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Psychologische Diagnostik - Testtheorie (Subject) / Mehrdimensionale Messmodelle und Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) (Lesson)

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  • Eindimensionales Modell Ergebnisse aller Personen lassen sich auf einer Dimension abbilden (gemeinsame latente Variable η) Die Kovarianzen zwischen den beobachteten Variablen werden durch η vollständig erklärt
  • Mehrdimensionales Modell wenn Fehlerkorrelationen > 0 beschreibt inter-individuelle Unterschiede in Merkmalen oft angemessener mehr als eine latente Variable η  
  • Selbst- & Fremdberichtsskalen erfassen unterschiedliche wahre Werte & unterschiedliche Messfehler
  • True-Score-Modelle Annahme, dass der nicht durch die latenten Variable η bestimmte Anteil einer beobachteten Variablen ausschließlich Messfehlereinflüsse repräsentiert
  • Exploratorische Faktorenanalyse (EFA) Entdeckung der Dimensionalität ("wie viele Faktoren?") Zuordnung beobachteter Variablen zu Faktoren
  • Konfirmatorische Faktorenanalyse (CFA) Im vorhinein festgelegte, theoretisch begründete Struktur Prüfung, ob das Modell auf die Daten passt
  • Faktorenanalytisches Modell Aufteilung der beobachteten Variablen Y in 3 Teile: a) Messfehler b) einen spezifischen Anteil der True-Score-Variable, der mit keiner anderen Variable geteilt wird c) einen Anteil der True-Score-Variablen, der mit den anderen Variablen geteilt wird und durch gemeinsame Faktoren bestimmt wird  
  • CFA Die durch η nicht erklärte Varianz in Yi enthält ... - Messfehler & - eine spezifischen Anteil der True-Score-Variablen, der mit keiner anderen Variablen geteilt wird Das lässt sich aber nur schwer trennen > andere synonyme Begriffe, die beides umfassen - "Uniquness" - "Fehlervariablen" - "Residualvariable"
  • Kommunalität Der durch die gemeinsamen Faktoren erklärte Varianzanteil der manifesten Variablen > Enthält der spezifische Anteil nur Messfehlereinflüsse, so ist die Reliabilität gleich der Kommunalität
  • Grundzerlegung der FA Linearkombination der Faktoren & einer Residualvariablen
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  • Ablaufschritte einer CFA Modellspezifikation Frage der Identifikation der Parameter des FA-Modells anhand der verfügbaren Informationen ("was soll miteinander zusammenhängen & was nicht?") sehr wichtig für erfolgreiche CFA: Theoretische Vorstellungen über das Modell, das getestet werden soll, z. B. - wie viele Faktoren? - welche manifesten Variablen laden auf welchen Faktoren > 0?  
  • Modellspezifikation 3 Möglichkeiten Graphisch Modellgleichungen Matrixschreibweise
  • Graphische Darstellung der Modellspezifikation Modellstruktur Spezifikation der Parameter - Fixierung vs. freie Parameter - Spezialfall: Gleichsetzung der Parameter
  • Modellspezifikation anhand von Modellgleichungen Gleichungen für jede manifeste Variable Yi = αi + λij * ηj + εi > λ * η : gewichtete Summer der latenten Variablen > α = Konstante > ε = Fehler und für Var bzw. Kov-Restriktionen im CFA-Modell: Abhängige Variablen = beobachtete Variablen
  • Modellspezifikation in Matrixschreibweise Die Grundzerlegung der FA lässt sich in Matrixschreibweise so darstellen: y = α + Λ * η + ε Kovarianzmatrix der manifesten Variablen: Σ = Λ * Φ * Λ' + Θ  
  • Restriktionen Parameter dürfen nicht mehr frei geschätzt werden!
