten Parameter der GG liefert
• Punktschätzung des Mittelwertes (Beispiel Würfelwurf) - Grundgesamtheit ist Menge aller Würfe mit bestimmten Würfel - Interessierendes Merkmal ist bei einem Wurf die gewürfelte Augenzahl - Ziehung Stichprobe aus Grundgesamtheit, indem 20 Mal gewürfelt wird - 5,3,1,6,4,3,6,1,2,4,4,3,2,4,2,1,1,2,5,4 - Augensumme ist 63, Mittelwert 63/20 = 3,15 - Zahl ist eine Punktschätzung für den Mittelwert des Merkmals in der Population, der bei einem idealen Würfel 3,5 beträgt
• Intervallschätzung für den Mittelwert - Wenn Stichprobe gezogen und Mittelwert berechnet wurde wissen wir, dass wir damit „in der Nähe des Populationsmittels“ liegen - Intervallschätzung für den Mittelwert einer Population erfordert das Ziehen einer Stichprobe - Punktschätzung hilft nicht weiter, wenn wir nichts darüber wissen, was „in der Nähe“ bedeutet - Bestes erreichbares Ergebnis in der Welt der Zufallsvariablen sind Wahrscheinlichkeitsaussagen - Erweiterung der Aussagen, neue Aussage betrifft den Verteilungstyp (oben wurde nur etwas zu einzelnen Kenngrößen (Mittelwert und Varianz) der Verteilung gesagt) - Zentrale Grenzwertsatz ist eine Aussage über die Zufallsvariable "Mittelwert einer Stichprobe" - Konfidenzwahrscheinlichkeit ist gleich 1-Irrtumswahrscheinlichkeit, beeinflusst die Größe des kofidenzintervalls, ist ein von der Aufgabenstellung beeinflusster Parameter - Intervallschätzungen führen bei gegebener Irrtumswahrscheinlichkeit zu kleinerenIntervallen, wenn wir die Varianz des untersuchten Merkmals in der Grundgesamtheitkennen - Ziehen wir aus irgendeiner Grundgesamtheit Stichproben von je 100 Beobachtungen, bilden für jede Stichprobe den Mittelwert des interessierenden Merkmals und notieren alle so gewonnenen Werte, dann nähert sich deren Verteilung einer Normalverteilung - z-Transformation überführt eine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung
• Intervallschätzung für den Mittelwert (Aussage 3, Aussage 4, Aussage 5) - Aussage 3 -- Ist Merkmal X in der Grundgesamtheit normalverteilt mit N(müh,sigma), dann ist auch X Oberstrich normalverteilt und zwar mit N(müh,Sigma/Wurzel n) - Aussage 4 -- Hat das Merkmal in der GG irgendeine unbekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Mittelwert Müh und Standardabweichung Sigma und ist der Stichprobenumfang hinreichend groß, dann ist X Überstrich in guter Näherung normalverteilt und zwar mit N(Müh, Sigma/Wurzel n) -- bekannt als Zentraler Grenzwertsatz (Aussage ü. Zufallsvariable „Mittelwert e. Stichprobe“) - Aussage 5 -- Hinreichend groß bedeutet: -- Wenn Populationsverteilung nicht durch markante Ausreißer geprägt ist: n > 30 -- Wenn Populationsverteilung einigermaßen symmetrisch ist: n > 15 -- Wenn Populationsverteilung zwar nicht normalverteilt, aber doch näherungsweise normalverteilt ist, häufig schon ein n < 15
• Intervallschätzung für den Mittelwert (Beispiel Werkstück) - Maschinell gefertigtes Werkstück mit bekannten Länge (normalverteilt, Standardabweichung 2mm) - Stichprobe von 25 Stück, mittlere Länge von 204mm ermittelt - Welche Aussage können wir über den Mittelwert in der GG aller mit der momentanen Maschinenjustierung gefertigten Werkstücke machen? - Da GG normalverteilt ist, ist gemäß Aussage 3 auch bei relativ kleinem Stichprobenumfang die Zufallsverteilung der Stichprobenmittel eine Normalverteilung und zwar mit dem Erwartungswert Müh = Mittelwert der GG - Wir wollen eine Sicherheit von 95% dafür haben, dass unsere Information an die Produktionsleitung über die Werkstückslänge zutrifft - Wir wissen nun: - 1. Stichprobenverteilung hat die Standardabweichung Sigma/Wurzel n - 2. Nach Überlegungen aus vorheriger Lektion liegen 95% der zu erwartenden Stichprobenmittelwerte in dem Intervall (x Überstrich – 1,96*Sigma, x Überstrich + 1,96*Sigma) - Das bedeutet für unser