PB2_1_Evaluation (Subject) / Psychologie (Lesson)

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• 2. Wozu dient die exploratorische Faktorenanalyse? Identifikation von Modellen, welche die Daten am besten beschreiben Was wird bei der exploratorischen Faktorenanalyse gemacht?
• 1. Was wird bei der exploratorischen Faktorenanalyse gemacht? Es werden sog. Faktoren extrahiert, die zur Varianzaufklärung der Daten verwendet werden
• 3. Welche drei Extraktionsverfahren stehen in R für die Faktorenanalyse zur Verfügung? 1. Hauptkomponentenanalyse (PC)  2. Hauptachsenanalyse (FA)  3. Maximum-Likelihood-Schätzung (ML) 
• 4. Sind die Voraussetzungen für den Datensatz gegeben, so sollte man immer eine... ...Maximum-Likelihood-Schätzung (ML) durchgeführt werden, da das gewonnenen Modell auf diese Weise statistisch belegt wird. 
• 5. Kann der Datensatz den Voraussetzungen für das Maximum-Likelihood-Schätzung (ML) nicht genügen, kann auf die... ... Hauptachsenanalyse (FA) zurückgegriffen werden
• 6. Wieso ist das Extraktionsverfahren Hauptkomponentenanalyse (PC) für die Faktorenanalyse nicht zu empfehlen? - Die Hauptkomponentenanalyse (PC) geht davon aus, dass die komplette Varianz der Daten durch die Faktoren erklärt werden kann - Diese postulierte Freiheit von Messfehlern kann in der Realität nicht angenommen werden, weshalb hier die anderen Extraktionsverfahren zu empfehlen sind: 1. Hauptachsenanalyse (FA)2. Maximum-Likelihood-Schätzung (ML)   
• 7. Wonach wird das Abbruchkriterium bei den Extraktionsmethoden Hauptkomponentenanalyse (PC) und Hauptachsenanalyse (FA) bestimmt? 1. Entscheidung mithilfe eines Screeplots, wie viele Faktoren extrahiert werden sollen  2. Darstellung: Abzisse = Anzahl der zu extrahierenden Faktoren / Ordianate = Eigenwert jedes Faktors  https://pl.vc/1ktbmy
• Was ist ein Screeplot? Ein Screeplot zeigt die einer Komponente oder einem Faktor zugeordneten Eigenwerte in absteigender Reihenfolge im Vergleich zur Anzahl der Komponenten oder Faktoren. Mit Screeplots können Sie in der Hauptkomponentenanalyse und der Faktorenanalyse visuell beurteilen, welche Komponenten bzw. Faktoren den größten Teil der Streuung der Daten verursachen. Das ideale Muster in einem Screeplot ist eine steile Kurve, die in eine Biegung und dann in eine flache Linie oder eine Gerade übergeht. Behalten Sie die Komponenten oder Faktoren bei, die sich in der steilen Kurve vor dem ersten Punkt befinden, an dem der Trend zur Linie beginnt. Die Interpretation eines Screeplots gestaltet sich bisweilen schwierig. Mit Ihrer Kenntnis der Daten und den Ergebnissen der anderen Ansätze zum Auswählen von Komponenten oder Faktoren können Sie die Entscheidung über die Anzahl der wichtigen Komponenten bzw. Faktoren leichter treffen.
