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Tensorrechnung (Subject) / allg (Lesson)

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• Was sind Tensoren? Mathematische Begriffe, die invariant ggü KOS sind
• Was ist eine symmetrische Matrix/schiefsymmetrische Matrix? symmetrisch, wenn gilt: A = AT schiefsymmetrisch, wenn gilt: B = -BT
• In was kann jede Matrix zerlegt werden? In einen symmetrischen und schiefsymmetrischen Anteil.
• Formel zur Berechnung der symmetrioschen und schiefsymmetrischen Matrix symm. Matrix: B = ½ (A + AT) schiefsymm. Matrix B = ½ (A - AT)
• Was versteht man unter der Diagonalmatrix? Alle Koeff. außer auf Hauptdiagonale sind Null.
• Skalarprodukt vs. Dyadisches Produkt: Skalar: A = xTy Zeilenvektor mal Spaltenvektor Dyadisch: B = xyT Spaltenvektor mal Zeilenvektor
• Definition Vektor gerichtete Verbindung zweier Punkte x und y (gerichtete Strecken)
• Was sind Rechts- und Linkssysteme? Rechtssysteme: Einheitsvektoren e1, e2 und e3 im Gegenuhrzeigersinn Linkssysteme: Einheitsvektoren e1, e2 und e3 im Uhrzeigersinn Folie 60
• Differential bei Polarkoordinaten: da = r dr dφ
• Differential bei Zylinderkoordinaten: dv = r dr dφ dz
• Advertisement
• Differential bei Kugelkoordinatensystem dv = r² sinθ dr dθ dφ θ ist der Winkel von der Z-Achse zu r θ ist der Winkel zwischen r und der x-Achse
• Elastizität Ratenunabhängig ohne Gleichgewichtshysterese
• Viskoelastizität Ratenabhängig ohne Gleichgewichtshysterese
• Plastizität Ratenunabhängig mit Gleichgewichtshysterese
• Viskoplastizität Ratenabhängig mit Gleichgewichtshysterese
• Durch was ist der Spannungstensor festgelegt? Der Spannungstensor σ ist durch die Spannungsvektoren ti in 3 senkrecht aufeinanderstehenden Schnitten festgelegt.
• Wie lautet das Cauchy Teorem? σ * n = t
• Wovon sind die Spannungskomponenten σij in einem Spannungstensor abhängig? Orientierung n der Schnittfläche Tensorbasis
• Tensor Definition 1: Lineare Abb. eines Vektors n auf einen anderen Vektor w.
• Tensor Definition 2: Eine Größe, deren Komponenten x Koordinatenindizes besitzen und beim Übergang von einem KOS zu einem dazu gedrehten KOS nach einer bestimmten Vorschrift transformiert werden, heißt Tensor x. Stufe.
• Tesnor Definition 3: Ein Tesnor ist eine mehrdimensionale Matrix mit integrierter Richtungsinformation
• Tensor 0. Stufe? Skalare (physikal. Größen etc.)
• Tensoren 1. Stufe? Vektoren (Betrag + Richtung)
• Tensoren 2. Stufe 3x3 Matrizen
• Tensoren vs. Matrizen Nicht jede Matrix ist ein Tensor 2. Stufe.
• Tensor 4. Definition: Element eines Vektorraumes, der ein sog Produkt von Vektorräumen Va⊗Vb⊗...⊗Vn ist. Wenn es sich dabei um n Vektorräume handeltm, spricht man von einem Tensor n-ter Stufe.
• Was versteht man unter Norm? Abbildung, die jedem mathematischen Objekt (Vektor, Matrix,...) eine positive, reelle Zahl ||a|| bzw. ||A|| zuordnet, die die Größe des Objekts beschreibt.
• Welche Vektornormen gibt es? Wie sind sie definiert? Summennorm, Euklidische Norm, Maximumsnorm Definition s Folie 170
• Welche Matrixnormen gibt es? ||A||1 = max.....s Folie 170
• Einsteinsche Summenkonvention? Über doppelt vorkommende gegenständige (oben und unten) Indizes in Produktausdrücken ist zu summieren. αiai = α1a1+α2a2+α3a3 Indexschreibweise (links) = Koeffizientendarstellung (rechts)
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• Stummer Index? =doppelt vorkommender Index (oben und unten): αiai ----> ist hier der stumme Index
• dreier Index =einfach vorkommender Index, bewirkt noch keine Summation wie der stumme Index
• Wie multipliziert man mit dem Kroneckersymbol? Werden indizierte Symbole mit dem Kronecker-Symbol multipliziert, so wird der Summationsindex (=stummer Index) bei diesen Symbolen geben den freien Index beim Kroneckersymbol ausgetauscht und das Kronecker-Symbol gleich 1 gesetzt. Folie 187
• Was versteht man unter einer Basis? =System von Basisvektoren
• Schreibweise von Vektoren Spaltenschreibweise: b = Vektor[{γ1},{γ2},{γ3}] (erfordert eine Basisangabe) Absolute Schreibweise: b = γiai = aufdröseln... Achtung: Vektor unabhängig von Basis aber die Koeffizienten sind es doch.
• Parameterlinien? Koordinatenlinien
• Natürliche Basisvektoren ai Tangenten an natürl. Parameterlinien, s 202
• Natürliche Basis? Tangentenvektoren an den 3 Parameterlinien (z.B. Kugelkoordinaten)
• Was zeichnet die natürl. Basis aus? - Kurven untersch. gekrümmt -natürliche Basis ist ortsabhängig
• Was versteht man unter Metrik? Skalarprodukt zw. 2 natürlichen Basisvektoren ai und aj = aij <= Metrik
• Was bedeuten die beiden Klammern um ein Indexpaar? Das heißt, dass die Summenkonvention nicht gilt.
• Was ist die duale Basis? Das ist die 2. Gruppe von Vektoren, die senkrecht auf der natürl. Basis stehen. -hochgestellte Indizes -über folgende Beziehung definiert: ai * aj = δi j
• Was bedeutet kovariant und kontravariant? untenindizierte Größen = kovariant obenindizierte Größen = kontravariant (Wer oben steht gibt Kontra, wer unten steht, ist KOvariant)
• Was versteht man unter einer dualen und natürlichen Metrik? natürl.: Skalarprodukt zwischen 2 natürlichen Basisvektoren ai und aj dual.: Skalarprodukt zwischen 2 natürlichen Basisvektoren ai und aj ACHTUNG: Es gilt aij = aji
• Wozu braucht man eine duale Basis? Mechanik: Flächenelemente und Normalenvektoren (z.B. Spannungstensor) Kristallographie: direktes und reziprokes Gitter
• Jeder Vektor kann sowohl mit der natürl. Basis, als auch mit der dualen Basis dargestellt werden. xxx
• Umrechnung zw. den Metrikkoeffizienten - wie erfolgt das? Folie 260
• Was versteht man unter der Symbolschreibweise/Absolutdarstellung? Und was unter der Koeffizientendarstellung? Symbolschreibweise/absolute Darstellung: u*v Koeffizientendarstellung: (Obiges aufdröseln) Folie 264
• Welche Beziehung herrscht zwischen den Basisvektoren der dualen und der natürlichen Basis? ->Dualitätsbeziehung
• Wie lautet die Basisdarstellung eines Tensors? T = Tij ai ⊗ aj

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