  • Identifizierbarkeit Frage: Können alle Parameter eindeutig bestimmt werden (anhand der verfügbaren Informationen?) Die Parameter eines Faktormodells lassen sich nur dann bestimmen, wenn sie aus den verfügbaren Informationen berechnet werden können Bezieht sich darauf, ob diese Parameter grundsätzlich bestimmbar wären - wenn das Modell in der Polpulation gelten würde und - wenn die Populationskovarianzmatrix sowie die Erwartungswerte der beobachteten Variablen vorliegen würden   > "Genügen die verfügbaren Informationen, um die nicht verfügbaren Informationen zu bestimmen?"
  • Lösung des Identifikationsproblems Festlegung von 3 Parametern Die Fixierung der Ladungen auf 1 bedeutet, dass ein Modell mit 2 manifesten Variablen ein essentiell τ-äquivalentes Modell sein muss Sollen Ladungsparameter frei geschätzt werden, müssen mindestens 3 manifeste Variablen vorliegen!!  
  • Festlegung der Metrik einer Variablen Für jeden Faktor muss eine Metrik folgendermaßen gesetzt werden: - entweder eine Ladung λ auf 1 oder die Var(η) auf 1 fixieren und - entweder einen Leichtigkeitsparameter α auf 0 oder den Erwartungswert des Faktors auf 0 fixieren
  • Identifikationsregeln notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung: Anzahl an Informationen ≥ Anzahl an zu schätzenden Parametern Eine Ladung pro Faktor fixieren auf einen Wert > 0 oder Varianz des Faktors fixieren auf > 0 Wenn Erwartungswertstruktur: Erwartungswert des Faktors fixieren oder einen Leichtigkeitsparameter fixieren  
  • Ein Modell ist identifiziert, wenn ... ... jeder Faktor 3 manifeste Variaben mit Ladungen ≠ 0 hat ... jede beobachtete Variable nur auf einem Faktor lädt ... die Residualvariablen unkorrliert sind bei nur 2 manifesten Variablen müssen Ladungen fixiert werden!!
  • Ein Modell ist unteridentifiziert, wenn ... ... ein Modell Parameter enthält, die mit den Kennwerten der manifesten Variablen  nicht bestimmt werden können
  • Ein Modell ist identifiziert, wenn ... die Parameter bestimmt werden können und genauso viele Informationen wie zu schätzende Parameter vorliegen!
  • Ein Modell ist überidentifiziert, wenn ... die Parameter bestimmt werden können und mehr Informationen vorliegen als Parameter zu schätzen sind
  • Grundideen der Parameterschätzung & der Modelltestung Nur ein überidentifiziertes Modell enthält testbare Restriktionen (testbare Konsequenzen) Allgemein: - es wird ein Vergleich vorgenommen - empirische Var & Kov gegen erwartete Var & Kov Hypothese: keine Abweichung Formal lautet die Hypothese: Σ = Σ(Θ) > Σ = Populationskovarianzmatrix der manifesten Variablen > Σ(Θ) = Populationskovarianzmatrix modellimpliziert (Vektor Θ enthält die Modellparameter) Modell ist zu verwerfen, wenn gilt: Σ ≠ Σ(Θ) Aber: wir kennen die Populationskovarianzmatrix nicht > Schätzung durch Stichprobenkovarianzmatrix S (enthält immer auch Stichprobenfehler)
  • Grundideen der Parameterschätzung & der Modelltestung Vorgehen Schätzung einer modellkonformen Populationskovarianzmatrix aufgrund der SP-Daten = modellimplizierte Kovarianzmatrix: Σ(Θ) "Dach" Überprüfung, ob diese von der Stichprobenkovarianzmatrix S signifikant bzw. bedeutsam abweicht Testen der Hypothese Σ = Σ(Θ), indem überprüft wird, ob die Abweichungen zwischen S und Σ(Θ) "Dach" zufällig sind
  • Chi-Quadrat-Test H0: Modelle sind gleich bei p < .05: Nullhypothese wird weiter angenommen
  • Grundprinzip der Schätzmethoden Minimierung der Diskrepanz zwischen S und Σ(Θ) "Dach" Modellrestriktionen müssen erfüllt sein!  
