Mathematik (Subject) / Sachrechnen (Lesson)

Brinkmann Vorlesung bis 3.4.2.4

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• Wie ist eine Problemaufgabe gekennzeichnet? 3 Komponenten: - einen Anfangszustand - einen erwünschten Endzustand (Zielzustand) - eine Barriere, die die Transformation vom Ausgangszustand in den Endzustand zunächst verhindert --> ob eine Aufgabe für den Löser eine Problemaufgabe ist, hängt von seinen Vorerfahrungen ab
• Unterscheidung von Phasen beim Problemlösen nach Polya. Fokus: innermathematische Problemaufgaben – Verstehen der Aufgabe– Ausdenken eines Plans– Ausführen des Plans– Rückschau Für jede Phase Katalog heuristischer Fragen.
• Phasen des Problemlösens nach Goleman (Basis: Ergebnisse der emotionalen Intelligenzforschung) 1. VorbereitungVertiefen in ein Problem, Sammeln und Analysieren vonInformationen, hierbei Offenheit im Denken (z. B.Sammeln möglichst unterschiedlicher Daten, Einnehmenverschiedener Sichtweisen, Entwickeln ungewöhnlicherVerknüpfungen, aber auch Selbstzensur,Frustration, qualvolle Kleinarbeit, Verzweiflung) 2. Inkubationsphase„Verdauen“ aller bisheriger Analysen und Lösungsansätze,viele Vorgänge entziehen sich der bewussten Aktivität: Siespielen sich in den unbewussten Bereichen des Geistes ab; oft äußert sich eine Erkenntnis des Unbewussten als eine vage Empfindung bzw.Ahnung (Intuition) 3. Zufallsgelenkte TagträumeBei Entspannungen oder irgendwelchen nebensächlichenAktivitäten erwächst plötzlich eine gute Idee zur Problemlösung 4. EingebungVertiefung von Tagträumen können zur Eingebung führen. Zum kreativen Akt gehört aber auch, die Erkenntnis ins Handeln zu überführen.
• Definiere: Modellbildung Bearbeitung von – in derRegel außermathematischen– Problemstellungen durchdie Einbettung ininnermathematischeKontexte
• Beschreibe den Modellbildungskreislauf nach Blum (1985)  Realität                           Mathematik Realmodell          Mathematisieren         Mathematisches Modell   Strukturieren/            Interpretieren            Mathematisches Lösen Vereinfachen          Situation                   Validieren               Mathematische Lösung  
• Wonach kann man Aufgaben des Sachrechnens einteilen? - nach mathematischen Inhalten - nach kontextuellen Kriterien - nach prozessorientierten Kriterien - nach Art/ Grad der Offenheit einer Aufgabe - nach Umfang der in der Aufgabenstellung gegebenen Angaben
• Welche mathematischen Inhalte werden in den Kernlehrplänen Nordrhein- Westfalen für die Sek I vorgesehen? – Arithmetik und Algebra– Geometrie– Stochastik– Funktionen (wird oft zur Algebra gezählt)– inhaltsübergreifend
• Wie kann man Aufgaben nach kontextuellen Kriterien einteilen? Klassische Aufgabentypen  - Klassifikation nach Radatz & Schipper (1983) mit Blick aufdie Ernsthaftigkeit des verwendeten Kontextes  - Definitionsabwandlung mit Blick auf Modellbildungsaktivitätennach Förster (1997)  - Klassische Aufgabentypen: Ziele  - Modellbildungskreislauf bei den klassischen Aufgabentypen  - Übersicht zu den klassischen Aufgabentypen  - Kritik an der klassischen Aufgabentypisierung Unterscheidung nach der beschriebenen Situationnach Franke
• Welche Klassifikation nehmen Radatz und Schipper mit Blick auf die Ernsthaftigkeit des verwendeten Kontextes vor? eingekleidete Aufgaben In Worte gefasste Aufgabenkonstruktionen ohne konkretenRealitätsbezug, speziell Rechenrätsel, Textaufgaben In Textform dargestellte Aufgaben, bei denen die Sacheweitgehend bedeutungslos und austauschbar ist. DieVielfältigkeit und Komplexität der Sache in der Realitätwerden nicht berücksichtigt Sachaufgaben Die Sache selbst wird mitdiskutiert, Einsicht in konkreteSachzusammenhänge gehören also zu den Anforderungenbeim Bearbeiten der Sachaufgaben. Die Sache/Umweltsteht im Vordergrund und die Mathematik liefert nur dieHilfsmittel zu ihrer Bearbeitung.
