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Modul 2 33209 CD Grundlagen deskriptiver Statistik (Subject) / 7. Regressionsanalyse (Lesson)
Regressionsanlyse
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- Ziel der Regressionsanalyse (Vorausgesetzt werden hier i.a. metrisch skalierte Merkmale) Haben sachlogische Überlegungen oder Experimente ergeben, dass ein Merkmal Y von einem Merkmal X oder von mehreren Merkmalen X1,...,Xk abhängt, will man den Zusammenhang durch eine geeignete Funktion beschreiben, die Regressionsfunktion. Deren Bestimmung ist eine Aufgabe der Regressionsanalyse. Vorausgesetzt werden hier i.a. metrisch skalierte Merkmale. Die Merkmale, von denen ein Einfluss ausgeht, sind unabhängige Merkmale oder Regressoren, die beeinflusste Größe heißt abhängiges Merkmal oder Regressand.
- Arten von Regressionsmodellen Wenn man von nur einer einzigen Einflussgröße ausgeht, spricht man von einer einfachen Regression, andernfalls von einer multiplen Regression. Bei der Modellierung einer Regressionsfunktion verwendet man in den meisten Fällen einen linearen Ansatz, arbeitet also mit einer linearen Regression. Wenn der lineare Ansatz als Erklärungsmodell ungeeignet erscheint, kommt eine nichtlineare Regression in Betracht.
- Kleinst-Quadrat-Schätzung im linearen Modell Eine Regressionsfunktion wird so bestimmt, dass sie sich den Beobachtungsdaten möglichst gut anpasst. Das gängigste Verfahren zur numerischen Ermittlung, die Methode der kleinsten Quadrate (KQ-Schätzung), minimiert den Mittelwert der quadrierten Abweichungen zwischen den Beobachtungswerten und der Regressionsfunktion. Die Schätzung einer Regressionsfunktion nach der KQ-Methode entspricht also der Lösung eines Minimierungsproblems. Im linearen Fall ergibt sich die Lösung mit den Mitteln der Differentialrechnung.
- Anpassungsgüte von Regressionen Zur Messung der Anpassungsgüte einer Regressionsfunktion an gegebene Daten verwendet man das Bestimmtheitsmaß R². Dieses gibt an, welcher Anteil der Streuung des abhängigen Merkmals durch das verwendete Regressionsmodell erklärt wird. Das Bestimmtheitsmaß nimmt Werte zwischen 0 und 1 an. Bei einem bivariaten Datensatz wird die obere Grenze erreicht, wenn alle Punkte des Datensatzes auf einer fallenden oder steigenden Geraden liegen.
- Grafische Analyse der Residuen Die Anpassungsgüte einer Regressionsfunktion lässt sich nicht nur quantitativ - anhand von R2 - bewerten, sondern auch qualitativ anhand der Residuen. Wenn man bei einem bivariaten Datensatz mit zugehöriger KQ-Geraden die Residuen gegen das unabhängige Merkmal aufträgt, resultiert ein Residualplot. Schwanken die Residuen unregelmäßig um den Wert Null, spricht dies für eine gute Anpassung und somit für eine gute Eignung des verwendeten Regressionsmodells.
- Nichtlineare Regressionsmodelle Bei der Modellierung von Zusammenhängen zwischen zwei Merkmalen sind manchmal nichtlineare Modellansätze angemessen. Diese lassen sich oft durch geeignete Transformationen linearisieren Auch bei einem nichtlinearen Regressionsmodell kann die Parameterschätzung nach dem KQ-Prinzip erfolgen. Die Bestimmung der Modellparameter führt hier auf ein nichtlineares Gleichungssystem, das iterativ gelöst wird.
- Lernerfolgskontrolle Lineare Regression und Bestimmtheitsmaß Berechnen Sie in Übung 1 die Parameter einer nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmten Regressionsgeraden. In Übung 2 ist die Anpassungsgüte einer solchen KQ-Geraden anhand des Bestimmtheitsmaßes R2 zu quantifizieren.
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