Mathematik (Subject) / Elementargeometrie und Vektorrechnung (Lesson)

Elementargeometrie und Vektorrechnung

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• Grundvorstellungen beim Addieren in den Natürlichen Zahlen -) Vereinigungsvorstellung -) Hinzufügevorstellung -) Veränderungsvorstellung
• Vereinigungsvorstellung -) Zwei Zustände werden zu einem zusammengefasst -) Z-Z-Z -) Geometrische Interpretation: Streckendarstellung
• Hinzufügevorstellung -) Zustand - Änderung - neuer Zustand -) Geometrische Interpretation: Punkt-Pfeil-Darstellung
• Veränderungsvorstellung -) zwei Änderungen werden zu einer Änderung zusammengefasst -) Ä-Ä-Ä -) Geometrische Interpretation: Pfeildarstellung
• Verschiedene Einstiegsmethoden in die Vektoren -) Algebraischer Einstieg - Vektor als geordnetes Zahlenpaar -) Geometrische Einstiege:           -) Vektoren als Punkte/Pfeile in d. Ebene           -) Ortsvektoren           -) Pfeilklassen -) Axiomatischer Einstieg: Vektoren als Elemente eines Vektorraums
• Algebraischer Einstieg - allgemeine Erklärung Vektoren als geordnetes Zahlenpaar eingeführt (Konzept bereits von den Koordinaten im Koordinatensystem bekannt) Beschreibung von Situationen, bei denen eine Zahl nicht genügt Zeilen- od. Spaltenform
• Algebraischer Einstieg - Formale Definition Die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen bezeichnet man mit R2. R2 = {(a1|a2) | a1, a2 ∈ R} Ein geordnetes Zahlenpaar A = (a1|a2) heißt Vektor in R2. Dabei nennt man a1 und a2 die Koordinaten od. Komponenten des Vektors A.
• Algebraischer Einstieg - Geometrische Deutung geometrische Deutung ist nur eine Interpretation bzw. Darstellung dieser Objekte Geometrische Darstellung eines Vektors als - Punkt in der Ebene ("Zustand") - Pfeil in der Ebene ("gerichtete Änderung")
• Vektor als Punkt in der Ebene Jedem Vektor (Zahlenpaar) ist eindeutig ein Punkt in der Ebene zugeordnet und umgekehrt
• Vektor als Pfeil in der Ebene Jedem Pfeil in der Ebene ist eindeutig ein Vektor zugeordnet, aber jedem Vektor (Zahlenpaar) können unendlich viele Pfeile zugeordnet werden. -> Es gibt eine Mehrdeutigkeit von Zahlenpaaren als Pfeile, aber: Diese Pfeile haben alle die gleiche Länge, Richtung u. Orientierung Analog zu N/Z: Zahl als Zustand (Punkt auf der Zahlengeraden) ist eindeutig, aber Zahl als Veränderung (Punkt-Pfeil-Darstellung) ist nicht eindeutig.
• Vorteile Algebraischer Einstieg -) Gleichheit zweier Vektoren ist kein Problem (jeweiligen Komponenten gleich) -) Nullvektor macht keine Probleme (= Zahlenpaar (0|0))
• Nachteile Algebraischer Einstieg -) Zahlenpaare mit wenig Vorstellung verbunden -> meist Punkt- bzw. Pfeildarstellung als einzige Vorstellung im Gedächtnis -) In der Lebenswelt der SuS kommen zuerst geometrische Objekte, dann Zahlen
• Geometrische Einstiege - Möglichkeiten (Liste) -) Vektoren als Punkte -) Vektoren als Pfeilklassen -) Vektoren als Punkte/Pfeile
• Geometrischer Einstieg: Vektoren als Punkte (Beschreibung, Vorteile, Nachteile) z.B. Vektor A = (4|3) ist der Punkt in der Ebene mit den Koordinaten (4|3) Vorteile: +) Eindeutige Zuordnung +) Einfache geometrische Vorstellung +) Keine Pfeile, keine Probleme +) Nullvektor ist der Nullpunkt Nachteile: -) Interpretation von Add. u. Multipl. mit einem Skalar schwierig (Streckung; Transformation) -) Grundvorstellung Vektor als Änderung geht verloren