Beispiel, dass 95% der zu erwartenden Stichprobenmittel in dem folgenden Intervall liegen - X Überstrich – 1,96 * 2/Wurzel25 <= Müh <= x Überstrich + 1,96 * 2/Wurzel25 - X Überstrich – 1,96 * 0,4 <= Müh <= x Überstrich + 1,96 * 0,4 - 204 – 0,78 <= Müh <= 204 + 0,78 - 203,22 <= Müh <= 204,78 - Intervallschreibweise [203,22 204,78] - Mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit unterschiedet sich die Punktschätzung x Überstrich der Stichprobe (204mm) vom wahren aber unbekannten Mittelwert aller produzierten Werkstücke um höchstens 0,78mm - Erinnerung: haben es mit Zufallsprozessen und Wahrscheinlichkeiten zu tun, es lässt sich also nicht komplett ausschließen, dass der wahre Wert der Produktion eine Werkstücklänge ist, die nicht in dem ermittelten Intervall liegt (jedoch sehr selten) - Wir können vorher bestimmten, welche Sicherheit wir anstreben, Je größer die angestrebte Sicherheit, umso schwächer wird die gewonnene Aussage sein, umso größer muss das Intervall um den beobachteten Schätzwert gewählt werden - Wahrscheinlichkeit, mit der die Schätzung richtig sein soll (im Bsp. 95%) nennen wir Konfidenzwahrscheinlichkeit (manchmal Konfidenzniveau genannt) - Konfidenzwahrscheinlichkeit beeinflusst die Größe des Konfidenzintervalls, ist ein von der Aufgabenstellung beeinflusster Parameter und ist gleich 1 - Irrtumswahrscheinlichkeit - Alpha ist die verbleibende Irrtumswahrscheinlichkeit, also Konfidenzwahrscheinlichkeit = 1 – alpha - Intervall um den Stichprobenmittelwert, in dem mit der Wahrscheinlichkeit 1 – alpha der Populationsmittelwert liegt, nennen wir Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) - Konfidenzintervall ist ein Zufallsresultat, abhängig vom Wert x Überstrich der Zufallsvariable X Überstrich (Mittelwert der Stichprobe) - um sich von den drei bekannten Konfidenzniveaus 90%, 95% und 99% zu lösen, lassen wir alpha einen beliebigen Wert annehmen - tabellarische Werte stehen nur für Standardnormalverteilung zur Verfügung, deshalb x Überstrich der gelernten z-Transformation unterwerfen: z = ((xquer - Müh) / sigma) / Wurzel(n) = (xquer - Müh) / sigma * Wurzel(n) - Jetzt Suche eines z-Intervalls, in das die z-Werte mit der Wahrscheinlichkeit 1 – alpha fallen - Außerhalb des Intervalls soll nur ein Anteil der alpha Werte angesiedelt sein, wegen der Symmetrie der Verteilung alpha/2 - Suchen in der Tabelle zu alpha/2 den zugehörigen z-Wert und nennen ihn alpha/2 - Wir erhalten für die Schätzung des Populationsmittels die Grenzen: Müh = xquer +- zalpha/2 * (sigma/Wurzel(n)) und haben damit eine Intervallschätzung für den Mittelwert der Grundgesamtheit für den Fall gewonnen, dass wir aus einem der in den obigen Aussagen 3-5 genannten Gründen eine Normalverteilung des Stichprobenmittels annehmen dürfen und die Varianz der GG bekannt ist: - Quantil ist links und rechts jeweils zalpha/2 und -zalpha/2
• Intervallschätzung für den Mittelwert (Beispiel Würfel) - Wir sind sicher, dass GG eine symmetrische Verteilung hat, deshalb nach Aussage 5 können wir mit Stichprobenumfang von 20 auskommen - Benötigen genau 93%-ige Konfidenzwahrscheinlichkeit, d.h. alpha = 7% und damit alpha/2 = 0,035 entsprechend 3,5% - Suche in Tabelle der Standardnormalverteilung nach z-Wert, sodass oberhalb nur noch Werte mit zusammengenommen dieser Wahrscheinlichkeit liegen - Es gilt also P (Z> zalpha/2) = 0,035 und damit 1 – P (Z< zalpha/2) = 0,035 und schließlich P (Z< zalpha/2) = 1 – 0,035 = 0,0965 - In Tabelle der der Standardnormalverteilung finden wir, dass zalpha/2 = 1,81 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9649 nah an 0,965 liegt (in der Tabelle schauen welche Zahl am nächsten an 0,965 liegt und dann ablesen, hier 0,949 -> 1,81) - Wir nehmen also als zalpha/2 = 1,81, Erinnerung (Varianz sigma2 der GG ist als 2,92 aus Vorherigen bekannt, ebenso