  • Schätzmethoden Maximum-Likelihood-Verfahren (ML) Weighted-Least-Squares-Verfahren (WLS)
  • Unterschiede zwischen den Schätzmethoden Diskrepanzfunktion = Methode der Minimierung der Diskrepanz Voraussetzungen Schätzeigenschaften
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  • Schätzmethoden Maximum-Likelihood-Verfahren (ML) am häufigsten verwendete Verfahren statistische Prüfung der Gesamtanpassung des Modells liefert auch Standardfehler & Konfidenzintervalle für Parameter Voraussetzungen: - mulitvariate Normalverteilung der beobachteten Variablen, d. h. alle Variablen sind nomrlaverteilt sowie deren Produkte - unabhängige Beobachtungen (z. B. nicht-wiederholte Messungen - korrekte Modellspezifikation (muss Var bzw. Kov in Poplulation spiegeln) - hinreichende Stichprobengröße (N : Parametern ≥ 5:1 > untere Grenze) Mit diesem Verfahren werden die Parameter des Modells so geschätzt, dass die beobachtete SP-Matrix maximal wahrscheinlich ist
  • Schätzmethoden Weighted-Least-Squares-Verfahren (WLS) Minimiert gewichtete Diskrepanz (S - Σ(Θ) "Dach") Verteilungsfreies Verfahren ("ADF" für "asymptotically disribution free") > ohne spezifische Verteilungsannahme > keine Voraussetzung mulitvariater Normalverteilung (NV) kann auch für ordinale manifeste Variablen genutzt werden! Voraussetzung: sehr große Stichproben - sonst sehr ungenaue Schätzung der Gewichtsmatrix - N ≥ 1.5 * p * (P + 1) mit p = Anzahl manifester Variablen - neuere Simulationsstudie sagt: N ≥ 5000 - wenn N kleiner (aber trotzdem > 200): WLSM (mean-adjusted) WLSMV (mean- and variance-adjusted) > Verteilungen nicht zu schief > eignen sich zur Analyse von Korrelationsmatrizen Überprüfung statistischer Hypothesen in Bezug auf die Größe einzelner Modellparameter Überprüfung der Gültigkeit des Gesamtmodells
  • Schätzmethoden Welches Verfahren sollte man wählen??? Generell nur anwendbar, wenn kontinuierliche bzw. metrische manifeste Variablen vorliegen Wahl der Schätzmethode abhängig von den Verteilungseigenschaften: Kriterien: - Verteilung der manifesten Variablen: Schiefe < /2/; Exzss < /7/ - Test auf multivariate Normalverteilung: Mardias Koeffizient < /3/ - immer auch die einzelnen Verteilungen nach Augenschein prüfen!! Wenn die Daten normalverteilt sind: ML Wenn die Daten nicht normalverteilt sind: Parameterschätzung robust, aber Standardfehler (SE) unterschätzt, d. h. Tests eher signifikant > bei ML: Santorra-Bentler-Korrektur der SE > Bootstraping
  • Bootstrapping Zieheung von B verschiedenen SP der Größe n (mit Zurücklegen) aus der Stichprobe der Größe n > eine Person kann also mehrfach vorkommen Schätzung der Modellparameter in jeder Stichprobe Berechnung der SD der Schätzungen (für jeden Parameter über die verschiedenen Sub-Stichproben hinweg): SD = Bootstrap-SE Anzahl Bootstrap-Stichproben > 250 (je mehr, umso besser) Stichprobe: N > 100
  • Beurteilung der Modellanpassungsgüte Je geringer die Diskrepanz zwischen S und Σ(Θ) "Dach", desto besser die Modellanpassung > "Modell-Fit" Bewertung der Modellanpassung mit Gütemaßen für - Residuen - Gesamtanpassung - Modellvergleiche - Modellmodifikation Für jeden Aspekt gibt es Gütekoeffizienten (auch "Modellgütekriterien")