• Geometrischer Einstieg: Vektoren als Pfeilklassen (Beschreibung, Vorteile, Nachteile) Der Vektor A=(4|3) ist die Menge aller Pfeile, die gleich lang, parallel, gleich gerichtet sind u. die Koordinatendarstellung (4|3) haben. Vorteile: +) Statt Punkt A Ortsvektor OA -> alle Argumente nur mit Pfeilen, ohne Punkte Nachteile: -) Für Rechnungen, Beweise immer auf Einzelpfeile als Repräsentanten d. Pfeilklassen zurückgreifen -) Pfeilklassen schwer vorstellbar für SuS -) Nullvektor als "Nullpfeilklasse"
• Geometrischer Einstieg: Vektoren als Punkte/Pfeile (Beschreibung, Vorteile, Nachteile) Der Vektor A=(4|3) ist sowohl der Pfeil mit der Koordinatendarstellung (4|3) als auch der Punkt mit den Koordinaten (4|3) Vorteile: +) Beide geometrischen Interpretationen inkludiert Nachteile: -) formal unsauber -) führt noch mehr zu Verwirrung, was ein Vektor eigentlich ist
• Axiomatischer Einstieg (kurze Beschreibung) Definition über Vektorraum nicht für die Schule geeignet
• Definition Skalarprodukt + Rechengesetze unabhängig von geometrischer Deutung Seien A, B ∈ R2. Die reelle Zahl A · B = a1 · b1 + a2 · b2 heißt das Skalarprodukt der Vektoren A und B. Rechengesetze für Skalarprodukt Für alle A, B, C ∈ R² und alle r ∈ R gilt: -) A · B = B · A     (Kommutativgesetz · ) -) (A+B) · C = A · C + B · C     (Distributivgesetz +) -) (r · A) · B = r · (A · B)     (Quasiassoziativgesetz · )
• Deutung der Multiplikation mit Skalar (Satz) Sei a ∈ R² und r ∈ R Werden die Vektoren a und r·a durch Pfeile in der Ebene dargestellt, dann gilt: -) Der zu r·a gehörige Pfeil hat die r-fache Länge des zu a gehörigen Pfeils -) Für a ≠ O sind die beiden Pfeile bei r > 0 gleichsinnig orientiert, und bei r < 0 gegenseitig orientiert -) Zu b ≠ r·a gehörige Pfeile können nicht parallel zum Pfeil sein, der zu a gehört.
• Parallele Vektoren (geometrische u. algebraische Definition) Geometrische Definition Zwei Vektoren a, b (≠ O) sind parallel, wenn die zugehörigen Pfeile parallel sind. Das ist genau dann der Fall, wenn b = r·a für ein r ∈ R gilt. Algebraische Definition Zwei Vektoren a, b (≠ O) sind parallel, wenn es ein r ∈ R gibt, sodass b = r·a. Man schreibt a || b.
• Normale Vektoren (geometrische u. algebraische Definition) geometrische Definition: Zwei Vektoren a, b (≠ O) sind normal zueinander (orthogonal), wenn die zugehörigen Pfeile aufeinander normal stehen. Das ist genau dan der Fall wenn a·b = 0 gilt. algebraische Definition: Zwie Vektoren a, b (≠ O) heißen normal od. orthogonal, wenn a·b = 0 gilt. Man schreibt a⊥b; b heißt Normalvektor zu a. Normalvektor in R²: Koordinaten vertauschen und ein Vorzeichen ändern.
• Definition Normalvektor (Satz) Sei a = (a1|a2) ∈ R², a ≠ O. Dann sind die Vektoren n1 = (-a2|a1) und n2 = (a2|-a1) Normalvektoren zu a. Die zu n1 und n2 gehörenden Pfeile sind gleich lang wie der zu a gehörende Pfeil.
• Winkelmaß zweier Vektoren geometrisch Das Winkelmaß zweier Vektoren a und b ist das Maß jenes Winkels, den die beiden zugehörigen Pfeile miteinander einschließen, wenn man sie vom selben Anfangspunkt aus darstellt.
• Winkelmaß abhängig von Winkelgröße - Eigenschaften Was bedeutet a·b = |a|·|b|·cos φ ⇒ für das Winkelmaß? -) wenn a·b > 0 ⇒ cos φ > 0    ⇒ φ ist ein spitzer Winkel -) wenn a·b < 0 ⇒ cos φ < 0    ⇒ φ ist ein stumpfer Winkel -) wenn a·b = 0 ⇒ cos φ = 0    ⇒ φ ist ein rechter Winkel (d.h. a⊥b)
• Wie beschreibt man eine Gerade elementargeometrisch? Verbinde zwei Punkt mit einer geraden Linie u. setze diese Linie in beide Richtungen unendlich fort.
