Multiattributive Wertfunktion
Drückt Präferenzstärke für Alternativen aus, allerdings unter Berücksichtigung von mehreren Zielen bzw. Attributen Dadurch steigt die Realitätsnähe von Wertfunktionen massiv, weil fast alle Entscheidungen mehrere Ziele betreffen jeder Alternative wird ein Wert in Abhängigkeit von mehreren Attributen zugeordnet, so dass gilt Beispiel: Berufswahl Ziele: mind 2 berücksichtigen: Gehalt, Arbeitszeiten
Additives Modell
Multiattributive Wertfunktion mit der bei weitem größten praktischen Bedeutung Voraussetzungen: Wechselseitige Präferenzunabhängigkeit (Wertfunktion) Differenzunabhängigkeit (messbare Funktion)
Praktische Anwendung des additiven Modells
wegen seiner Eleganz und Einfachheit wird das additive Modell sehr häufig eingesetzt andere Bezeichnung: Scoring-Modell Anwendungsgebiete sind z.B. Allerdings wird das modell häufig auch vorschnell eingesetzt Additives Modell setzt offensichtlich voraus dass ein bestimmter Zuwachs bei einme Attribut völlig unabhängig vom Niveau der anderen Attribute ist
Anwendungsvoraussetzungen für das Additive Modell
Präferenzenunabhängigkeit Bei nicht-messberen Wertfunktionen -einfache Präferenzenunabhängigkeit -wechselseitige Präferenzunabhängigkeit Bei messbaren Wertfunktionen -Differenzunabhängigkeit für jedes Attribut (dies impliziert wechselseitige Präferenzunabhängigkeit)
Einfache Präferenzunabhängigkeit
Seien a=... und b=.... 2 Alternativen, die sich nur im i-ten Attribut unterscheiden, und a'= (a'....,) und b'=(b'....) 2 andere Alternativen, die sich ebenfalls nur im i-ten Attribut unterscheiden, im i-ten Attribut aber dieselbe Ausprägung aufweisen wie a und b dann ist X einfach präferenzunabhängig von den anderen Attributen, wenn für beliebige Attributsausprägungen gilt Beispiel: Autokauf 3 Attribute sind entscheidungsrelevant: Farbe, Preis, PS Farbe ist dann einfach präferenzunabhängig von den anderen ATTRIBUTEN, wenn, schwarz immer gegenüber silber präferiert wird, unabhängig davon, welche Ausprägung Preis und PS haben
Wechselseitige Präferenzunabhängigkeit
Attribute X und Xm sind wechselseitig präferenzunabhängig, wenn jede Teilmenge dieser Attribute präferenzunabhängig von der jeweiligen Komplementärmenge ist Beispiel: Teilmenge (Farbe,PS) muss vor Komplementärmenge (Preis) präferenzunabhängig sein, d.h. Wenn man in der Preisklasse 12.000 € die Kombination (scharz,100PS) gegenüber (silber, 110PS) präferiert, dann muss man diese Präferenz auch in der Preisklasse 20.000€ haben
Differenzunabhängigkeit
Seien erneut a= a1, a2,....am und b=b1, b2,....bm 2 Alternativen, die sich ebenfalls nur im i-ten Attribut unterscheiden, im i-ten Attribut aber dieselbe Ausprägung aufweisen wie a und b Dann ist Xi differenzunabhängig von den anderen Attributen, wenn für beliebige Attributsausprägungen gilt Beispiel: Autokauf Drei Attribute sind entscheidungsrelevant: Farbe (schwarz, silber), Preis (10.000, 20.000) und PS (75 PS, 120 PS) PS ist dann differenzunabhängig von den anderen Attributen, wenn der zusätzliche Wert einer Erhöhung der Motorstärke um 10 PS unabhängig davon ist, ob es sich um die Kombination (silber, 12.000) oder um die Kombination (schwarz,15.000) handelt
Problem: Präferenzunabhängigkeit ist nicht gegeben
es kommt häufig vor, dass Entscheider bezüglich ihrer Ziele nicht präferenzunabhängig sind Beispiel: Attribute Gehalt (30000,60000) und Urlaubstage (20,40) bei Berufswahleintscheidung Urlaubstage werden umso wertvoller, je höher das Gehalt ist, da dadurch andere Urlaubsalternativen (z.B. Fernreisen) in Betracht kommen Folge: Additives Modell ist bei dieser Entscheidung nicht zulässig Wegen seiner Einfachheit ist Präferenzunabhängigkeit aber sehr wünschenswert
Ermittlung der Gewichte
Ermittlung der Gewichte von Attributen ist neben Ermittlung von Wertfunktionen eine Zentrale Aufgabe der ET Gewichte müssen aus subjektiven Präferenzaussagen des Entscheiders entnommen werden 3 Methoden Direct-Ratio-Verfahren Trade-Off-Verfahren Swing-Verfahren
Direct-Ratio-Verfahren
Wird in der Praxis sehr häufig benutzt, obwohl es sehr unzuverlässig ist Vorgehensweise: m Attribute werden vom Entscheider ihrer "Wichtigkeit" nach geordnet anschließend wird ausgehend vom unwichtigsten Attribut die "Wichtigkeit" der Attribute paarweise abgefragt z.B. wenn w1=1, wie wichtig ist dann w2? Großes Konsistenzproblem ! Beispiel: Jahresgehalt > Karrierechancen > Arbeitszeit Paarvergleich Direct-Ratio ist sehr unzuverlässig
Trade-Off Verfahren
fragt nach den Austauschraten zwischen zwei Zielgrößen, bei denen der Entscheider indifferent ist es werden 2 Alternativen f und g mit m Attribut gesucht, die- sich nur 2 Attribute Xi und Xj untersheiden und vom Entscheider als gleichwertig angesehen werden wenn das additive Modell gültig ist, dann gilt hat man m-1 solcher leichungen, so erhät man zusammen mit der Bedingung wr=1 ein Gleichungssystem, das eindeutig zu lösen ist
Swing-Verfahren
Entscheider wird zunächst mit der schlechtesten möglichen hypothetischen Alternative konfrontiert Dann werden ihm m weitere hypothetische Alternativen b gezeigt, die sich von a dadurch unterscheiden, dass jeweils ein Attribut auf die beste mögliche Ausprägung gesetzt wird, d.h.
