Testtheorie und Testkonstruktion (Subject) / 4.1) IRT: Parameterschätzung im 1PL-Modell (Lesson)

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• Was ist für die Parameterschätzung im 1PL-Modell gegeben, gesucht und was wird angenommen? gegeben: Datenmatrix (N Personen habe k Items entweder richtig (1) oder falsch (0) beantwortet) gesucht: Itemschwierigkeitsparameter für k Items, Personenparameter für N Personen Annahme: lokale stochastische Unabhängigkeit
• Was beschreibt die Likelihood-Funktion? Wahrscheinlichkeit der Daten in Abhängigkeit von den Modellparametern unter der Annahme, dass das Modell gilt
• Likelihood: Wie sind die Werte der Funktion zu interpretieren? - die besten Schätzer für die Parameter sind dort, wo die Likelihoodfunktion ihr Maximum hat "Je höher die Werte der Likelihood-Funktion, desto wahrscheinlicher ist es, die richtigen Werte für die Parameter gefunden zu haben"
• Likelihood: Wie kann die maximale Likelihood gefunden werden? durch Einsetzen der einzelnen xvi-Werte --> sehr umfangreich Aber: Likelihoodfunktion kann umgeformt werden, sodass neben Modellparametern nur noch die Randsummen der Datenmatrix notwendig sind --> Randsummen = suffiziente (erschöpfende) Statistiken, enthalten alle zur Parameterschätzung notwendigen Infos
• Likelihood: Was sind die Vorteile von suffizienten Statistiken? Likelihood nicht mehr abhängig von Lösung konkreter Items durch konkrete Personen bei Modellgeltung müssen die Antwortmuster nicht gesondert betrachtet werden und die ungewichtete Summe der Itemlösungen schöpf die gesamte Info über das Anwortverhalten einer Person aus
• Maximum Likelihood: Welche Wege gibt es, um das Maximum der Likelihood-Funktion, zu errechnen? - unconditional maximum likelihood (UML) - conditional maximum likelihood (CML)
• UML: Was gibt die UML-Funktion an? Wahrscheinlichkeit der Daten als Funktion von Item- und Personenparametern
• UML: Was sind die Schwächen? Personenparameter können weniger genau geschätzt werden als Itemparameter alle Personen mit gleicher Anzahl gelöster Items bekommen den gleichen Parameter --> für Personen, die keine oder alle Items beantwortet haben, kann kein Personenparameter geschätzt werden (nur mit Zusatzannahmen) schätzt man beides gemeinsam leidet die Genauigkeit der Itemparameterschätzung
• Was gibt die CML-Funktion an? Wahrscheinlichkeit des Antwortmusters- /vektors x unter der Bedingung des jeweiligen Summenscores rv Bsp. Wahrscheinlichkeit für das Antwortmuster 1, 1, 0, 1, 1, 0 bei gegebenen Summenscores von 4
• CML: Was sind die Vorteile der CML-Funktion? - lässt sich so umformen, dass die Personenparameter sich herauskürzen - Schätzung der Itemparameter unabhängig von den Personenparametern = Stichprobenunabhängigkeit
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• Likelihood: Wie wird vorgegangen zur Berechnung der Parameter? iterative Herangehensweise:   CML-Schätzung der Itemparameter UML-Schätzung der Personenparameter Parameterschätzung erfolgt mit Hilfe von Computerprogrammen, wie z.B. WINMIRA
• Summennormierung: Was ist das und wie wird sie durchgeführt? Bestimmung der Itemparameter, sodass deren Summe 0 ist  --> addieren der gleichen Konstante zu Itemparametern dadurch ergeben sich auch die Personenparameter  
• Summennormierung: Was bedeuten die positiven und negativen Werte der Parameter? Itemparameter: - negative Werte: leichte Items - positive Werte: schwere Items Personenparameter: - negative Werte: geringe Merkmalsausprägung - positive Werte: hohe Merkmalsausprägung
• Summennormierung: Auf welcher Art von Skala liegen die Modellparameter? Differenzskala (i.d.R. [-3, 3]) - eindeutig, bis auf additive Transformationen, die durch Summennormierung festgelegt werden
• Wodurch kommt die spezifische Objektivität im Rasch-Modell zustande? Itemfunktionen verlaufen parallel nicht so im 2PL-Modell: Aufgrund der sich überschneidenden Itemfunktionen ist die Schwierigkeitsreihenfolge der Items je nach Personenfähigkeit unterschiedlich
• Likelihood: Welche Werte kann die Funktion annehmen? Werte zwischen 0 und 1
• Summennormierung: Welche Transformationen sind beim Rasch-Modell zulässig, ohne dass sich die Lösungswahrscheinlichkeit verändert? positiv-lineare Transformationen
• Was ist im Rasch-Modell spezifisch objektiv? Differenz zwischen 2 Personenparametern kann unabhängig von der Verteilung der Itemparameter festgestellt werden (unabhängig davon, ob einfache oder schwierige Items verwendet werden) Differenz zwischen 2 Itemparametern kann unabhängig von der Verteilung der Personenparameter festgestellt werden (unabhängig davon, ob Personen mit hoher oder niedriger Merkmalsausprägung untersucht werden)

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