Grundlagen der empirischen Sozialforschung (Subject) / Datenanalyse: Lage- und Streumaße (Lesson)

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• Lagemaße = Zusammenfassung von Eigenschaften• Beschreiben• Vergleichen 3 typische Werte:• Modus (Modalwert) = am häufigsten auftretende Ausprägung einer Verteilung• Median (Zentralwert) = Wert einer Verteilung, der – bei Anordnung der Werte nach ihrer Größe – die Verteilung genau in der Mitte in zwei gleich große Teile teilt• Mittelwert (arithmetische Mittel) = stellt als Durchschnittswert den Schwerpunkt der Verteilung dar
• Modus • am häufigsten auftretende Ausprägung einer Verteilung• sind mehrere Ausprägungen gleich häufig, gibt es mehrere Modalwerte• einziges Maß, das bereits bei nominalen Messniveau verwendet werden kann• wenig aussagekräftig bei:  1. bi- und multimodalen Verteilungen  2. sehr vielen, sehr dünn besetzten Kategorien  3. stetigen Merkmalen
• Median • Wird bei ordinalskalierten bzw. intervallskalierten, aber nicht bei nominalskalierten          Variablen berechnet.• Ist derjenige Wert, unterhalb und oberhalb dessen jeweils die Hälfte der Messwerte  liegen → „mittlerer Wert“ (≠ Mittelwert).• Ist gänzlich unempfindlich gegenüber Ausreißern.• x∼
• Mittelwert (arithmetisches Mittel) • Summe aller Messwerte, geteilt durch ihre Anzahl x¯ =x1+x2+x3+...+xN / N • nur für metrische skalierte Variablen berechenbar• im Alltag häufig als Durchschnitt bezeichnet• sehr empfindlich gegenüber Ausreißern • Mittelwert muss selbst nicht als konkreter Wert vorkommen• ergibt bei dichotomen Variablen (0-1-kodiert) den relativen Anteil der Kategorie, die mit   1 kodiert wurde
• Vergleich der drei Lagemaße • von Modus über Median zu Mittelwert sind immer mehr Informationen aus den Daten    berücksichtigt • von Modus über Median zu Mittelwert steigt die Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern • Modus, Median und Mittelwert benötigen immer höheres Skalenniveau um  aussagekräftig zu sein • Modus und Median müssen als konkrete Zahlenwerte vorkommen, das arithmetische  Mittel nicht
• Maße zentraler Tendenz Modus • Definition: häufigster Wert einer Verteilung • Sinnvoll ab: Nominalskala Median • Definition: liegt in der Mitte, wenn alle Beobachtungswerte der Größe nach geordnet    sind • Sinvoll ab: Ordinalskala Mittelwert • Definition: „Schwerpunkt“ einer Verteilung • Sinnvoll ab: Intervallskala
• Verteilungsformen Gipfel: 2. unimodal ⇒ linkssteif (rechtsschief), rechtssteil (linksschief), symmetrisch 3. bi- & moltimodal • Modus = Median ≈ Mittelwert   ⇒ Symmetrisch • Modus < Median < Mittelwert   ⇒  Linkssteil (bzw. rechtsschief) • Modus > Median > Mittelwert   ⇒ Rechtssteil (bzw. linksschief) • Median und Modus sind bei rechts-/linksschiefen Verteilungen oftmals identisch.    Demzufolge müsste die Zuordnung genaugenommen wie folgt aussehen:• Modus ≥ Median > Mittelwert   ⇒ rechtssteil• Modus ≤ Median < Mittelwert   ⇒ linkssteil• liegt der Median nicht zwischen Modus und Mittelwert, so handelt es sich meistens  nicht um eine gleichmäßige, unimodale Verteilung.• allerdings ist zur exakten Feststellung der Verteilungsform eine grafische Überprüfung  unerlässlich.
• Streuungsmaß • Mittelwerte geben Informationen über die zentrale Tendenz• allerdings erhält man keine Angaben zur Homogenität bzw. Heterogenität der  Verteilung• Beispiel: Wartezeit für ein Taxi bei zwei verschiedenen Anbietern
• Range (Spannweite) • einfachstes Streumaß• Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert   R= xmax− xmin• ist für ordinales und metrisches Skalenniveau anwendbar• Nachteil: basiert lediglich auf den beiden Extremwerten und sagt nicht über die    allgemeine Streuung.