• 8. Welche drei verschiedenen Abbruchkriterien stehen für die Hauptkomponentenanalyse (PC) und Hauptachsenanalyse (FA) zur Verfügung? 1. Kaiser-Guttman-Kriterium 2. Knick-Kriterium 3. Parallelanalyse 
• 9. Wie geht man beim Kaiser-Guttman-Kriterium vor? Gemäß dieses Kriteriums werden nur Faktoren mit einem Eigenwert größer 1 extrahiert. Bsp. Im Skript S. 6 (In diesem Beispiel sollten also mit der PC 2 und mit der FA 1 Faktor extrahiert werden)
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• 10. Wie geht man bei dem Scree-Kriterium vor? In diesem Fall sollen nur Faktoren extrahiert werden, die vor dem "Knick" im Graphen liegen. Diese Entscheidung kann teilweise sehr subjektiv sein, weshalb das Kriterium nicht zu empfehlen ist. Bsp. Skript S. 7 (Hier würde sowohl für PC, als auch für FA 1 Faktor extrahiert werden, da der Knick bei x = 2 Faktoren liegt)
• 11. Wie geht man bei der Parallelanalyse vor? Bei diesem Verfahren werden die tatsächlichen Daten mit zufällig generierten Daten (Simulated Data) verglichen. Es werden nur Faktoren extrahiert, deren Eigenwert über dem Zufallsgraphen liegen. Im Beispiel ist dies 1 Faktor bei der PC und 2 Faktoren bei der FA. Entscheidet man sich für eine ML-Schätzung, so können mehrere Modelle (also zum Beispiel 1 Faktor, 2 Faktoren usw.) inferenzstatistisch auf ihre Güte getestet und dann verglichen werden (siehe 3.1.4). 
• 12. Durchführung der Faktorenanalyse: Sobald die Anzahl der zu extrahierenden Faktoren feststeht, kann mit dem Befehl fa() ein Modell der FA oder ML entworfen und anschließend mit print() ausgegeben werden: Faktor.1 = fa(Datenmatrix, 1, fm= "fa", rotate= "none") # Faktor.1: Name des Modells. Es heißt hier "Faktor.1", weil 1# Faktor extrahiert werden soll.# Datenmatrix: Zugrundeliegende Datenmatrix# 1: Angabe, wie viele Faktoren extrahiert werden sollen. Hier# wurde gemäß des Kaiser-Guttman-Kriteriums 1 Faktor gewählt.# fm: Extraktionsmethode #  fm="pa" -> Hauptachsenanalyse #  fm="ml" -> Maximum Likelihood # rotate: Angabe, ob Faktormatrix rotiert werden soll. Dies verändert die Ergebnisse nicht, kann die Interpretation jedoch erleichtern. In diesem Beispiel wurde nicht rotiert. print(Faktor.1, digits= 2, cutoff=0.3, sort= TRUE) # Faktor.1: Name des zuvor entworfenen Modells   # digits: Nachkommastellen # cutoff: Angabe, ab wann Faktorladungen unterdrückt werden sollen. In diesem Beispiel werden keine Faktorladungen kleiner 0.3 mehr angezeigt.  # sort: Angabe, ob Faktorladungen der Größe nach absteigend angezeigt werden sollen. OUTPUT  Factor Analysis using method = pa Call: fa(r = Datenmatrix, nfactors = 1, rotate = "none", fm = "pa") Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation m trix                    V  PA1  h2   u2 item4          4 0.87 0.75 0.25 item5          5 0.82 0.68 0.32 item13      12 0.81 0.65 0.35 item3          3 0.81 0.65 0.35 item12      11 0.73 0.53 0.47 item15      14 0.70 0.49 0.51 item11      10 0.67 0.45 0.55 item7         7 0.64 0.41 0.59 item9         8 0.63 0.40 0.60 item2         2 0.61 0.37 0.63 item10       1 0.46 0.21 0.79 item14     13 0.53 0.28 0.72 item6         6 0.52 0.27 0.73 item1         1 0.46 0.21 0.79                           PA1  SS loadings      6.50 Proportion Var  0.46 Als Ergebnis wird die Ladungsmatrix angegeben, wobei die Faktorla- dung (PA1), die Kommunalität (h2), sowie die itemspezifische Varianz (u2) zu jedem Item ausgegeben werden. Unter "SS loadings" ist der Eigenwert eines jeden Faktors, sowie unter "Proportion Var" seine Varianzaufklärung abzulesen. 
