Entscheidungstheorie (Subject) / 11.Entscheidung bei Risiko und mehreren Zielen mit unvollständiger Information (Lesson)
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- Instrumente bei unvollständiger Information nur Wahrscheinlichkeitsintervalle Axiom der vollständigen Ordnung wird zugunsten einer partiellen Ordnung aufgegeben Instrumente: Lineare Programmierung Prüfung auf stochastische Dominant Sensitivitätsanalysen
- Unvollständige Information bezüglich Wahrscheinlichkeiten sei p(I) die Menge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die mit den vollständigen Informationen des Entscheiders verträglich ist, dann gilt: unvollständige Wahrscheinlichkeitsaussagen können z.B. sein: p - ≤ p ≤ p + (Wahrscheinlichkeitsintervall) iii pi ≤ pj (ordinaler Vergleich der Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen) Ein solches Entscheidungsproblem lann durch das folgende lineare Programm für jedes Alternativenpaar a,b, gelöst werden max bzw. min ∑pi [u(ai) - u(bi)] u.d.N. p-≤p≤p+ pi ≤ pj ∑pi = 1 pi ≥ 0 ist das Minimum (und damit auch das Maximum) > 0 ⇒ a fP(I) b ist das Maximum (und damit auch das Minimum) < 0 ⇒ a pP(I) b ist das Maximum > 0 und das Minimum < 0 ⇒ keine klare Präferenz zwischen a und b Lösung mithilfe von Software
- Unvollständige Information bezüglich der Nutzenfunktion sei U(I) die Menge von Nutzenfunktionen, die mit der unvollständigen Information des Entscheiders verträglich ist, dann gilt: Max bzw. Min ∑pi [u(ai) - u(bi)] an die Stelle einer exakten Nutzenfunktion tritt eine Bandbreite an Nutzenfunktionen auch hier kann Entscheidungsproblem mittels linearer Programmierung gelöst werden Bestimmung der Klassen an Nutzenfunktionen durch lineare Interpolation für die einzelnen linearen Intervalle wenn u(a )- bzw. u(a )+ den minimalen bzw. maximalen ii Nutzen der Konsequenz angeben, ist folgendes LP zu lösen Max bzw. Min ∑pi [u(ai) - u(bi)] u.d.N. u(a)- ≤ u(a) ≤ u(a)+ iii u(b)- ≤ u(b) ≤ u(b)+
- Prüfung auf stochastische Dominanz „einfachere“ und sehr allgemeine Lösung ergibt sich, wenn man lediglich unterstellt, dass alle zulässigen Nutzenfunktionen die Eigenschaft aufweisen, dass sie streng monoton steigend sind, d.h. mehr von der betrachteten Größe ist besser als weniger, d.h. Definition eine Alternative a dominiert eine Alternative b stochastisch, wenn für jede Ausprägung der Zielvariablen die Wahrscheinlichkeit, diese zu überschreiten, bei a mindestens genau so hoch ist wie bei b ist und für mindestens eine Ausprägung bei a höher als bei b ist Stochastische Dominanz wird anhand des Risikoprofils 1-P(x) geprüft → Wahrscheinlichkeit mit der eine Alternative den Wert x überschreitet
- Risikoanalyse 1-Pa(x) ≥ 1-Pb(x) für alle Werte von x gilt und 1-Pa(x) > 1-Pb(x) für mindestens einen Wert von x gilt Besonders transparent: Analyse der grafischen Darstellung der Risikoprofile von Alternativen = Risikoanalyse a dominiert b und c stochastisch, d.h. für jede Ausprägung hat a eine größere Wahrscheinlichkeit, diesen Wert zu überschreiten. Keine Schnittstellen.
