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Angewandte Statistik (Subject) / Lektion 02 (Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Maße) (Lesson)

Statistik

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  • Lagemaße von statistischen Verteilungen - Aus Kosten- und Praktikabilitätsgründen werden nur Stichproben betrachtet und daraus auf die Maßzahlen der Population geschlossen - z.B. 1000 Wähler werden befragt, aus Ergebnis wird auf alle Wähler geschlossen, wie sie abstimmen - Maße mit Bezug auf Grundgesamtheit -> Parameter der Grundgesamtheit, griechischer Buchstabe - Maße mit Bezug auf Stichproben -> Stichprobenvariable, Notierung lateinischer Buchstabe - Geeignetes Maß der Lage der Verteilung von beobachteten Werten (Merkmalsausprägungen) im Merkmalsraum = arithmetisches Mittel - Andere Lagemaße z.B. Modus oder Median
  • Lagemaße von statistischen Verteilungen (Arithmetisches Mittel) - Auch als Mittelwert bezeichnet, Schwerpunkt aller Werte (Merkmalsausprägungen), Müh für Population und Xquer für Sichprobe - Müh = 1/N * Summe xi - Xquer = 1/n * Summe xi - Beispiel: -- Werte 3, 17, 10, -20, 36, -16 haben die Summe 30 -- Mittelwert = 30/6 = 5 - Zentraleigenschaft -- Summe der Abstände der Einzelwerte vom Mittelwert, jeweils mit entsprechenden Vorzeichen gerechnet, ergeben Nul -- Summe ( xi - xquer) = 0 - Median (Zentralwert) der in der Mitte liegende Wert einer Verteilung in der geordneten Reihe - Modalwert (Modus, Gipfelwert) der am häufigsten aufgetretene Wert einer Verteilung
  • Streuungsmaß statistischer Verteilungen - Verteilung von Daten über eine Skala und Verdichtung dieser Streuungsinformation zu einer Zahl - z.B. für Investoren (nicht nur an mittlerer zu erwartenden Wertentwicklung interessiert, sondern auch an der Wertschwankung (Risiko) oder Beispiel aus Tutorium mit den Dörfern und Kühen (3 Dörfer gleiche Mittelwert 5 Kühe, aber 3 Dörfer könnten keine Kühe haben und ein Dorf 20, deshalb Varianz und Standardabweichung erforderlich) - meist Beobachtung einer Stichprobe, da nicht alle Individuen beobachtet werden können - beobachtete Zahl α Alpha soll uns einen Anhaltspunkt für die entsprechende Zahl der Population α Alpha der Grundgesamtheit geben - Zahl α aus der Stichprobe ist ein Schätzwert für die Zahl α der Grundgesamtheit, wir sprechen hier von einer Punktschätzung, da es sich jeweils um einzelne Zahlen handelt
  • Streuungsmaß statistischer Verteilungen (mittlere Absolute Abweichung, Mittlere quadratische Abweichung der Stichprobe und Population) - Mittlere Absolute Abweichung -- wenig verbreitete Maßzahl für die Streuung, da sie für Theorie und Praxis nicht geeignet ist -- 1/n Summe |xi - xquer| - Mittlere quadratische Abweichung der Stichprobe -- 1/n-1 Summe (xi - xquer)2 - Mittlere quadratische Abweichung der Population -- 1/N Summe (xi - Müh)2
  • Streuungsmaß statistischer Verteilungen (Sigma Quadrat und s Quadrat, Sigma und s) - Varianz (Sigma Quadrat und s Quadrat) -- Sigma Quadrat = 1/N Summe(xi - Müh)2  für die Population -- s Quadrat = 1/n-1 Summe (xi - xquer)2  für die Stichprobe - Standardabweichung (Sigma und s) -- Sigma = Wurzel (Sigma Quadrat) -- s = Wurzel (s Quadrat) - je größer die Varianz oder Standardabweichung bei gleichem Mittelwert ist, desto größer ist die Streuung - Spannweite R