• Wie wird die Definition für eingekleidete Aufgaben von Förster abgewandelt? Eingekleidete Aufgaben:• Der mathematische Kontext steht eindeutig im Vordergrund.• Auf ein Vorkommen der mathematischen Methode in derWirklichkeit wird nur hingewiesen.• Der komplette Modellbildungsprozess, einschließlichMathematisierung, ist in der Aufgabenstellung bereitsvollzogen.• Die benötigte Mathematik wird dem/r Schüler/indemonstriert.
• Wie wird die Definition für Textaufgaben von Förster abgewandelt? Textaufgaben:• Die vorliegende Sachsituation kann durch ein denSchüler/innen bekanntes und naheliegendesmathematisches Modell erfasst und geklärt werden.• Mathematik wird angewandt.
• Welche Ziele verfolgen eingekleidete Aufgaben? • Anwendung und Übung von Rechenfertigkeiten,• Befähigung zum korrekten Gebrauchen mathematischerFachbegriffe,• Beitrag zur Vertiefung des Verständnisses derRechenoperationen und der Zusammenhänge zwischenihnen,• Beitrag zur Entwicklung des Sinn verstehenden Lesens.
• Welche Ziele verfolgen Textaufgaben? • Förderung mathematischer Fähigkeiten (klassischesHauptziel)• Übersetzen lernen (eine der Hauptschwierigkeit für SuS) • Einfache Mathematisierungen können mit Hilfe vonTextaufgaben eingeübt werden.Z. B.: Situation Preisberechnung:Verschiedene Konkretisierungen zu kaufender Produkte (Brötchen,Fliesen, …) mit entsprechend passenden Preisen proMengeneinheit (Stückpreis, Preis pro m², …) liefern verschiedeneTextaufgaben zum selben Mathematisierungsmuster. • Interpretieren lernen: Mathematische Ergebnisse müssen aufdie Sachsituation hin interpretiert werden: „Antwortsatz“.
• Welche Ziele verfolgen Sachaufgaben? • Echte Anwendung mathematischen Wissens in realistischenSachsituationen, zu denen oft erst noch die Daten selbstgesammelt werden müssen:Funktion des Sachrechnens zur Umwelterschließung mit Hilfeder Mathematik.
• An welcher Stelle im Modellbildungskreislauf nach Blum sind die klassischen Aufgabentypen einzuordnen. Eingekleidete und Textaufgaben: Interpretieren Sachprobleme: Validieren
• Welche Kritik wird an der klassischen Aufgabentypisierung nach Radatz und Schipper geübt? a) Einteilung nicht mehr zeitgemäß: Die „Aufgabenlandschaft“ist vielfältiger geworden; nicht jede Aufgabe lässt sicheinem der drei klassischen Grundtypen zuordnen.b) Einteilung sehr „grob“: Es ist sinnvoll, Sachprobleme weiterzu untergliedern.c) Obwohl bei Sachproblemen die Sache (scheinbar) imVordergrund steht, kann die Zielsetzung primär dieErarbeitung eines mathematischen Inhaltsbereichs sein.(Brinkmann 2009, S. 126)d) Die Sache ist bei Textaufgaben oft nur scheinbar„weitgehend bedeutungslos und austauschbar“
• Welche Aufgabentypen lassen sich nicht in klassischer Weise nach Radatz und Schipper einordnen? – Kapitänsaufgaben (siehe 3.4.2)– Schätzaufgaben (siehe 3.4.2)– Fermi-Aufgaben (siehe 3.4.2)– Knobelaufgaben (siehe 3.3.2 und 3.4.2)
• Nenne ein Beispiel zu d) Die Sache ist bei Textaufgaben oft nur scheinbar „weitgehend bedeutungslos und austauschbar“. Beispiel: Textaufgabe zu einer Einkaufssituation, z. B.:„Anna geht zum Bäcker und kauft 3 Brötchen zu je 20 Cent.Wie viel muss sie bezahlen?“– Für Kinder kann es bedeutsam sein, zu lernen, wie teuerBrötchen sind.– Für Preisberechnungen gibt es ein passendes Standardmodell(s. o.); dies zu lernen und zu nutzen kann auch Ziel des MU imSinne eines Beitrags zur Umwelterschließung sein.