• 13. Maximum Likelihood: Da bei der ML-Schätzung zuvor kein Abbruchkriterium vorlag, sondern die Modelle inferenzstatistisch auf ihre Güte untersucht werden. Müssen zunächst verschiedene Modelle erstellt werden, die jeweils eine andere Anzahl an Faktoren extrahieren. Was ist für die Wahl des Modells relevant? ML.1 <- fa(Datenmatrix, 1, fm= "ml", rotate= "none")  ML.2 <- fa(Datenmatrix, 2, fm= "ml", rotate= "none" ML.3 <- fa(Datenmatrix, 3, fm= "ml", rotate= "none") print(ML.1, digits= 2, cutoff=0.3, sort= TRUE) print(ML.2, digits= 2, cutoff=0.3, sort= TRUE) print(ML.3, digits= 2, cutoff=0.3, sort= TRUE) Für die Wahl des Modells sind die Fit-Indizes relevant!
• 14. Welche Fit-Indizes gibt es bei dem Extraktionsverfahren Maximum Likelihood? 1. Inferenzstatistischer Chi2-Test 2. Absolute Fit-Indizes 3. Inkrementelle Fit-Indizes 4. Sparsamkeits-Fit-Indizes 
• 15. Wie wird der folgender Output eines inferenzstatistischen Chi2-Tests interpretiert? The total number of observations was 80 with MLE Chi Square = 60.42 with prob < 0.2 Liegt eine Wahrscheinlichkeit kleiner 0.05 (prob < 0.05) vor, so unterscheidet sich die modelltheoretische Kovarianzmatrix signifikant von der empirischen Kovarianzmatrix, womit das Modell die Daten nicht gut abbildet. 
• 16. Was gibt Root-Mean-Square-Error of Approximation (RMSEA) an? RMSEA index = 0.06 and the 90 % confidence intervals are NA 0.088 0.3 Er gibt an, wie stark sich die modelltheoretische und die empirische Kovarianzmatrix unterscheiden. Je kleiner der Wert, umso besser:   RMSEA ≤ .05 -> Guter Modellfit  RMSEA ≤ .08 -> Akzeptabler Modellfit RMSEA ≤ .10 -> Mittelmäßiger Modellfit 
• 17. Was gibt die Tucker-Lewis Index of Reliability (NNFI) an? Tucker Lewis Index of factoring reliability = 0.972 Hier wird das neue Modell mit einem Nullmodell verglichen, bei wel- chem nur Varianzen geschätzt oder alle Parameter auf 0 gesetzt werden. Je größer der Wert, umso besser: Tucker Lewis Index of factoring reliability = 0.972  NNFI ≥ .97 -> Guter Modellfit  NNFI ≥ .95 -> Akzeptabler Modellfit 
• 18. Was gibt der Bayesian Information Criterion (BIC) an? BIC = -167.44 Das BIC gibt über einen Vergleich der Freiheitsgrade an, wie sparsam ein Modell ist. Es kann nur interpretiert werden, wenn es mit anderen BIC verglichen wird. Grundsätzlich gilt: Vergleicht man zwei Mo- delle, so ist jenes sparsamer, dessen BIC kleiner (negativer) ist.
• 19. Wie würden Sie folgenden Output der Fit-Indizes für die Extraktion von 1, 2 und 3 Faktoren interpretieren? 1_IIII_2_IIII_3 Chi2_IIII_1.6e^-5_IIII_0.092_IIII_0.2 RMSEA_IIII_0.111_IIII_0.067_IIII_0.06 NNFI_IIII_0.861_IIII_0.067_IIII_0.972 BIC_IIII_-197.57_IIII_-200.96_IIII_-167.44 Der Tabelle ist zu entnehmen, dass ein Modell mit nur einem Faktor keinen guten Modellfit aufweisen würde. Vergleicht man die beiden anderen Modelle, so zeigt sich, dass Modell 3 zwar einen besseren NNFI aufweist, jedoch weniger sparsam als Modell 2 ist. In diesem Fall liegt eine Entscheidung für Modell 2 aus Gründen der Sparsamkeit nahe; Modell 3 erklärt kaum mehr Varianz als Modell 2, weshalb es verworfen wird. 