xquer) - Das 93%-ige Konfidenzintervall für den Mittelwert ist folgendes:  - Müh = xquer +- zalpha/2 * (sigma/Wurzel(n)) - 3,15 – 1,81 * (Wurzel2,92 / Wurzel20) <= Müh <= 3,15 + 1,81 * (Wurzel2,92 / Wurzel20) - 3,15 – 0,69 <= Müh <= 3,15 + 0,69 - 2,46 <= Müh <= 3,84 - Damit wissen wir mit der von uns für nötig gehaltenen Sicherheit, dass der Mittelwert zwischen 2,46 und 3,84 liegt - Dass Varianz der GG bekannt ist, ist optimistische Annahme - Trifft dann zu, wenn aus früheren Untersuchungen Analogieschlüsse gezogen werden können - Da wir einen weiteren Wert aus der Population nämlich die Standardabweichung nicht mehr genau kennen, sondern schätzen, muss insgesamt die Intervallschätzung für den Mittelwert bei unbekannter Standardabweichung der Population etwas ungenauer werden, d.h. Intervall wird größer - Verteilung der Stichprobenmittel in diesem Fall folgt der sog. Student-t-Verteilung
• Intervallschätzung für den Mittelwert (t-Verteilung oder Student-t-Verteilung) - verdankt Namen dem Pseudonym, unter dem sie erstmalig vorgestellt wurde - Familie von Verteilungen, um eine von einem Parameter abhängige Familie stetiger Verteilungen - Parameter bezeichnet als „Anzahl der Freiheitsgrade“ - Alle Dichteverteilungen der t-Verteilungen sind symmetrisch zum Nullpunkt und ähneln derjenigen der Standardnormalverteilung; jedoch sind sie weiter gestreut - mit wachsender Anzahl der Freiheitsgrade konzentrieren sie sich stärker zum Mittelwert hin und werden dabei der Standardnormalverteilung immer ähnlicher - Tabellen zur t-Verteilung enthalten deshalb nur beschränkte Anzahl von „Familienmitgliedern“ - Für eine größere Anzahl von Freiheitsgraden greifen wir auf die Standardnormalverteilung zurück - Verzicht auf mathematische Herleitung, sondern grafische Vorstellung zusammen mit dem Grenzfall der Standardnormalverteilung - T-Verteilung hat kleinere Varianz, je größer die Zahl der Freiheitsgrade ist, wird für eine große Stichprobe durch die Standardnormalverteilung approximiert, sie wird benötigt, wenn wir die Varianz der GG nicht kennen - Z-Transformation überführt eine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung - t-Verteilung, wenn Standardabweichung nicht bekannt ist (bekannt bedeutet, dass der wirkliche Wert der Grundgesamtheit bekannt ist, entweder aus Vorüberlegungen oder wenn die gesamte GG befragt wurde), ist das nicht der Fall muss t-Verteilung genommen werden (Standardabweichung wird geschätzt und dadurch geht ein FG verloren)
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• Intervallschätzung für den Mittelwert (Aussage 6) - Ist die Grundgesamtheit normalverteilt, dann ist die Zufallsvariable z = ((xquer - Müh)/s) * Wurzel(n) t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden, wobei n die Größe der Stichprobe bezeichnet - Wir erinnern uns an das Konfidenzintervall im Fall der bekannten Standardabweichung der Population: Müh = xquer +- zalpha/2 * Sigma/Wurzel(n) - Ersetzen des normalverteilten zalpha/2 durch t-verteilte talpha/2 und die Populationsstandardabweichung Sigma durch die Standardabweichung der Stichprobe s, mit gleichen Argumentationskette wie im Fall bekannten Sigma erhalten wir folgende Grenzen des Konfidenzintervalls für den Populationsmittelwert: Müh = xquer +- talpha/2 * S/Wurzel(n) - Wobei talpha/2 der t-Wert ist, oberhalb dessen nur noch eine Wahrscheinlichkeit von alpha/2 für die t-verteilte Zufallsvariable gegeben ist - Für n>100 können wir statt talpha/2 in akzeptabler Näherung auf zalpha/2 zurückgreifen - Ist die GG nicht normalverteilt, liefert die Formel häufig doch noch eine akzeptable Näherung
