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wahrscheinlichkeitstheorie (Subject) / 13 Null-Eins-Gesetze (Lesson)
- wann heißt eine Sigma Algebra p-trivial? Eine Sigma-Algebra A Teilmenge von F im Wraum ( Omega,F,P)heißt p-trivial falls P(B) aus {0,1} für alle B aus A
- Was ist eine Sigma-Algebra der terminalen Ereignisse ? Für eine Folge(An)n aus N von Sigma-Algebren auf einer Menge Omega heißt A_unendl:=Schnitt über n aus N sigma(Vereinigung von m=n bis unendl Am) sigma-Algebra der terminalen Ereignisse der Folge (An)n aus N
- Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov Ist (Omega,F,P) ein WRaum und (An) n aus N eine unabh Folge von Teil-sigma-Algebren An Teilmenge F , so ist A_unendl P-trivial dh P(A) aus {0,1} für alle A aus A_unendl
- Für eine Folge (An)n aus N von Ereignissen sei a) limsup An:=.... b)liminf An:=...... a)= Schnitt n=1-unendl Vereinigung m>=n Am =lim n gegen unendl ( Vereinigung m>=Am) ={w aus Omega:w aus An für unendl viele n} ={An unendl oft} b)=Vereinigung n=1- unendl Schnitt m>=n Am ={w aus Omega:w aus An für alle großen n} ={An für schließlich alle n}
- Borel Cantelli Lemma Sei (An) n aus N eine Folge von Ereignissen im Wraum ( Omega, F , P ) 1. Hälfte) Gilt Summe n=1-unendl P(An) <unendl so folgt P(limsup An)=0 2.Hälfte) Sind die (An) unabh und gilt Summe n=1 bis unendl P(An)=unendl so folgt P(limsup An)=1
- Null-Eins-Gesetz von Borel Ist (An)n aus N eine unabh Folge von Ereignissen , so gilt P(limsup An) aus {0,1}
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