• 20. Was wird im Rahmen einer Trendanalyse untersucht? Im Rahmen der Trendanalyse wird eine Zeitreihe auf charakteristische Veränderungen des Mittelwertniveaus untersucht. 
• 21. Was wird als globaler Trend bezeichnet? Eine stetige, über den gesamten Verlauf der Zeitreihe bestehende Veränderung wird als globaler Trend bezeichnet.  
• 22. Nennen Sie ein Beispiel für einen globalen Trend. Ein Beispiel stellt das andauernde Wachstum des menschlichen Gehirns im Zeitraum von der Geburt bis zum dritten Lebensjahr dar. 
• 23. Wie kann man globale Trends beschreiben und welche Rückschlüsse kann man daraus ziehen? Globale Trends lassen sich mithilfe von mathematischen Funktionen beschreiben, womit einerseits Rückschlüsse auf den Verlauf ähnlicher Zeitreihen gezogen und andererseits Annahmen über die zukünftige Entwicklung getroffen werden können.
• 24. Wie nennt man die kurzfristige Veränderung des Mittelwertniveaus in einer Zeitreihe? Im Rahmen einer solchen Phase steigt, fällt oder schwankt das Niveau in einem gegebenen Intervall, um anschließend wieder den ursprünglichen Wert anzunehmen. Dieses Phänomen wird als lokaler Trend bezeichnet. 
• 25. Welche zwei distinktiven Begriffe werden im Rahmen der Zeitreihenanalyse unterschieden? 1. Trendanalyse  2. Trendbereinigung  
• 26. Wozu dient die Trendanalyse? Eine Trendanalyse wird durchgeführt, um den Verlauf einer Zeitreihe zu analysieren und ggf. Prognosen über deren zukünftigen Verlauf aufzustellen. 
• 27 Wozu dient die Trendbereinigung? Eine Trendbereinigung bedient sich der Trendanalyse und bezeichnet eine Bereinigung der Zeitreihe um sowohl lokale als auch globale Trends, um die Voraussetzungen für weiterführende inferenzstatistische Verfahren zu schaffen. 
• 28. Was ist das gängigste Mittel zur Beschreibung eines globalen Trends? Das gängigste Mittel zur Beschreibung eines globalen Trends erfolgt mithilfe von polynomialer Regression. Ein Polynom ist eine mathematische Funktion, die der folgenden algebraischen Notation genügt:  𝑃𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1 × 𝑡1 + 𝑏2 × 𝑡2 + ⋯ + 𝑏𝑔 × 𝑡𝑔  Die Gleichung gibt (auf der linken Seite) den Funktionswert der Zeitreihe P zum Zeitpunkt t an. Dieser wird (auf der rechten Seite) durch den Achsenabschnitt b0 sowie weitere Regressionsgewichte b1, b2, ..., bg, die mit Potenzen des Zeitpunktes t multipliziert werden, vorhergesagt. 
