Lineare Algebra 1 und 2

Question 1

Kern einer Abb. def Bild einer Abb. def Urbild von w in V def.

Accepted Answer

Sei f aus L(V, W) Kern(f) := {v ∈ V : f(v) = 0 } Bild(f) := {f(v) : v ∈ V} Urbild von w in V: f -1(w) := f -1 ({w}): = {v ∈ V : f(v) = w}

Question 2

Kern(f) und Bild(f) sind Unterräume von V bzw. W falls f aus L(V, W) f injektiv < = > ? v1, .., vn lin unabhängig, was gilt für f(v1) , ..., f(vn) ? gilt das gleicht für lin abhängige Argumente?

Accepted Answer

? = Kern(f) = {0} sie sind lin unabhängig ja

Question 3

Dimensionsformel für Funktionen

Accepted Answer

dim(V) = dim(Bild(f)) + dim(Kern(f))

Question 4

Was gilt für Funktionen L(V, W) , falls dim(V) = dim(W) mit dim(V) aus N gilt?

Accepted Answer

f injektiv <==> f surjektiv <==> f bijektiv

Question 5

2 endlichdimensionale VR sind isomorph def alternatives kriterium

Accepted Answer

es gibt lineare bijektive Funktion von V nach W dim(V) = dim(W)

Question 6

Bedeutung [f]B1, B2 wobei B1, B2 im index steht

Accepted Answer

[f]B1, B2 bezeichnet die Matrixdarstellung oder die darstellende Matrix von F aus L(V, W) bezüglich der Basen B1 = {v1, ..., vm} B2 = {w1, ..., vn} Die Koordinaten von f(v) in der gewählten Basis von W lassen sich somit durch dieKoordinaten von v in der gewählten Basis von V mit Hilfe der Matrix A aus K n,m aus berechnen. f(v1), ..., f(vm)) = (w1, ..., wn) A !!!! Die Koordinaten des Bildvektors f(v) bezüglich der Basis {w1, ..., wn} von W sind alsogegeben durch A * [] wobei in [] die Koordinaten untereinander stehen

Question 7

Welcher Zusammenhang besteht zwischen L(V,W) mit K n,m mit V = {v1, ..., vm} W = {w1, ..., wn}

Accepted Answer

die sind isomorph, da die folgende Abbildung ein Isomorphismus ist: f: L(V,W) --> K n,m mit f --> [f] B1, B2 Daher stimmen auch die Dimensionen überein. dim(L(V, W) = dim(K n,m) = n*m

Question 8

Kommultatives Diagramm

Accepted Answer

https://gyazo.com/76fa004af7fd139d252eaf04c8298fc1

Question 9

Wie berechnet man Basisübergangsmatritzen?

Accepted Answer

[IdV] B1, B2 berechnet man folgend: Die Spalten der Matrix sind die Darstellung von der einzelnen Elemente von B1 als Kombination von ementen von B2. https://gyazo.com/05d1de2219c5a5990556888f0c964a69

Question 10

Wie berechnet man Basisübergangsmatritzen?

Accepted Answer

[IdV] B1, B2 berechnet man folgend: Die Spalten der Matrix sind die Darstellung von der einzelnen Elemente von B1 als Kombination von ementen von B2. https://gyazo.com/05d1de2219c5a5990556888f0c964a69 Die Rückrichtung kann durch invertieren berechnet werden Formaler: Links B2, rechts B1 und B1 zur Einheitsmatrix mit eventuell Nulltzeilen umformen https://gyazo.com/56182dbec23589174b14453fe4d432cc

Question 11

Vektorraum über K definition

Accepted Answer

(V, +, *) ist ein VR falls: (V, +) ist komm Gruppe a,b aus K v,w aus V: a*(v*c) = (a*v)*c 1*v = v a *(v+w) = a*v +a*w (a+b)*v = a*v + b*v

Question 12

Seien V, W VR mit dim(V) = n und dim(W) = m Wenn man geeignete Bases wählt wie einfach kann man [f] B1, B1 darstellen?

Accepted Answer

Man kann [f] B1, B2 als Matrix in K n,m darstellen mit Einer Identitätsmatrix oben links mit größe r wobei 0 < r = Bild(f) <= min{n,m} gilt WIr definieren Rang(f):= Rang(F) = dim(Bild(f)) F ist die Matrixdarstellung von f mit beliebigen Basen

Question 13

Rang(A*AT) = ?

Accepted Answer

Rang(A)

Question 14

def Dualraum Was ist der Dualraum V*

Accepted Answer

L(V, K)

Question 15

Satz Basis Dualraum

Accepted Answer

Wenn B1 = {v1 , ..., vn} die Basis zu einem n dim VR V. Dazu gibt es genau ein B2 = {w1, ..., wn} mit v*i wj = d i j Wir nennen B2 die duale Basis

Question 16

def duale Abbildung

Accepted Answer

Seien V, W VR und V*, W * die dazu gehörigen Dualräume und f aus L(V, W). Dann heißt f* : W* --> V*, h --> h o f die duale Abbildung zu f, für alle h aus W*

Question 17

Dualraum def. Duale Funktion def.

Accepted Answer

V* = L(V, K) f*: W* --> V*; h ---> h o f

Question 18

f aus L(V, W) was kann über f* gesagt werden? f aus L(V, W) und g aus L(W, X), dann ist (g o f) * aus? Sei f bijektiv, was folgt daraus?

Accepted Answer

f* ist aus L(W*, V*) L(X *, V*) f* o g* f* ist auch bijektiv, und es gilt (f*) -1 = (f -1)*

Question 19

Zusammenhang Transposition und Dualität im endlichdimensionalen

Accepted Answer

Seien B1 und B2 Basen und B1* und B2* die dazugehörigen Dualen Basen ([f] B1, B2 )T= [f* ] B2* , B1*

Question 20

Bilinearform auf VxW def.