  • Residuen Zeigen die Diskrepanz zwischen den Kovarianzmatrixen als Differenz R = S - Σ(Θ) "Dach" je kleiner die Residuen, desto besser passt das Modell (auf die Daten) Aber: Größe der Resiuden abhängig von der Größe der Varianzen bzw. der Kovarianzen > besser: standardisierte Residuen Residuen beziehen sich auf die Anpassung einzelner Varianzen und Kovarianzen ("Detailmaß")
  • Standardisierte Residuen Werden durch den Wert ihres Standardfehlers geteilt > z-Verteilte Größe Z = 1.65 → < .05 Z = 2.58 → < .01
  • Gesamtanpassung des Modells Residualmaße: Root Mean Square Residual (RMR) RMR: Maß für das durchschnittliche Residuum abhängig von der Größe der Varianzen bzw. der Kovarianzen > standardisiertes RMR (sRMR) Kriterien: - je kleiner sRMR, desto besser passt das Modell - sRMR = 0: perfekte Modellanpassung - sRMR < .08: akzeptable Modellanpassung Werte immer positiv!
  • Chi-Quadrat-Test χ2 (df) = (n-1) * F [S; Σ(Θ) "Dach"] - df: Freiheitsgrade (Anzahl Parameter - Anzahl Informationen] - n: SP-Größe - F [S; Σ(Θ) "Dach"]: Diskrepanzfunktion (z. B. aus ML oder WLS-Verfahren] Nullhypothese: H0: Σ = Σ(Θ) "Dach" schlechtere Modellanpassung > größerer χ2-Wert > niedrigerer p-Wert p-Wert zeigt die Wahrscheinlichkeit für einen solchen oder einen größeren χ2-Wert unter Gültigkeit der Nullhypothese je größer n, desto größer der χ2- Wert (von ganz allein)
  • Chi-Quadrat-Test Probleme Stichprobengröße fließt direkt in χ2- Wert ein bei großen Stichproben (hohe Teststärke) werden auch sehr kleine Diskrepanzen signifikant > dann besser: Residuen heranziehen Bei Verletzung der Annahme multivariater Normalverteilung: erhöhter α-Fehler (korrekte Modelle werden eher verworfen) > dann besser: Satorra-Bentler-korrigierter χ2 - Test
  • Closeness-of-Fit-Koeffizienten Problem bei χ2: Testet exakten Fit > Modell muss u. U. wegen kleiner Diskrepanzen verworfen werden Closeness-of-Fit-Koeffizienten: wie nahe kommt das postulierte Modell dem wahren Modell? > Root Mean Square Error of Aproximation (RMSEA oder εa "Dach") Kriterien: je kleiner RMSEA, desto besser die Approximation auf die Daten RMSEA = 0: perfekte Approximation RMSEA < .05: gute Modellpassung RMSEA < .08: noch akzeptable Modellpassung Prüfung der Nullhypothese H0: εa "Dach" < .05 durch Statistikprogramme möglich (z. B. für ML, aber nicht für alle Schätzer) inzwischen Usus: Konfidenzintervall für RMSEA
  • Modellvergleiche Likelihood-Ratio-Differenzen-Test Möglich bei zwei "verschachelten" Modellen Restringiertes Modell entsteht durch Gleichsetzung oder durch Fixierung von Parametern des unrestringierten Modells χ2diff = χ2unrestringiert -  χ2restringiert dfdiff = dfrestringiert - dfunrestringiert > χ2-Differenz ist χ2-verteilt mit dfdiff - Freiheitsgraden wenn p > .05, dann ist die Modellpassung des restringierten Modells signifikant schlechter > Modell verwerfen