• Quartile • Median: teilt die Verteilung in 2 Hälften• mit Quartilen wird die Verteilung in 4 gleichgroße Teile geteilt mit je 25% (Q1, Q2, Q3) • Quartil Q1: Höchstens ein Viertel der Beobachtungen ist kleiner als Q1 und höchstens drei Viertel der Beobachtungen sind größer als Q1• Quartil Q3: Höchstens drei Viertel der Beobachtungen sind kleiner als Q3 und höchstens ein Viertel der Beobachtungen ist größer als Q3 • es gibt auch andere Quantile: Terzile, Quintile, Dezile, Perzentile
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• Interquartilsabstand • Differenz zwischen dem unteren Quartil (25 %) und dem oberen Quartil (75 %)  IQR= xQ3−xQ1 • ähnlich wie die Spannweite• die Werte liegen aber meist nicht besonders weit von den übrigen Ausprägungen entfernt  → Maßzahl ist weniger empfindlich gegenüber Ausreißern• Zwischen unterem und oberem Quartil liegen genau 50 % der Verteilung → IQR gibt an,    wie breit das Spektrum ist, in dem die mittleren 50 % der Ausprägungen liegen
• Boxplot • Anwendung: Vergleich von metrischen Variablen zwischen Gruppen• Box: mittlerer Teil einer Verteilung unterer Rand: 25%-Quartilsoberer Rand: 75%-Quartils • dicker Strich innerhalb der Box: Median (50%-Quartil)• Verlängerung durch 2 Whisker → auf der Höhe von  Minimum/Maximum:  • der 1,5-fachen Verlängerung der Box  • Werte mit größerem Abstand: Ausreißer o  • mehr als 3 Interquartilsabstände von der Box entfernt: Extremwerte *
• Exkurs: Summenzeichen ∑Ni=1 f(xi) N = Letzter Wert den der Laufindex i annimmt i = Bezeichnung für den Laufindex 1 = Erster Wert den der Laufindex i annimmt f(xi) = Berechnung, die N-mal durchgeführt und anschließend aufsummiert wird
• Standardabweichung: Definition und Berechnung • die durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Ausprägungen eines Merkmals vom Durchschnitt • Berechnung:  1. für jeden einzelnen Fall wird die Abweichung vom Mittelwert berechnet und quadriert2. alle Abweichungen werden summiert3. durch die Fallzahl minus 1 geteilt4. anschließend wird daraus die Wurzel gezogen 5. die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Summe der quadratischen    Abweichungen vom Mittelwert geteilt durch die Fallzahl minus 1
• Standardabweichung: Merkmale • je mehr die einzelnen Messwerte von ihrem Mittelwert abweichen, desto größer wird die Standardabweichung• durch die Quadrierung der Abstände fallen größere Abstände stärker ins Gewicht als kleine Abstände• ist die Standardabweichung 0, handelt es sich nicht um eine Variable, sondern um eine Konstante • die Größe der Standardabweichung lässt sich nur im Verhältnis zum Mittelwert und der Skalierung der Variablen einschätzen • der Vergleich zweier Standardabweichungen ist nur bei ähnlichen Mittelwerten sinnvoll. Eine Abweichung von 1 hat unterschiedliche Bedeutung bei einem Mittelwert von 10 bzw. 100
• Variationskoeffizient • wenn Merkmale unterschiedliche Größenordnungen aufweisen, dann ist zum Vergleich der Variationskoeffizient besser geeignet als die Standardabweichung: V= s ÷ x¯ • Standardabweichung als Anteil des Mittelwerts• durch Multiplikation mit 100 ergibt sich die Abweichung als Prozentsatz des Mittelwertes
• Schiefe (skewness) • >0 → rechtsschiefe/linkssteile Verteilung• =0 → symmetrische Verteilung• <0 → linksschiefe/rechtssteile Verteilung • ist diese größer als 0, ist die Verteilung eher linkssteil (besonders viele Werte links, wenige rechts) • ist sie kleiner als 0, gibt es rechts mehr Werte als links.
• Wölbung (Kurtosis/Steilheit) • >0 → schmalgipflige Verteilung• =0 → normale Verteilung• <0 → breitgipflige Verteilung • ist diese größer als 0, ist die Verteilung eher steil (besonders viele Werte in der Mitte, wenige an den Enden der Verteilung). • ist sie kleiner als 0, streuen die Werte breit und die Verteilung ist flach.

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