• 29. Was legt die Anzahl der Regressionsgewichte und den Achsenabschnitt fest? Die Anzahl der Regressionsgewichte neben dem Achsen- abschnitt legt die Höhe des Polynomgrades fest. Ein Polynom 4. Grades verfügt somit über vier weitere Gewichte und kann durch die folgenden Funktion abgebildet werden:  𝑃𝑡 =𝑏0 +𝑏1 ×𝑡1 +𝑏2 ×𝑡2 +𝑏3 ×𝑡3 +𝑏4 ×𝑡4 
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• 30. Was beschreibt das Polynom 0. Grades? Den einfachste Fall beschreibt ein Polynom nullten Grades, dessen Funktionswert lediglich durch den Achsenabschnitt b0 bestimmt wird: 𝑃𝑡 = 𝑏0 Der Funktionswert Pt entspricht somit zu jedem Zeitpunkt t dem Ach- senabschnitt b0, womit eine Gerade entsteht, welche die Ordinate zum Zeitpunkt t = 0 bei b0 schneidet und parallel zur Abszisse verläuft. Dies soll an einem Beispieldatensatz verdeutlicht werden, welcher der folgenden Gleichung genügt: 𝑃𝑡 = 20  R:  P = c(rep(20, 100)) Z = c(1:100) plot(Z, P, type = "l", xlab = "ZEITPUNKT(t)", ylab = "P(t)")
• 31. Was beschreibt das Polynom 1. Grades? Durch die Aufnahme des ersten Regressionsgewichts wird die Vorher- sagegleichung um die Steigung b1 erweitert, die mit dem Zeitpunkt t multipliziert zum Achsenabschnitt hinzuaddiert wird:  𝑃𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1 × 𝑡  Der Funktionswert Pt ist somit über den Verlauf der Zeitreihe nicht mehr konstant, sondern steigt mit Zunahme von t streng monoton an oder fällt streng monoton ab. Genügt eine Zeitreihe einem Polynom 1. Grades, unterliegt diese damit einem linearen Trend. Dies sei am Beispiel der folgenden Funktion verdeutlicht, welche die Ordinate zum Zeitpunkt t = 0 bei 𝑃0 =20+5×0=20 schneidet. Mit Zunahme von t steigt der Funktionswert pro Zeitpunkt um b1 = 5 an, womit dieser beispielsweise zum Zeitpunkt t = 1 bei 𝑃1 = 20 + 5 × 1 = 25 und zum Zeit- punkt t = 2 bei 𝑃2 =20+5×2=30 liegt: 𝑃𝑡 = 20 + 5 × 𝑡  R:  P = c(rep(20, 100)) for (i in 1:length(P)) { P[i] = P[i] + 5*i } Z = c(1:100) plot(Z, P, type = "l", xlab = "ZEITPUNKT(t)", ylab = "P(t)")
• 32. Was beschreibt das Polynom 2. Grades? Der Schritt vom Polynom ersten zum Polynom zweiten Grades umfasst lediglich die Aufnahme des zweiten Regressionsgewichts b2. Dieses wird, multipliziert mit der Potenz t2, zum bereits aus 3.1.2.3 be- kannten Teil der Funktionsgleichung hinzuaddiert: 𝑃𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1 × 𝑡 + 𝑏2 × 𝑡2  Im Gegensatz zum Polynom 1. Grades steigt oder fällt der Funktions- wert Pt nicht mehr streng monoton an bzw. ab, sondern beschreibt im Verlauf der Zeit eine Kurve, sodass eine Extremstelle entsteht. Eine Zeitreihe, die durch ein Polynom 2. Grades beschrieben werden kann, unterliegt einem quadratischen Trend. Der Plot des Polynoms 2. Grades wird als Parabel bezeichnet. Im Rahmen der folgenden, beispielhaften Funktion, welche die Ordinate zum Zeitpunkt t = 0 bei 𝑃0 = 2 × 02 − 200×0+5020=5020 schneidet, sei dies verdeutlicht. Da das Produkt aus Regressionsgewicht zweiter Ordnung und quadriertem Zeitpunkt für kleine (frühe) Zeitpunkte langsamer wächst als das Produkt aus Re- gressionsgewicht erster Ordnung und Zeitpunkt fällt der Funktions- wert zunächst ab. Sobald jedoch der Zeitpunkt t = 50 erreicht wurde, dreht sich das Verhältnis um und der Funktionswert steigt wieder an: 𝑃𝑡 =5020−200×𝑡+2×𝑡2  R:  P = c(rep(20, 100)) for (i in 1:length(P)) { P[i] = 2*i^2 - 200*i + 5020 } Z = c(1:100) plot(Z, P, type = "l", xlab = "ZEITPUNKT(t)", ylab = "P(t)")