  • Informationstheoretische Maße Hier fließt die Modellpassung & die Anzahl geschätzter Parameter ein Akaike information criterion (AIC): AIC = χ2 + 2 * t mit t = Anzahl zu schätzender Parameter > Bayesian information criterion (BIC) > Consistent Akaike information criterion (CAIC) > Expected Cross Validation Index (ECVI) allgemeine Form: kleiner ist besser bei Widersprüchen: Simulationsstudien suchen, welche die Indizes in der speziellen Anwendungssituation untersucht haben > Berücksichtigung der Modellgüte & der Sparsamkeit des Modells (Modell umso sparsamer, je weniger zu schätzende Parameter es aufweist) Die 2 wichtigesten Kriterien: - Modellanpassungsgüte - Sparsamkeit (Ökonomie)
  • Incremental-Fit-Indices Vergleich des Modells mit einem Baseline-Modell (z. B. Modell, in dem angenommen wird, dass keine Zusammenhänge zwischen beobachteten Variablen bestehen) Comparative Fit Index (CFI) - allgemeine Form: Größer ist besser - Kriterium: CFI > .97: gute Modellpassung SP-Größe gehet bei einigen dieser Indices nicht direkt in die Berechnung der Teststatistik ein
  • Modellmodifikation Wenn sich zeigt, dass die Modellpassung nicht akzeptabel ist, dann kann das Modell modifiziert werden Hinweise geben Modifikationsindizes: - geben an, um welchen Wert sich der globale χ2-Wert ändern würde, wenn die Restriktion aufgehoben würde (für jeden restringierten Parameter) - Modifikationsindices > 5 deuten auf Fehlspezifikationen hin - Wichtig: nur Veränderungen zulassen, die theoretisch sinnvoll sind!! Darüber hinaus sollte die Gültigkeit eines modifizierten Modells anhand einer neuen SP kreuzvalidiert werden!
  • CFA für ordinale Variablen Für dichotome oder mehrkategoriale Variablen wurden spezielle faktorenanalytische Modelle entwickelt! Logistische Testmodelle > IRT-Modelle > Annahme, dass eine kategoriale Variable auf einer itemspezifischen kontinuierlichen bzw. metrischen Variablen beruht!
  • CFA für ordinale Variablen (2) Kontinuierliche Variable Yi* ist mit kategorialer Variable Yi folgendermaßen verknüpft: Yi = 0, falls Yi* ≤ κi1 Yi = s, falls κis ≤ Yi* ≤ κi(s+1) für 0 < s < c-1 Yi = c, falls κi(c-1) < Yi* κ ist der Schwellenparameter bei c Kategorien gibt es c-1 Schwellparameter Standardisierung von Yi* üblich > weitere Annahmen treffen, um Parameter schätzen zu können
  • CFA für ordinale Variablen (3) Im Modell wird die Matrix polychorischer Korrelationen der beobachteten Variablen zerlegt (nicht ihrer Kovarianzen!!) alles andere wie bei metrischen Variablen Parameter werden so geschätzt, dass die modellimplizierte polychorische Korrelationsmatrix die Stichprobenkovarianzmatrix so ähnlich wie möglich ist auch Gütemaße der Modellanpassung wie vorher Schätzmethode: WLS > WLSMV ermöglicht unverzerrte Schätzungen schon bei n = 250 mit p < 37 Schätzung der Modellparameter Überprüfung der Modellanpassung Bestimmung der Schwellenparameter über die Quantile der Standardnormalverteilung (Anteil der Personen unterhalb des Schwellenwerts an der Gesamtpersonenzahl) > Annahme der Standard-Normalverteilung (NV)
  • Grundidee des faktorenanalytischen Modells für ordinale Variablen Annahme, dass jedem Item eine metrische, normalverteilte, kontinuierliche Variable zugrunde liegt, die dann in eine Linearkombination der Faktoren zerlegt werden kann

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