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wahrscheinlichkeitstheorie (Subject) / 11 Summen und Produkte unabhängiger Zufallsvariablen (Lesson)
- Zwei Zufallsvariablen X und Y sind genau dann unabhänig wenn.... E(f(X)g(Y))=E(f(X))E(g(Y)) für alle stetigen beschränkten Fktnen f und g gilt
- was ist Faltung? Seien mü1,....,mün endliche Maße auf (R^d,Bd). Dann ist die Faltung mü1*...*mün von mü1,.......,mün definiert als das Bildmaß von mü1®...®mün der Abbildung An:(R^d)^n->R^d, (x1,....,xn)->x1+.....+xn dh es gilt mü1*.....*mün= An(m+1®.....®mün) ® ist der kreis mit kreuz drin
- Seien X1,...,Xn unabh Zufallsvektoren Xi:(Omega,F,P)->R^d. Dann gilt P_(X1+..+Xn)=.... ... P_X1*.....*P_Xn
- Eigenschaften der Faltung Seien mü1,.....,mün endliche Maße auf (R^d,Bd).Dann gilt: a)mü1*.....*mün ist endl Maß auf (R^d,Bd) mit (mü1*...*mün)(R^d)=mü1(R^d) malmalmal mün(R^d) Insbesondere ist mü1,..,mün ein Wmaß falls mü1,....,mün Wmaße sind b)Assoziativität (mü1*..*mün-1)*mün=mü1*(mü2*..*mün) c) Kommutativ mü1*mü2=mü2*mü1 d)Homogenität und Distributivität: (amü1)*(mü2+mü3)=a(mü1*mü2+mü1*mü3) für a>0 e)Für alle B aus Bd gilt: (mü1*mü2)(B)=Integral über R^d mü2(B-y)mü1(dy)= Integral über R^d mü1(B-y)mü2(dyI) f)Hat mü1 eine Lebesquedichte f bzgl lamda^d so hat auch mü^*mü2 eine Dichte g bzgl lamda^d, geg durch : g(x)= Integral über R^d f(x-y)mü2(dy) g)Hat mü1 Dichte f1 und mü2 Dichte f2 bzgl lamda^d so hat auch mü1*mü2 Dichte f1*f2 geg durch (f1*f2)(x)=Integral über R^d f1(x-y)f2(y)dy = Int f2(x-y)f1(y)dy lambda^d f.s f1*f2 heißt Faltung der L^1 Fktnen f1 und f2
- Wann heißt eine Verteilung Cauchyverteilung mit Parameter Gamma? eine Verteilung Px auf ( R^1,B1) heißt Cauchyverteilung mit Parameter Gamma aus R und c>0 falls sie Lebesguedichte R->[0,unendl), x->f(x)=pi^-1 c*(1/((x-Gamma)^2+c^2) ) x aus R hat
- Wann heißt eine Verteilung Exponentialverteilt? Exponentialverteilung mit Parameter Θ>0 falls sie die Lebesquedichte R->[0,unendl) x->f(x)=Θe^(-Θx)1_(0,unendl)(x) hat schreibe P_X=Expo(Θ)
- Wann heißt eine Verteilung Γ-Verteilung mitParametern c>0,Θ>0 ? Γ-Verteilung mitParametern c>0,Θ>0 falls sie die Lebesquedichte R->[0,unendl), x->f(x)= (Θ^c)/(Γ(c))*x^(c-1)e^(-Θx)1_(0,unendl)(x) hat schreibe P_X=Γ_(c,Θ). Speziell: c=1 führt zu Γ_(1,Θ)=Expo(Θ) c=n/2, n aus N ,Θ=1/2 führt zu Γ_(n/2,1/2)=χ^2_n ( mit n freiheitsgraden)
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