• Wie beschreibt man eine Gerade analytisch? Graph einer linearen Funktion (Problem: Senkrechte)
• Wie beschreibt man eine Gerade algebraisch? (Idee) Alle Vektoren t·g sind parallel zum Vektor g. Zeichnet man sie als Pfeile vom selben Anfangspunkt A aus, liegen diese Pfeile alle auf einer Geraden. Idee: Gerade als Menge aller Endpunkte dieser Pfeile (A + t·g) -> Jeder Punkt der Geraden ist als A + t·AB darstellbar. Umgekehrt: Jedes t ∈ R liefert einen PUnkt d. Gerade.
• Parameterdarstellung einer Geraden in R² - Formal (Satz + Beweis) Ein Punkt X leigt genau dann auf einer Geraden durch die Punkte A und B, wenn es ein t ∈ R gibt, sodass X = A + t · AB. Beweis Alle Vektoren t · AB sind parallel zu AB. Trägt man die zugehörigen PFeile von einem gemeinsamen Punkt A aus auf, liegen diese Pfeile alle auf einer Geraden. Damit liegen auch alle Endpunkte dieser Pfeile auf einer Geraden. Umgekehrt: analog.
• Satz Parameterdarstellung einer Geraden in R² Sei g eine Gerade mit dem Richtungsvektor g, A ein Punkt auf g. Ein Punkt X liegt genau dann auf der Geraden g, wenn es ein t ∈ R gibt, sodass X = A + t·g. Die Beziehung X = A + t·g nennt man Parameterdarstellung der Geraden g; t nennt man den Parameter.
• Eigenschaften der Parameterdarstellung einer Geraden in R² -) Eine Gerade kann unendlich viele Parameterdarstellungen haben. -) Der Parameterwert t eines bestimmten Punktes auf der Geraden hängt von der gewählten Parameterdarstellung ab. -) Ist g ein Richtungsvektor der Geraden g, dann ist auch jeder Vektor r·g (r ∈ R, r ≠ 0) ein Richtungsvektor von g.
• Normalvektordarstellung (Gleichung) einer Geraden in R² - Motivation Didaktisch: Gleichungen sind für SuS oft einfacher zu handhaben als Vektoren Mathematisch: In vielen mathematischen Anwendungen ist kein Richtungsvektor gegeben, sondern ein Normalvektor
• Definition Normalvektor der Geraden g Ein Vektor n ≠ O heißt Normalvektor der Geraden g, wenn n zu allen Richtungsvektoren von g normal ist. Erinnerung: n ⊥ g ⇔ n · g = 0
• Normalvektordarstellung (Gleichung) einer Geraden in R² - Satz Sei g eine Gerade mit dem Normalvektor n, P ein Punkt auf g. Ein Punkt X liegt genau dann auf der Geraden g, wenn gilt: n·X = n·P . Beweis: n ⊥ PX ⇔ n · PX = 0 ⇔ n · (X-P) = 0 ⇔ n · X - n · P = 0 ⇔ n · X = n · P
• Normalvektordarstellung (Gleichung) einer Geraden in R² - Beweis Sei g eine Gerade mit dem Normalvektor n, P ein Punkt auf g. Ein Punkt X liegt genau dann auf der Geraden g, wenn gilt: n·X = n·P .   Beweis: n ⊥ PX ⇔ n · PX = 0 ⇔ n · (X-P) = 0 ⇔ n · X - n · P = 0 ⇔ n · X = n · P
• Gleichung einer Geraden in R² n·X = n·P in Koordinaten anschreiben ⇒ n1·x1 + n2·x2 = n1·p1 + n2·p2  ⇒ n1·x1 + n2·x2 = c
• Umkreismittelpunkt Streckensymmetralen stehen normal auf die Seite u. gehen durch den Mittelpunkt
• Inkreismittelpunkt Winkelsymmetralen Gerade, die durch den Eckpunkt geht und den Winkel halbiert Richtungsvektor kann z.B. durch die Summe zweier gleich langer Vektoren entlang der Seiten gefunden werden
• Höhenschnittpunkt Höhenlinien Gerade, die durch den Eckpunkt geht und normal auf die gegenüberliegende Seite steht
• Hesse'sche Abstandsformel Abstand Gerade - Punkt berechnen kürzeste Abstand (Normalabstand) Vorgehensweise: Man wählt einen beliebigen Punkt A auf g und bestimmt einen Normalvektor n von g. Der gesuchte Abstand d ist gleich dem Betrag der Normalprojektion APn des Vektors AP auf n.