• 33. Was beschreibt das Polynom 3. und höheren Grades? Nach dem bekannten Schema kann der Grad des Polynoms durch die Auf- nahme zusätzlicher Regressionsgewichte weiter erhöht werden. Grund- sätzlich gilt dabei in vielen Fällen die Faustregel, dass mit jedem neuen Gewicht ab einschließlich dem Polynom 2. Grades eine weitere Extremstelle hinzukommt. Polynom 3. und Polynom 4. Grades könnten somit wie folgt aussehen: 
• 34. Was wird mit der Polynomialen Regression versucht? Im Rahmen der polynomialen Regression wird versucht, eine empirische Zeitreihe so exakt und sparsam wie möglich mithilfe eines Polynoms zu beschreiben. Eine exakte Vorhersage ist dann geglückt, wenn die quadrierten Residuen, welche die quadrierte Differenz zwischen prog- nostiziertem und empirischem Wert über alle Zeitpunkte t beschrei- ben, möglichst minimal werden. Dieses Vorgehen wird als Methode der kleinsten Quadrate bezeichnet.  Grundsätzlich kann dieser Vorhersagefehler e durch die Aufnahme wei- terer Regressionsgewichte in die Prognosegleichung verkleinert wer- den. Dabei ist jedoch zu beobachten, dass sich die Gesamtprognose mit jedem weiteren Gewicht nur noch um einen immer kleiner werdenden Betrag verbessert. Es gilt deshalb nur diejenigen Gewichte in die Gleichung aufzunehmen, die eine große Vorhersagekraft besitzen und diejenigen Gewichte auszusparen, welche keinen bedeutsamen Beitrag zur Vorhersage leisten. 
• 35. Wie wird polynomiale Regression in R durchgeführt? Eine polynomiale Regression wird in R mithilfe des Befehls lm() durchgeführt. In diesen fließt neben der abhängigen Variablen (in diesem Fall das BIP) und dem Prädiktor (das Jahr) die Angabe ein, welche Ordnung das zu schätzende Polynom aufweisen soll. Dabei muss jedoch beachtet werden, dass der Prädiktor als R-Vektor kodiert sein muss, in welchem die Messzeitpunkte als aufsteigende Folge natürli- cher Zahlen (1, 2, 3, ..., n) enthalten sind, da ansonsten fehlerhafte Regressionsgewichte bestimmt werden. Zu diesem Zweck wird eine neue Variable im Datensatz angelegt, welche die Messzeitpunkte abbildet: trend.01$MZP = c(1:length(trend.01$JAHR)) Grundsätzlich sollten für eine Zeitreihe, sofern keine theoretischen Implikationen bestehen, immer Polynome der Ordnung 1 bis 3 geschätzt und miteinander verglichen werden:  trend.01 = trend.01 L = lm(BIP ~ poly(MZP, 1, raw = T), trend.01)Q = lm(BIP ~ poly(MZP, 2, raw = T), trend.01) K = lm(BIP ~ poly(MZP, 3, raw = T), trend.01) ## Führt eine polynomiale Regression durch und speichert die# Modellkoeffizienten in einem neuen Objekt.# Argumente:# L, Q oder K -> R-Objekt, in welchem die Modellkoeffizienten gespeichert werden sollen. L, Q und K stehen dabei für linear, quadratisch und kubisch.  # BIP -> Abhängige Variable # MZP -> Prädiktor, umkodiert von JAHR # 1, 2 oder 3 -> Angabe, welche Ordnung das resultierende # Modell haben soll. # raw = T -> Angabe, dass keine orthogonalen Polynome # bestimmt werden sollen. # trend.01 -> Datensatz, aus dem die Variablen stammen.