• Wie kann man Aufgaben nach der beschriebenen Situation (nach Franke) einteilen? – Sachaufgaben zu realen Situationen• einfache Sachaufgaben• Sachprobleme• Sachtexte• Projekte– Sachaufgaben zu fiktiven Situationen• Sachaufgaben mit Märchen- und Fantasiefiguren• Denk- und Knobelaufgaben• Scherz- und Kapitänsaufgaben• Sachaufgaben in Kinderbüchern
• Was sind Merkmale "langer Textaufgaben" (nach Brinkmann)? • in Text gefasste Aufgaben,• Sache ist relevant,• mehrere Fragen zu einer Sachsituation (zwecks tieferemVerständnis des betrachteten Anwendungsbereichs),• fokussieren (nicht unbedingt, aber im Wesentlichen) einmathematisches Unterrichtsthema und lassen sich dadurch –im Gegensatz zu Projektaufgaben – problemlos in denüblichen Mathematikunterricht eingliedern,• lassen sich in ein bis zwei Unterrichtsstunden bearbeiten(geringerer zeitlicher Aufwand als bei Projektaufgaben).
• Was sind Merkmale von Miniprojekten (bzw. Projektorientierten Aufgaben)? • „Zwischenformglied“ zwischen Lösen einer Sachaufgabe und derDurchführung eines Projektes,• Einschränkung der ursprünglichen Komplexität eines Problems aufvorwiegend ausgewählte mathematische Inhalte,• Einschränkung auf einen/wenige mathematische Inhaltsbereiche,• inhaltliche und organisatorische Eingliederung des Problemlösens inden üblichen Mathematikunterricht,• Wechsel/Balance zwischen offenen und stärker lehrerzentriertenUnterrichtsphasen. • im Idealfall folgende Bearbeitungsphasen:1. Angebot einer herausfordernden Situation2. Herausarbeiten einer oder mehrerer Problemstellungen3. Selbstständiges Problembearbeiten durch die SuS4. Auswertung, Rückbesinnung
• Welche Lernziele werden mit Miniprojekten verfolgt? • Befähigung zum komplexen und flexiblen Anwendenmath. Kompetenzen,• Beitrag zum Erlernen math. Modellierens,• Beitrag zur Realisierung zentraler Bildungs- undErziehungsziele (z. B. Entwicklung sozialer Kompetenzen,Erziehung zu Selbstständigkeit, ...).– Das Hauptziel (Brinkmann 2009):• kann ein Beitrag zur Umwelterschließung sein oder• das Erlernen/Einüben mathematischer Kompetenzen
• Welche Haupttätigkeiten werden bei Miniprojekten ausgeführt? • Analysieren von realen Sachsituationen,• Bestimmen und Formulieren von (Problem-) Aufgaben,• Lösen einer oder mehrerer mathematischer Aufgaben,• Organisieren, Besorgen von Material, Daten u. Ä. m.,• sachlich angemessenes Kommunizieren mit Mitschülern,• Einschätzen der Ergebnisse, Herausstellen ihrer Bedeutungfür eigenes Verhalten in realen Situationen.
• Nenne ein Beispiel für ein Miniprojekt. Plane deine „Traumwohnung“ und zeichne den Grundriss im Maßstab1:50 oder 1:100 unter Einhaltung folgender Bedingungen:• Die Wohnfläche sollte zwischen 100 m² und 200 m² liegen.• Jeweils mindestens ein Zimmer/Raum sollte die Form eines(allgemeinen) Parallelogramms, eines Rechtecks, eines Quadrats,einer Raute, eines Drachens sowie eines Trapezes haben.• Die Dicke der Wände soll (zwecks Vereinfachung) nichtberücksichtigt werden, Wände sind durch Linien zu zeichnen.• Beschrifte die einzelnen Räume (Wohnzimmer, Flur, Küche, …) undtrage in jeden Raum die zugehörige Fläche ein.