Unvollständige Informationen über die Gewichte
Ermittlung der subjektiven Gewichte eines Entscheiders ist stets mit Unsicherheit behaftet Möglichkeiten des Umgangs mit unvollständigen und inkonsistenten Informationen zu viele Informationen: Erzeugung von eindeutigen Informationen: Fehlerminimierung zu wenige Informationen: Verwendung von Intervallen anstelle genauer Werte: Dominanzprüfung Ungenaue Informationen: Sensitivitätsanalyse
Fehlerminimierung
Annahmen: es liegen n Indifferenzaussagen vor, die die Form haben: f( w1, w2, wm..) = 0 n > m, d.h. mehr Indifferenzaussagen als Ziele, d.h. das Gleichungssystem ist in der Regel überbestimmt für jede Gleichung wird nun eine Fehlervariable eingeführt: ξ f (w1, w2, wm) = ξ Ziel: Ermittlung derjenigen wr, die zu den kleinsten Werten für ξ führen, mit Hilfe linearer Programmierung durch Excelberechnung Gewichte ergeben sich v(x)=0,4v1+0,5v2+0,6v3 usw. bilden Die Summe der ξ+ und ξ- beträgt 0,1 und ist damit relativ gering
Dominanzprüfung
Zielfunktion: Minimiere v(a)-v(b) Nebenbedingung: v€V(I) ergibt sich ein positiver Zielfunktionswert, dann gilt für alle v → v(a)>v(b) ergibt sich ein negativer Zielfunktionswert, gibt es ein v mit v(a) <= v(b), d.h. a dominiert b nicht Dies bedeuted aber nicht, dass b a dominiert !
Sensitivitätsanalyse
untersucht, ob Entscheidungen stabil gegenüber geringfügigen Schwankungen eines Gewichts ist Problem dabei: isolierte Erhöhung eines einzelnen Gewichts beeinflusst wegen ∑w=1 auch die anderen Gewichte Daher wird in der Regel festgelegt, dass die nicht schwankenden Gewichte stets im gleichen Verhältnis zueinander bleiben
Bandbreiteneffekt (deskriptiver Effekt)
Attribute haben als solche keine Gewichte Gesamtwert verschiedener Ziele mittels Wertfunktion - Scoring Modell Grund: Die Gewichte hängen immer vom Intervall ab, über das die Einzelwertfunktionen definiert sind d.h. ein kleines Intervall führt zu einem geringerem Gewicht als ein größeres Intervall Zentrale Schwäche der Direct Rating Methode
Zielfunktion und Nebenbedingung bei Fehlerminimierung
Zielfunktion: min ∑(ξ++ξ-) Nebenbedingungen: 0,2 w1+0,5w2= ξ1++ξ1-) 0,521+ 0,3 w2= ξ2++ξ2-) ξ+,ξ- > 0 für alle i=1,2 wr >0 für alle r=1,2 w1 + w2 = 1
Sensitivitätsanalyse formal
es soll gelten: w1 ∈ (0;1) w2/w3= 0,28/0,32=0,875 w1+w2+w3=1 darauf folgt: w2= (1-w1)*0,28/(0,28+0,32) w3= (1-w1)*0,32/(0,28+0,32) v (a) = 1w1+0,7w3=w1+0,7*(0,32/0,28+0,32)
Bandbreiteneffekt formal
Annahmen: additives Modell mit Gewichten und Wertfunktion v, die ermittelt werden über das Intervall Br= (xr- , xr+) Wertdifferenz zwischen xr- und xr+ des r-ten Attributs ist Δvr(Br)=vr(xr+)-vr(xr-)=1-0 =1 Bandbreitenerweiterung auf B´r=(xr-´, xr+´) Dadurch schrumpfen nach der Normierung die Werdifferenzen zwischen den Alternativen im Attribut Xr Korrekturfaktor M = Δvr(Br´) Gewichte neu normieren: Attribut mit veränderter Bandbreite Gewichte neu Normieren: Attribut mit unveränderter Bandbreite