• Intervallschätzung für den Mittelwert (Überblick zur Berechnung von Konfidenzintervallen und weiter im Beispiel) - Grenzen des Konfidenzintervalls mit dem Konfidenzniveau (1-alpha) erhält man, indem man je nach Bedarf entsprechend der folgenden Tabelle zalpha/2 oder talpha/2 mit den n-1 Freiheitsgraden in der passenden Tabelle aufsucht (den z- bzw. t-Wert, zu dem in der Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitswert 1 -alpha/2 gehört) und berechnen als Intervalle für Müh: - Wenn sigma2 bekann: xquer +- zalpha/2 * Sigma/Wurzel(n) - Wenn sigma2 unbekann: xquer +- talpha/2 * S/Wurzel(n) - Weiter mit Beispiel (Werkstückproduktion) -- Im Nachhinein Zweifel, ob Annahme einer Standardabweichung von 2mm in der GG auf sicheren Füßen steht -- In Wirklichkeit gegen sie sie nur vor, aber in Wirklichkeit die Standardabweichung aus der Stichprobe errechnet -- Wir dürfen nicht mehr mit dem zalpha/2 Wert und der Standardnormalverteilung arbeiten, da Annahme einer normalverteilten GG aber weiterhin vertretbar erschein, bleibt der Weg über die t-Verteilung -- Wir arbeiten weiter mit einem 95%-Konfidenzniveau, das heißt alpha/2 = 0,025 -- Bei einem Stichprobenumfang von 25 ist die t-Verteilung mit 24 Freiheitsgraden zu wählen -- Normal hätte man in der Standardnormalverteilung den Wert (1-0,025=0,975) gesucht und abgelesen zalpha/2 = 1,96 -- Jetzt jedoch in t-Verteilung bei 24 Freiheitsgraden und einseitig 0,025 den Wert ablesen talpha/2 = 2,064 -- Das bedeutet, dass sich das Konfidenzintervall dementsprechend auf x Überstrich – 2,064 * 0,4 <= Müh <= x Überstrich +2,064 * 0,4 bzw. [203,17 204,83] vergrößert hat
• Bestimmung der Stichprobengröße - Es kann sein, dass wir die statistische Sicherheit der Aussage zwar nicht mindern wollen (kein größeres alpha in Frage kommt), gleichwohl aber die Unbestimmtheit der Schätzung, also die Größe des Konfidenzintervalls, unakzeptabel ist - Stichprobenumfang ist die Größe, die wir beeinflussen können, um den Abstand zwischen gemessenem Stichprobenmittel X Überstrich und geschätztem Müh bei konstantem alpha zu kontrollieren - Damit |X Überstrich – Müh| < e (mit vorgegebenem e) gilt, muss  zalpha/2 * (Sigma/Wurzel(n)) <= e       erreicht werden. Das ist nach Umformung der obigen Gleichung mit n >= ((zalpha/2 * Sigma) / e)2 zu gewährleisten - e = absoluter Fehler, der die halbe Breite des Konfidenzintervalls ist, er ist ein Maß für die Genauigkeit der Schätzung - ist Sigma unbekannt, kann die Standardabweichung nicht einfach durch s ersetzt werden, da talpha/2 n bereits bekannt sein muss, um die Zahl der Freiheitsgrade zu kennen - geschätztes s aber dennoch zalpha/2 verwenden, wenn hinreichend großes n ergibt, ist die Verwendung von z statt t gerechtfertigt - Lage des Konfidenzintervalls für den Mittelwert können wir durch die Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit beeinflussen, können wir durch den Umfang der Stichprobe beeinflussen und hängt davon ab, ob wir die Varianz des Merkmals in der GG kennen - Bei gegebenem Konfidenzniveau halbieren wir die Größe des Konfidenzintervalls, wenn wir den Stichprobenumfang vervierfachen - Wer bei der Intervallschätzung nur eine geringe Irrtumswahrscheinlichkeit in Kauf nehmen kann, muss mit einem großen Konfidenzintervall rechnen
• Bestimmung einer Stichprobengröße (weiter im Beispiel Werkstückproduktion) - Wir hatten für die auf dem Konfidenzniveau 95% zu gewährleistende Schätzgenauigkeit |X Überstrich – Müh| <= 0,78 berechnet - Erweist sich dies nun als zu grob und möchten wir die Genauigkeit so weit erhöhen, dass wir |X Überstrich – Müh| <= 0,5 mit wiederum 95% Sicherheit erhalten, dann ist zu fordern: n >= ((zalpha/2 * Sigma) / e)2 = ((1,96*2)/0,5)2 = 61,46 -> ca. 62 - Bei Bestimmung von n wird immer aufgerundet, um sicherzugehen, dass das Wahrscheinlichkeitsintervall die vorgegebene Größe unterschreitet - Wunsch nach verbesserten Schätzungen führt zu erhöhten Untersuchungsaufwand durch Vergrößerung des Stichprobenumfangs

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