• Welche Merkmale hat eine Projektarbeit? • Alle Aktivitäten sind auf eine reale Sachsituation gerichtet,möglichst keine nennenswerte Einschränkung derursprünglichen Komplexität eines Problems,• Orientierung an den Interessen der Beteiligten,• der übliche Stundenplan wird außer Kraft gesetzt,• vorwiegend offene Lernformen, meist Arbeit in Gruppen,• im Idealfall folgende Bearbeitungsphasen:1. Angebot einer herausfordernden Situation,2. Herausarbeiten einer oder mehrerer Problemstellungen,3. Selbstständiges Problembearbeiten durch die Schüler/innen,4. Auswertung, Rückbesinnung.
• Welche Lernziele werden mit einer Projektarbeit verfolgt? • Befähigung zum komplexen und flexiblen Anwenden vonLernkompetenzen aus verschiedenen Fächern sowie vonAlltagswissen,• echte Anwendung mathematischen Wissens in realistischenSachsituationen (Funktion des Sachrechnens zurUmwelterschließung mit Hilfe der Mathematik),• Beitrag zum Erlernen math. Modellierens,• Beitrag zur Realisierung zentraler Bildungs- undErziehungsziele (z. B. Entwicklung sozialer Kompetenzen,Erziehung zu Selbstständigkeit, ...)
• Welche Haupttätigkeiten werden bei der Projektarbeit ausgeführt? • Analysieren von realen Sachsituationen,• Bestimmen und Formulieren von (Problem-) Aufgaben,• Finden von Lösungsansätzen, Aufstellen einesLösungsplanes,• Beschaffen von Daten, Organisieren von Material,• Lösen der formulierten Probleme (auch mit Hilfe math. Mittel),• Darstellen von Lösungen (z. B. grafisches Darstellen vonZahlen, Herstellen von Modellen),• Einschätzen der Ergebnisse, Herausstellen ihrer Bedeutungfür eigenes Verhalten in realen Situationen, Entwickeln vonSchlussfolgerungen.
• Nenne Merkmale des Schätzens. Schätzen in diesem Zusammenhang bedeutet dasnäherungsweise Bestimmen von quantifizierbaren Daten(ohne exaktes Messen, nur auf Erfahrung gestützt).– Schätzen kann erfolgen, indem man gedanklich feststellt, wieoft in einem vorgegebenen Repräsentanten einer Größe einRepräsentant einer Größe gleicher Art, von dem manmöglichst genaue Vorstellungen hat, enthalten sein könnte.– Ohne Stützpunktwissen, d. h. ohne ein Bezugssystem ist einsinnvolles Schätzen hoffnungslos
• Was ist Abschätzen? gedankliches Bestimmen von 2 Näherungswerten für einebestimmte Anzahl von Dingen, und zwar einer unteren undeiner oberen SchrankeBeispiel: 300 < 325 < 400
• Was ist Messen? – Messen heißt feststellen, wie oft ein Repräsentant einer(als Einheit dienenden) Größe in einem Repräsentanteneiner anderen Größe gleicher Art enthalten ist.– Messungen basieren auf Konventionen, die heute durchinternationale Verträge gesichert sind.– Messen ist i. d. R. das genauere Verfahren
• Wie können Schätzaufgaben dargestellt werden? – Schätzgröße nicht als Foto, sondern nur gedanklich vorhanden („Wie viele Kürbisse wachsen auf einem Kürbisfeld?“)– Schätzgröße als Foto vorhanden:– als konkrete Gegenstände
• Sind Messungen eigentlich auch Schätzungen? – Physikalische Größen können nur mit einer durch dieMessinstrumente bedingten Genauigkeit gemessenwerden.– Bei jeder Messung sollte man also vorher festlegen,welchen Toleranzbereich für die Genauigkeit man zulässt.– In der Schule bedeutet das eine Diskussion bzw. dasErstellen einer Konvention für die Messgenauigkeit.