• 36. Wie sieht das Ergebnis einer polynomialen Regression in R aus?? Die Ergebnisse der Regression können mithilfe des Befehls summary() eingesehen werden. Dieser gibt y-Achsenabschnitt und Regressionsge- wicht der jeweiligen Regression unter „Estimate“ an. Unter Pr(>|t|) kann zudem die Signifikanz des Koeffizienten anhand der Sterne be- urteilt werden, wobei ein einziger Stern Signifikanz auf dem 5%- Niveau, zwei Sterne Signifikanz auf dem 1%-Niveau und drei Sterne Signifikanz auf dem 0.1%-Niveau indizieren:  > summary(L) Call:lm(formula = BIP ~ poly(MZP, 1, raw = T), data = trend.01) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -2.8085 -0.7303 -0.0112 0.5711 3.5228Coefficients:  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) *** (Intercept) 7.500318 0.279695 26.82 <2e-16 poly(MZP, 1, raw = T) 0.108862 0.005999 18.15 <2e-16 ***Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.239 on 78 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8085, Adjusted R-squared: 0.806 F-statistic: 329.3 on 1 and 78 DF, p-value: < 2.2e-16 > summary(Q) --- Call:lm(formula = BIP ~ poly(MZP, 2, raw = T), data = trend.01) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -2.6671 -0.8080 -0.0587 0.5673 3.3604 _____________________________________________ Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) *** *** (Intercept) 7.1592938 0.4258819 16.811 < 2e-16 poly(MZP, 2, raw = T)1 0.1338145 0.0242663 5.514 4.5e-07 poly(MZP, 2, raw = T)2 -0.0003081 0.0002903 -1.061 0.292 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.238 on 77 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8112, Adjusted R-squared: 0.8063 F-statistic: 165.5 on 2 and 77 DF, p-value: < 2.2e-16 > summary(K) (Intercept) 6.523e+00 5.746e-01 11.353 < 2e-16 poly(MZP, 3, raw = T)1 2.252e-01 6.105e-02 3.689 0.000421 poly(MZP, 3, raw = T)2 -3.112e-03 1.746e-03 -1.783 0.078634 poly(MZP, 3, raw = T)3 2.308e-05 1.417e-05 1.628 0.107583 Call:lm(formula = BIP ~ poly(MZP, 3, raw = T), data = trend.01) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -2.6434 -0.7621 -0.0348 0.6845 3.3054Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) *** *** . ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 1.225 on 76 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8176, Adjusted R-squared: 0.8104 F-statistic: 113.6 on 3 and 76 DF, p-value: < 2.2e-16  ______ Im Beispieldatensatz erreichen nur die Koeffizienten des linearen Modells (Polynom 1. Ordnung) statistische Signifikanz. Demzufolge kann dieses direkt als passendes Modell zur Beschreibung der Zeit- reihe angenommen werden. Erreichen mehrere Modelle mit allen Koef- fizienten statistische Signifikanz, so kann die Passung dieser mit- hilfe des Befehls anova() beurteilt werden, durch welchen zwei der konkurrierenden Modelle verglichen werden. Im Rahmen dieses Befehls wird stets das zweite Modell gegen das erste getestet. Erreicht die Teststatistik Signifikanz, so ist Modell 1 zu verwerfen und Modell 2 anzunehmen. Beispielhaft sei dies im Folgenden an Modell „L“ und Modell „Q“ veranschaulicht:  anova(L, Q)  Die geschätzten Koeffizienten können grafisch dargestellt werden, indem die in dem Modell gespeicherten geschätzten Werte in eine grafische Repräsentation geplottet werden:  plot(trend.01$BIP, type = "l") lines(L$fitted, col = "red") > anova(L, Q) Analysis of Variance Table Model 1: trend.01$BIP ~ poly(trend.01$MZP, 1, raw = T) Model 2: trend.01$BIP ~ poly(trend.01$MZP, 2, raw = T) Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) 1 78 119.76 2 77 118.04 1 1.7263 1.1261 0.2919  Der Output zeigt, dass Modell 2 im Vergleich zu Modell 1 keine signifikant größere Erklärungskraft bietet. Somit wird dieses ver- worfen und das lineare Modell final angenommen.  Als Ergebnis der Trendschätzung kann somit festgehalten werden, dass sich die Zeitreihe sowohl exakt, als auch sparsam durch ein Polynom 1. Ordnung beschreiben lässt: Das BIP steigt pro Jahr um das Regres- sionsgewicht 0,1089 Punkte an. Die exakte Vorhersagegleichung lässt sich wie folgt angeben: 𝐵𝐼𝑃𝑡 = 7,5003 + 0,1089 × 𝑡 

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