• Vektoren in R³ - Formale Definition Vektoren als geordnete Zahlentripel Zeilen- od. Spaltform Formale Definition: Die Menge aller geordneten Tripel reeller Zahlen bezeichnet man mit R³. R³ = {(a1|a2|a3) | a1, a2, a3 ∈ R} Ein geordnetes Zahlentripel A = (a1|a2|a3) heißt Vektor in R³. a1, a2, a3 nennt man die Koordinaten od. Komponenten des Vektors A.
• Normale Vektoren in R³ Normalvektor in R³ nicht eindeutig - liegen in einer Ebene. Normalebene zu (dem zu) a (gehörigen Pfeil). Alle in dieser Ebene liegenden Pfeile sind also normal auf den zu a gehörigen Pfeil.
• Merkregeln Vektorprodukt 1. Möglichkeit: Vektoren nebeneinander schreiben, Zeilen der Reihe nach durchstreichen und dann kreuzweise das Produkt bilden In der Mitte das Vorzeichen wechseln!!! 2. Möglichkeit: Beide Vektoren beginnend mit der 2. Komponente (und endend mit dieser) nebeneinander schreiben, dann die kreuzweisen Produkte bilden
• Parameterdarstellung einer Ebenen in R³ Idee: Zwei nicht parallele Pfeile im Raum liegen, wenn man sie vom selben Anfangspunkt P aus zeichnet, immer in einer Ebene. Jeder Punkt X dieser Ebene lässt sich als Summe von Vielfachen dieser Vektoren (Linearkombination) darstellen: X = P + u · a + v · b         (a, b Vektoren) Ebene durch drei Punkte P, Q u. R: Jeder Punkt X der Ebene ist als X = P + u · PQ + v · PR darstellbar.
• Parameterdarstellung einer Ebenen in R³ - Satz Ein Punkt X liegt genau dann auf einer Ebene, die durch die Vektoren a und b (bzw. die Punkte P, Q u. R) festgelegt ist, wenn es u, v ∈ R gibt, sodass X = P + u·a + v·b (bzw. X = P + u·PQ + v·PR). Diese Beziehung nennt man Parameterdarstellung der Ebene; u, v nennt man die Parameter. Die Vektoren a (= PQ) und b (= PR) nennt man die Richtungsvektoren der Ebene.
• Ebene: Gleichung → Parameterdarstellung durch einsetzen von z.B. x=0 u. y=0 z ausrechnen Punkt ausrechnen analog 2 weitere Punkte berechnen → ein Punkt als Anker und die zwei weiteren um Richtungsvektoren auszurechnen
• Ebene: Parameterdarstellung → Gleichung Normalvektor durchs Kreuzprodukt berechnen + Punkt einsetzen n·X = n·P
• Lagebeziehungen Gerade und Ebene - Möglichkeiten g schneidet E in einem Punkt: E ∩ g = {S} g ist zu E parallel und liegt nicht in E: E ∩ g = { } g ist zu E parallel und liegt in E: E ∩ g = g
• Lagebeziehung Gerade und Ebene - Überprüfung Wie überprüft man die Lagebeziehung von Gerade g: X = A + t·g und Ebene E: n·X = n·P in R³? 1. Überprüfen, ob g normal zu n steht. Falls nein: E ∩ g = {S} Falls ja: E ∩ g = { } oder E ∩ g = g 2. Überprüfen, ob P auf g liegt (od. A auf E) Falls nein: E ∩ g = { } Falls ja: E ∩ g = g
• Lagebeziehung Gerade und Ebene - Schnittpunkt bestimmen Gerade g: X = A + t·g und Ebene E: n·X = n·P X = A + t·g in n·X = n·P einsetzen Ergibt eine Gleichung für t → Gleichung nach t lösen Einsetzen des Werts für t in die Parameterdarstellung von g → ergibt den Schnittpunkt S Berechnen des Schnittpunkts liefert auch die Lagebeziehung!
• Lagebeziehung Ebene und Ebene - Möglichkeiten E1 und E2 schneiden einander in einer Geraden g: E1 ∩ E2 = g E1 und E2 sind parallel und verschieden: E1 ∩ E2 = { } E1 und E2 sind parallel und fallen zusammen: E1 ∩ E2 = E1 = E2

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