• einfache Schätzaufgabe Bsp. Wie lang ist ein Traktoranhänger? • eine Größe (Länge) z. B. durch gedanklichen Vergleichermitteln• Problem: jeder Anhänger ist unterschiedlich
• komplexe Schätzaufgabe • es wird mit mind. zwei Größen gearbeitet„Wie groß ist die Ladefläche eines Traktoranhängers?“– entweder Vergleich mit einer geeignetenStützpunktvorstellung (z. B. Quadratmeter) oder Schätzenvon zwei gleichartigen Größen (Länge, Breite)– Je nach Vorgehen kann es sich um eine einfache oderkomplexe Schätzaufgabe handeln.–Der Schwierigkeitsgrad erhöht sich, wenn weitere Größenhinzukommen:„Wie viele Kürbisse passen auf einen Traktoranhänger?“• auch die Darstellungsart beeinflusst den Schwierigkeitsgrad
• Enrico Fermi • Fermi-Aufgaben gehen auf den italienischen Physikerund Nobelpreisträger Enrico Fermi (1901 – 1954)zurück.• Er interessierte sich bei seinen Studenten erst einmalfür deren Denkvermögen und stellte ihnen sonderbareFragen.• Am bekanntesten ist inzwischen seine Frage: „Wie vieleKlavierstimmer gibt es in Chicago?“
• Fermi- Aufgaben • unterbestimmte offene Aufgaben mit klarem Endzustandaber unklarem Anfangszustand• Transformation ebenfalls unklar• die Datenbeschaffung – meist durch mehrfachesSchätzen – steht im Vordergrund• man kann Größenordungen schrittweise über sinnvolleAnnahmen abschätzen• es steht weniger das Rechnen im Zentrum als dieSchritte des Modellierungskreislaufs (Vereinfachen,Validieren, Umgang mit Ungenauigkeiten)
• Woran erkennt man Fermi- Aufgaben? – Fermi-Aufgaben sind realitätsbezogen  • beginnen oft mit: Wie viel, Wie oft, Wie groß...  • es geht häufig um Probleme des Zählens oder Ermittelns von     Größen in Alltagssituationen – Fermi-Aufgaben sind zugänglich  • Fermi-Aufgaben beziehen sich auf die uns umgebene Umwelt – Fermi-Aufgaben fordern heraus  • Schüler müssen ihr Alltagswissen einbringen  • plausible Annahmen (schätzen) oder Recherchen machen – fördern Kompetenzen  • Schätzen, angemessenes Modellieren, sorgfältiges     Überschlagen, ... – erfordern Vergleichen und Überprüfen  • sie haben nie ein richtiges Ergebnis (bzw. es ist nicht     bekannt)  • die Lösungswege und Lösungen müssen auf Plausibilität     überprüft und miteinander verglichen werden – regen das Weiterfragen an
• Was wird durch Fermi- Aufgaben gefördert? – Selbstständigkeit,– Kooperationsfähigkeit,– Problemlösekompetenzen (strategisches Denken),– Fähigkeiten im Argumentieren,– Fähigkeiten im Umgang mit „Unsicherheiten“, „Unkorrektem“, mitSchätzwerten,– Fähigkeiten im Modellieren,– Fähigkeiten, funktionale Zusammenhänge (Proportionen) zuerkennen und zu nutzen,– Einstellungen (Realität kritisch hinterfragen und ernst nehmen,Realität mit Mitteln der Mathematik erfassen und modellieren).
• Aufgaben zu einem Teilschritt des Modellierungskreislaufs Vorrangiges Lernziel:Erwerb/Einüben von Teilkompetenzen des Modellierens Beispiele:– Mathematisierungsaufgabe– Interpretationsaufgabe bzw. Interpretations- und Validierungsaufgabe– Validierungsaufgabe  
• Kapitänsaufgaben … sind Aufgaben, die mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Angaben nicht lösbar sind. Klassisches Beispiel:Auf einem Schiff befinden sich 26 Schafe und 10 Ziegen.Wie alt ist der Kapitän?
• Welche Beobachtungen können bei Schülern beim Lösen von Kapitänsaufgaben gemacht werden? • Schüler lösen diese Aufgaben häufig, weil sie „gelernt“ haben, dass jedeMathematikaufgabe eine Lösung haben muss,• sie sehen die Arithmetik in der Schule ohne Beziehungshaltigkeit zurRealität,• Kinder konstruieren ihre eigenen Zusammenhänge in der Aufgabe,sodass es dann Sinn macht die Aufgabe zu lösen,• sie gehen mechanisch vor und blenden die Umgebung der Aufgabe aus,• In außerschulischen Umgebungen lösen Kinder die Aufgaben seltener,sondern beachten auch den Kontext selbst
• Wie gehen Schüler beim Lösen von Kapitänsaufgaben vor? – verknüpfen die Angaben aus der Aufgabe, weil sie gut zueiner mathematischen Operation passen, weil sie einGebiet gerade im Unterricht hatten, weil das immer sogemacht wird, ...– suchen nach versteckten Hinweisen (Schlüsselwörter: fügthinzu, nimmt weg, bekommt, ...)
