Mathematik (Subject) / Fragekatalog (Lesson)
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Definitionen zur Prüfung
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- Frage 1: Was ist ein homogenes lineares Modell der Populationsentwicklung? Interpretieren Sie die Parameter des Modells! Die Folge {xn} n: 0,1,2,... beschreibt ein homogenes lineares Modell der Populationsentwicklung, falls q >= 0 existiert, sodass xn = q xn-1 erfüllt und x0 gegeben ist. - q ist der Entwicklungsfaktor - xn-1 der Bestand zur Zeit n-1
- Frage 2 Was versteht man unter einem Reproduktionsfunktionsmodell? Eine Folge {xn}n=0,1,2,... genügt dem Reproduktionsfunktionsmodell, falls xn = g xn-1 gilt und x0 gegeben ist. Die Funktion g heißt Reproduktionsfunktion.
- Frage 3 Erläutern Sie den Begri ff Fixpunkt einer Funktion. Ein Fixpunkt einer Funktion f(x) ist der Schnittpunkt der Funktion mit der Hauptdiagonalen y. Der Fixpunkt liegt bei f(x) = x.
- Frage 4 Erläutern Sie die vollständige Induktion! Eine Aussage A(n) ist für alle natürlichen Zahlen wahr, wenn: 1) A(0) wahr ist, 2) aus der Tatsache A(k) = wahr folgt, dass auch A(k+a) wahr ist.
- Frage 5 Geben Sie die Defi nition des Grenzwertes einer Folge (xn)n=0;1;2... an und geben Sie je ein Beispiel für eine konvergente bzw. nicht konvergente Folge an. Eine Folge konvertiert gegen a, falls in einem beliebig schmalen Streifen um a bis auf endlich viele Glieder alle übrigen Glieder liegen. ai = lim(n->∞) xn Konvergente Folge: xn = 1/n Divergente Folge: xn = 2n
- Frage 6 Geben Sie die De finition einer (unendlichen) Reihe an und geben Sie ein Beispiel für eine konvergente unendlichen Reihe an. Für eine beliebige Zahlenfolge ak heißt die Folge (sn) der Partialsummen sn = nΣk=1 ak eine unendliche Reihe Konvergente unendliche Reihe: sn =nΣk+1 (1/2)k
- Frage 7 Geben Sie mindestens drei Regeln für Grenzwerte an! 1) limn->∞ (axn + byn) = alimn->∞ xn + blimn->∞ yn 2) limn->∞ (xn * yn) = limn->∞ xn * limn->∞ yn 3) limn->∞ (xn / yn) = limn->∞ xn / limn->∞ yn gilt für yn =/ 0 und limn->∞ yn =/ 0
- Frage 8 Was ist ein inhomogenes lineares Modell der Populationsentwicklung? Erläutern Sie an Hand einer Skizze die Entwicklung für ein inhomogenes lineares Modell. Die Folge {xn}n=0,1,2,... genügt dem inhomogenen linearen Modell der Populationsentwicklung falls xn = qxn-1 +d erfüllt ist. Skizze im Skript
- Frage 9 Erläutern Sie das logistische Modell! Durch wie viele Werte der Entwicklung ist das logistische Modell eindeutig festgelegt? Eine Folge {xn}n=0,1,2,... genügt dem logistischen Modell, falls: xn = q xn-1 - bx²n-1 erfüllt ist, wobei x0 >= 0 vorgegeben ist und q >0 und b>0 Konstanten sind. Es wird durch 3 Werte (x0, q, b) festgelegt.