- Sensitivitätsanalysen bei unvollständiger Information kann mit einer Sensitivitätsanalyse insbesondere gezeigt werden, wie Entscheidungen von Wahrscheinlichkeitsurteilen und Nutzenurteilen abhängen bei welchen kritischen Wahrscheinlichkeiten oder Nutzenurteilen zwei Alternativen gleich gut sind stochastische Dominanz Senitivitätsanalysen, Annahme: risikoneutral Also: u(1)= 1, u(2)=0,75, u(3)=0,5, u(4)=0,25, u(5)=0 Eu („Vorlesung“ lernen)=p1·u(1)+(1-p1)·u(3)= p1·1+(1-p1)·0,5 = 0,5·p1+0,5 Eu(„Vorlesung“ nicht lernen) = -0,5·p1+0,75
- Multiattributive Nutzenfunktion Repräsentiert die Präferenzen des Entscheiders bezüglich der Ausprägung der verschiedenen Attribute des Risikos Bei Unsicherheit wird eine Alternative a durch eine Verteilung von möglichen Ausprägungskombinationen bestimmt → wählt der Entscheider a, sind n Konsequenzen möglich und mit der Wahrscheinlichkeit pi trifft ein Ereignis i mit der Konsequenz (ai1, ..., aim) ein multiattributive Nutzenfunktion u(x) = u(x1, x2, ..., xm) soll Präferenzen des Entscheiders abbilden, so dass gilt a > b ⇔ Eu(a) > Eu(b) wünschenswert wäre eine additive Nutzenfunktion u(x)=∑kr ⋅ur(xr) dabei seien ur(xr) die auf [0, 1] normierte eindimensionale Nutzenfunktion für das Attribut Xr kr die Gewichte bzw. Skalierungskonstanten der Attribute mit kr>0 und ∑kr=1 EU entspricht der Summe der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteten Nutzen der Konsequenzen
- Voraussetzungen für Anwendung des additiv Modells additive Nutzenunabhängigkeit, d.h. die Präferenzen über Lotterien dürfen nur von den Verteilungen der einzelnen Attribute X1, ...,Xm und nicht von den Verteilungen von Attributkombinationen abhängen
- Problem: Additive Nutzenunabhängigkeit bei additiver Nutzenunabhängigkeit muss Entscheider indifferent zwischen a und b sein dies ist aber häufig nicht der Fall, da viele „wenigstens etwas“ bekommen wollen und andere „alles oder nichts“ bekommen wollen Beispiel: Einladung zur Party Getränk, Essen, Getränk und Essen frei manchmal kann additive Nutzenunabhängigkeit durch eine Redefinition der Ziele erreicht werden ansonsten sind nichtadditive Modelle zu wählen, z.B. das multiplikative Modell
- Gründe für das Fehlen von additiver Nutzenunabhängigkeit substitutive Beziehungen zwischen den Zielen Wenn Getränk, dann ist Essen nicht so wichtig! komplementäre Beziehungen zwischen den Zielen Essen ist schöner mit Getränk! intrinsische Risikoaversion „weder Essen noch Getränk“ wird stark gescheut
- Multiplikatives Modell bei mehreren Zielen und Interaktionen Nutzen setzt sich zusammen aus gewichteten Einzelnutzen der Attribute und multiplikativem Term, der die Interaktion der Attribute wiedergibt dabei sind folgende Interaktionen möglich ∑kr=1, k=0 d.h. keine Interaktionen ⇒ additives Modell ∑kr<1, k>0 d.h. nur komplementäre Interaktionen ∑kr>1, -1<k<0 d.h. komplementäre und substitutive Interaktionen u(x) = k1u1 + k2u2 + kk1k2u1u2
- Voraussetzung für Anwendung des multiplikativen Modells: wechselseitige Nutzenunabhängigkeit, d.h. Präferenzen über Lotterien, die sich nur in den Ausprägungen von Xr unterscheiden, sind unabhängig von den fixierten Niveaus der übrigen Attribute dabei muss jede Teilmenge der Attribute nutzenunabhängig von ihrer Komplementärmenge sein wesentlich schwächere Bedingung als additive Nutzen- unabhängigkeit (bei additivem Modell) sehr ähnlich zu Präferenzunabhängigkeit bei Sicherheit allerdings werden Präferenzen über Lotterien anstatt über sichere Konsequenzen abgefragt Party-Beispiel: Entscheidung hängt von k ab! k>0: Party b k<0: Party a k=0: egal