  • Zufallsvariable - Wahrscheinlichkeitswerte gehören zu Zufallsereignissen, Abbildung in die reellen Zahlen - Zuordnung von reellen Zahlen zu den Ereignissen (Zufallsvariablen) (X-Achse) - Ereignisraum mit Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse -> X: Zufallsvariable, Abbildung vom Ereignisraum in die reelen Zahlen -> Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse nach Abbildung auf die Zufallsvariable X - Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit, die einem Wert der Zufallsvariablen zugeordnet ist (Y-Achse) - kann bspw. Dem Ergebnis „Kopf“ beim Münzwurf den Wert 1 zuordnen - Zufallsexperiment: zweimal würfeln -> Zufallsvariable X: Summe der Punktzahlen -> Beispiel für ein Ereignis: Würfeln von (6,3) -> Wert der Zufallsvariablen im Beispiel: 9
  • Möglichkeiten der Schätzung (zwei Prinzipien) - Punktschätzung -- eindeutiger Wert -- berücksichtigt nicht die Unsicherheit der Schätzung - Intervallschätzung auch Breichsschätzverfahren -- kein eindeutiger Wert -- berücksichtigt die Unsicherheit der Schätzung
  • Diskrete Zufallsvariable - Sind solche, die nur eine endliche Anzahl von Werten haben oder höchst. eine abzählbare Wertemenge, kann nur bestimmte Werte annehmen z.B. Münzwurf „Kopf“ oder „Zahl“ - Ordnet jedem Ereignis des zugrundeliegenden Ereignisraums einen Zahlenwert zu - Beispiel 1: -- Würfelwurf, Zufallsvariable X = Anzahl der Punkte, jeder der Zahlen 1-6 sind dann auf der Achse der Zufallsvariablen der Wahrscheinlichkeitswert 1/6 -- Zuordnung: x -> p (x) = P (X=x) Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen -- Diskrete Gleichverteilung, da die Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, d.h. jeder Wurf hat gleiche Wahrscheinlichkeit 1/6 - Beispiel 2: -- Würfelwurf mit zwei Würfeln, Zufallsvariable X = Summe der Punktzahlen beider Würfel, 36 (6*6) mögliche Elementarereignisse ebenfalls gleich wahrscheinlich, Zufallsvariable bildet aber mehrere Elementarereignisse auf einen x-Wert ab -- z.B. 4 hat die Wahrscheinlichkeit p (4) = 1/12 -- Punktsumme 4 kann erreicht werden durch (1,3), (2,2), (3,1), jedes der Ereignisse hat die Wahrscheinlichkeit 1/36 -- 4 = 3*1/36 = 1/12 -- Punktsumme 7 -> (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) -> 6/36 = 1/6
  • Diskrete Zufallsvariable (Kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion/ Verteilungsfunktion) - Gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Wert der Zufallsvariablen höchstens einen bestimmten x-Wert annimmt: x -> F (x) = P (X <= x) - Verteilungsfunktionen von diskreten Zufallsvariablen sind Treppenfunktionen, die einen Sprung bei jedem Wert der Zufallsvariablen mit von 0 verschiedener Wahrscheinlichkeit haben - An den Sprungstellen nimmt due Funktion jeweils den Wert der oberen Treppenstufe an - z.B. P (X <= 3,7) Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Wurf eine Augenzahl 1 oder 2 oder 3 zeigt gleich 3/6 = 1/2 - P (X <= 3) hat denselben Wert, aber P (X <= 2,9999999) = 2/6 = 1/3
  • Definitionen und Formeln für Zufallsvariablen - Mittelwert hier als Erwartungswert definiert: -- E(X) = Müh = Summe xi* p(xi)  - Varianz als Maß für die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert: -- VAR(X) = Sigma2 = Summe (xi - Müh)2 * p(xi) - Standardabweichung: -- Sigma = Wurzel (Sigma2) - Beispiel: -- Einfacher Würfel, für Müh = 1+2+3+4+5+6 = 21/6 = 3,5 -- VAR(X) = (1-3,5)2 *1/6 + (2-3,5)2 *1/6 +......... = 2,9 -- Sigma = Wurzel (2,9) = 1,7