• Warum sollten Kapitänsaufgaben in der Schule eingesetzt werden? – kritischer Umgang mit Textaufgaben und Zahlen– die Sinnhaftigkeit von Aufgaben hinterfragen– lernen, dass nicht jede Aufgabe lösbar sein muss
• Knobelaufgaben • Rätselcharakter• Günstige Modellierungen/strategische Vorgehensweisen nichtoffensichtlich• Oftmals fiktive/künstliche Sachsituation
• Haupttätigkeiten beim Lösen von Knobelaufgaben • Kleinschrittiges und versuchsweises Bedenken einesProblems,• Analysieren eines Textes,• Übersetzen des Textes in eine mathematische Struktur,• Anwenden verschiedener Problemlösestrategien
• Einteilung nach Art/ Grad der Offenheit einer Aufgabe • Geschlossene Aufgaben: fordern einen eingleisigenRechenweg, haben eine eindeutige Lösung …• Offene Aufgaben: mehrere Lösungswege und/oderverschiedene Lösungen möglich Es gibt zwei Klassifizierungen mit je 8 Fällen (nach Bruder aus Sicht der Lernenden, nach Greefrath aus Sicht der Lehrenden)
• Klassifizierung nach Grad der Offenheit einer Aufgabe nach Bruder (aus Sicht der Lernenden) Sind Anfangszustand, Transformation und Endzustand vorgegeben, oder nicht? vollständig gelöste Aufgabe (Stimmt das? Wo steckt der Fehler?) Grundaufgabe (Löse die quadratische Gleichung...) Umkehrung der Grundaufgabe (gib eine quadratische Gleichung an,...) Bestimmungsaufgabe (ist Tetrapack verpackungsoptimal?) Umkehrung der Bestimmungsaufgabe (ein Teich soll folgende Fläche haben...) Strategiefindungs- oder Begründungsaufgabe (warum gewinnt frank bei diesem Spiel immer?) Eigenkonstruktionen- Anwendungen finden (erfinde eine Aufgabenstellung zu...) offene Aufgabensituation (Führe eine Befragung durch und stelle die Ergebnisse vor)
• Klassifizierung der Offenheit einer Aufgabe nach Greefrath (aus Sicht der Lehrenden) Sind Anfangszustand, Transformation und Endzustand klar, oder unklar? ProblemsituationUnscharfes ProblemInterpretationsproblemStrategiefindungsproblemInterpretationsaufgabeEinfache offene AufgabeAufgabe erfindenAnfangssituation erfinden
• Einteilung der Aufgabe nach Umfang der in der Aufgabenstellung gegebenen Angaben Überbestimmte Aufgaben:Aufgabentexte/Aufgabenstellungen enthalten Angaben, diezur Lösung der Aufgabe nicht erforderlich sind. Unterbestimmte Aufgaben:Nicht alle Informationen, die zur Lösung der Aufgabebenötigt werden, sind angegeben. Fehlende Informationenmüssen beispielsweise durch Alltagswissen, Schätzen odereine Recherche ermittelt werden.
• Hauptursachen für Schwierigkeiten von SuS beim Sachrechnen • Sachstrukturen:(z. B. Größenbereiche sind unklar, Sachstruktur ist zu komplex,Inhalt der Aufgabe ist unbekannt, Sachzusammenhänge sindunklar) • Sprachlich-syntaktische Struktur:(z. B. Schwierigkeiten im Verstehen von Fachbegriffen oder vonFremdwörtern) • Mathematische Struktur:(z. B. fehlerhaftes Erkennen einer mathematischen Struktur,Übersehen einzelner Teilschritte beim Rechnen, Verwechseln vonGrößenbeziehungen) • Prozessstrukturen:(z. B. impulsive Lösungshypothesen, oberflächliches Analysierengegebener Texte, Einstellungsprobleme, Vernachlässigen vonKontrollen, mangelhafte Kompetenzen im Bewältigen komplexerAnforderungen, unzureichende Selbstständigkeit)

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