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  • Stetige Zufallsvariable - Wird auch als kontinuierliche Zufallsvariable bezeichnet - kann nur endlich viele Werte haben - ordnet jedem Ereignis des zugrundeliegenden Ereignisraumes einen Zahlenwert zu - ist nicht diskret, kann alle Werte annehmen, die möglich sind z.B. Temper. zwischen 20° und 30° - Sind solche die unendliche Anzahl von Werten haben, Zufallsvariable X hat in jedem Intervall a <= X <= b unendlich viele Ausprägungen - Beispiel mit Körpergewicht, Zufallsvariable kann grundsätzliche jede Zahl zwischen z.B. 20kg und 80kg annehmen, dass genau ein Wert von 42,713kg beobachtet wird, können wir praktisch ausschließen - Für diskrete Zufallsvariablen eingeführte Wahrscheinlichkeitsfunktion versagt daher an dieser Stelle - Ihr entspricht im Falle der stetigen Zufallsvariable die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, kurz Dichtefunktion, aus der sich aber direkt keine Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen ablesen lassen - Aus der Dichtefunktion kann aber eine sinnvolle Verteilungsfunktion abgeleitet werden - Verteilungsfunktion entspricht der Fläche unterhalb der Dichtefunktion - Dichtefunktion f(x) = P(a<=X<=b) = aIntegralb f(x) dx - Verteilungsfunktion F(x) hängt wie folgt mit der Dichtefunktion f(t) zusammen: -- F(x) = -UnendlichIntegralx f(t) dt - Verteilungsfunktion erweist sich daher als die universellere Beschreibung für Zufallsvariablen - Differenz F(x2) – F(x1) = P(X<=x2) – P(X<=x1) = P(x1<X<x2) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable Werte zwischen x1 und x2 annimmt - Beispiel: - Hat sich ergeben, dass in einer Bevölkerungsgruppe die Wahrscheinlichkeit 0,75 ist für ein Körpergewicht von bis zu 80kg und die Wahrscheinlichkeit 0,51 für ein Gewicht von bis zu 70kg, dann liegt das Gewicht einer zufällig herausgegriffenen Person dieser Gruppe mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% - 51% = 24% zwischen 70kg und 80kg
  • Normalverteilung - Glockenkurve, Normalverteilung ist symmetrisch zu ihrem Mittelwert - Handelt sich um eine von zwei Parametern abhängige Familie von Verteilungen - Relevanten Parameter sind in diesem Fall identisch mit den Kenngrößen Erwartungswert Müh und Varianz Sigma Quadrat bzw. Standardabweichung Sigma der Verteilung - Kurz: Verteilung sei N(Müh, Sigma) und meinen damit, dass die Zufallsvariable normalverteilt mit einem Erwartungswert Müh und einer Standardabweichung Sigma ist - Viele reale Verteilungen (Körpergrößen, Messwerte) sind annähernd normalverteilt - Standardnormalverteilung gehört zu den Parametern Müh=0 und Sigma=1 und hat Bezeichnung N(0,1) - Sie ist symmetrisch zur senkrechten Koordinatenachse, hat den Mittelwert 0 und eine Standardabweichung von 1 - Tabelliert ist die Verteilungsfunktion der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung die jeweils die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis zum Wert z, also P(Z<z) angibt - z.B mit welcher Wahrscheinlichkeit Z kleiner als 0,34 also P(Z<=0,34) dann kann man Wert aus Tabelle auslesen, hier ergibt es P(Z<=0,34) = 0,6331 d.h. die Wahrscheinlichkeit einen Wert kleiner gleich 0,34 zu erhalten bei einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen N(0,1) ist 63,31% - Einzelwerte haben keine Fläche und deshalb auch keine Wahrscheinlichkeit, P(Z=0,34) = 0 - Interessiert man sich für ein Intervall so zieht man einfach den kleineren Wert (Untere Intervallgrenze) vom größeren Wert (Obere Intervallgrenze) ab - P(1,2<=Z<=1,7) = P(Z<=1,7) – P(Z<=1,2) = 0,9554 – 0,8849 = 0,0705 oder 7,05% - Bezeichnung der unabhängigen Variablen wurde für die Standardnormalverteilung von bisher X und x geändert - Z für standardnormalverteilte Zufallsvariable und z für einen konkreten Wert dieser Zufallsvariablen - z = (x - Müh) / sigma     bzw.     x = Müh + sigma * z - aus Normalverteilung kann man durch Standardisierung eine Standardnormalverteilung machen z= (x-Müh/sigma) - oder umgekehrt aus Standardnomalverteilung eine Normalverteilung machen x = Müh + Sigma * z
  • Normalverteilung (Beispiel) - Man interessiere sich für die Wahrscheinlichkeit, dass eine N(10,2) verteilte Zufallsvariable Werte kleiner gleich 13 annimmt - Transformation mittels Formel: z = 13 – 10/2 = 1,5 und suchen in der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung den zugehörigen Wahrscheinlichkeitswert - Benutzung der Tabelle -> 0,9332 also 93,32% ist demnach die Wahrscheinlichkeit für Werte unserer N(10,2) verteilten Zufallsvariablen kleiner gleich 13 zu sein: P(X<=13) = 0,9332 - Bei Frage P (z<=0,95) -> Transformation, dann Wert aus Tabelle = Ergebnis - Bei Frage P (x>3) -> Transformation, dann Wert aus Tabelle und 1-Wert = Ergebnis
  • Normalverteilung (Intervallgrenzen und Beispiel) - Kennen der Grenzen, innerhalb oder außerhalb derer ein bestimmter Prozentsatz der Werte liegt, ist wichtig - In der Statistik werden einige wenige Prozentsätze routinemäßig verwendet - Interesse für Anteil der Verteilung, der symmetrisch zum Mittelwert 90%, 95% bzw. 99% der „Wahrscheinlichkeitsmasse“ enthält, das Intervall symmetrisch zum Mittelwert, in das die Zufallswerte mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten fallen - Berechnung der Intervallgrenzen als Mittelwert +- Vielfaches der Standardabweichung und erhalten für die genannten Prozentzahlen als jeweils zugehöriges „Vielfaches“ - 90%: 1,645,     95%: 1,96,        99%: 2,575 - In das Intervall: Müh – 1,645 * Sigma <= x <= Müh + 1,645 * Sigma fallen 90% - In das Intervall: Müh – 1,96 * Sigma <= x <= Müh + 1,96 * Sigma fallen 95% - In das Intervall: Müh – 2,575 * Sigma <= x <= Müh + 2,575 * Sigma fallen 99% - Anders beschrieben, außerhalb der Intervallgrenzen liegen nur 10%, 5% bzw. 1% der Zufallswerte oder oberhalb bzw. unterhalb der oberen bzw. unteren Grenzen liegen nur 5%, 2,5% bzw. 0,5% - Beispiel: -- A) Wieder die N(10,2)-Normalverteilung -- Oben ermittelt, dass von 13 ca. 94% der Zufallswerte zu erwarten sind -- Innerhalb welcher Grenzen rechts und links vom Mittelwert 10 liegen insgesamt 90% der Fälle? -- Eben erfahren, dass die Grenzen das 1,64-fache der Standardabweichung vom Mittelwert entfernt sind -- Untere Grenze demnach bei 10 – 1,64 * 2 = 6,72 -- Obere Grenze demnach bei 10 + 1,64 * 2 = 13,28 -- 10 - 1,64 * 2 <= x <= 10 + 1,64 * 2  - B) Statt einer Vorgabe der Prozentzahlen kann man auch umgekehrt auf ein Vielfaches der Standardabweichung abstellen -- Es bietet sich hier an ein ganzzahliges Vielfaches von Sigma zu wählen, dann erhält man: -- Müh – 1 * Sigma <= x <= Müh + 1 * Sigma -----> circa 68,3% -- Müh – 2 * Sigma <= x <= Müh + 2 * Sigma -----> circa 95,5% -- Müh – 3 * Sigma <= x <= Müh + 3 * Sigma -----> circa 99,7%

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