Accepted Answer

a aus K, v, v1, v2 aus V und w, w1, w2 aus W b(v1+v2,w) = b(v1, w) + b(v2, w) b(v, w1+w2) = b(v, w1) + b(v, w2) b(av, w) = a* b(v, w) b(v, a*w) = a *b( v, w)

Question 21

nicht ausgeartete Linearform def. nicht ausgeartete Linearform in der 1/ 2 Variablen def. duales Raumpaar bzgl. b

Accepted Answer

in der 1. Variablen: b(v, w) = 0 --> v = 0 inder 2,Variablen: b(v, w) = 0 --> w = 0 nicht ausgeartet: b(v,w) =0 --> v= w= 0 b ist nicht ausgeartete Bilinearform

Question 22

Matrixdarstellung einer Bilinearform

Accepted Answer

Seien B1 = (v1, ..., vm) , B2 = (W1, ..., wn) Basen Dann ist [bii] mit bi j = b(vj, wi)

Question 23

symmetrische Bilineaeformen sind für alle Basen symmetrisch in der Matroxdarstellung

Accepted Answer

nur so ne info

Question 24

kongruenz von Matritzen

Accepted Answer

A und B sind kongruent, falls es eine Matrix Z gibt mit # A = Z T B Z ist Äquivalenzrelation

Question 25

duale basis berechnen

Accepted Answer

c

Question 26

Sesquilinearform def hermitisch def

Accepted Answer

s(v1+v2, w) = b(v1, w) + b(v2, w) s(v, w1 + w2) = b(v, w1) + b(v, w2) s(a *v, w) =a * b(v, w) ___ s(v, a*w) = a * s(v, w) (mit strich über dem a) __________ hermitisch: s(v,w) = s(w,v) Im Komplexen gilt eine sesquilinearform ist hermitisch genau dann wenn s(v, v) in R liegt für alle v

Question 27

Hermitische Matrix def. (a *B)H (hoch H) = sonst wie transposition

Accepted Answer

_____ A H = [a i j ] T (Der Strich ist über den aij _____ a *BH

Question 28

Skalarprodukt def Standartskalarprodukt:

Accepted Answer

Eine Abb. < . , . > : V x V --> K heißt Skalarprodukt falls ist K = R, falls < . , . > eine bilineaform ist ist K = C , falls < . , . > eine sesquilinearform ist und außerdem falls < . , . > pos definit ist, daher < v, v > > = 0 mit = 0 genau dann wenn v = 0 gilt insbesondere muss < v, v > immer reell sein < v, w> = w t * v

Question 29

Norm def. euklidische norm def. p Norm def.

Accepted Answer

Eine Abbildung || . ||: V --> R heißt Norm, falls ||v|| > = 0 mit ||v|| = 0 <--> v = 0 ||a * v|| = |a|* ||v|| ||x+y|| <= ||x|| +|| z|| ||v|| = (< v, v >) 0,5 = (< vt,v> ) 0,5 h falls C ||v|| p = (Summe über alle (vi )p )1/p

Question 30

Skalarprodukt lineare Abhängigkeit

Accepted Answer

Es gilt | < v, w > | 2 <= < v,v> * < w,w> mit Gleichheit genau dann wenn v,w lin abhängig sind

Question 31

def cos(phi) über skalarprodukt def 2 Vektoren sind orthogonal def Orthogonalbasis def Orthonormalbasis

Accepted Answer

cos(phi) = < v,w > / (||v||* ||w||) < v,w> = 0 < v i, v j > = 0 für alle i ungleich j Orthonormalbasis zusätzlich || v i|| = 1

Question 32

jeder euklidisch oder unitäre VR hat Orthonormalbasis wie berechne ich diese?

Accepted Answer

Gram Schmidt Verfahren: man hat Vektoren a,b,c , ... 1. u1 = a normiert 2. u2´ = b - u1 u2 = u2 ´normiert 3. u3 ´ = c - < c, u2> u2 - < c, u1> u1 u3 = u3´ * 1/ norm von u3 also alle einträge quadriert und dann wurzel Das Verfahren liefert eine BAsis, do dass [Id V] B1, B2 eine invertierbare obere Dreiecksmatrix ist

Question 33

orthoganale Matrix unitäre Matrix

Accepted Answer

Spalten bilden Orthogonalbasis bzgl. Standartskalarprodukt in Rn Spalten bilden Orthogonalbasis bzgl. Standartskalarprodukt in Cn Im Rn folgt daher das die Matrix invertierbar ist mit Q T = Q -1

Question 34

Für Orthonormalbasen mit Basis B = {v1, ..., vn} gilt: u = summme von 1 bis n: *vi

Accepted Answer

viel Spaß

Question 35

Für Orthonormalbasen mit Basis B = {v1, ..., vn} gilt: u = summme von 1 bis n: *vi

Accepted Answer

viel Spaß

Question 36

orthogonales Kompliment von einem UNterraum U von einem VR V

Accepted Answer

UT := { v aus V : < u, v> = 0} (das T steht auf dem KOpf)

Question 37

Skalarprodukt def

Accepted Answer

ist positiv definite, symmetrische Bilinearform bzw. sesquilinearform, falls in C pos definit: < v,v> >= 0 mit =0 genau dann wenn v = 0

Question 38

Kreuzprodukt

Accepted Answer

a x ---> bz-cy b y --> cx -az c z --> ay - bx

Question 39

Rechts - Linksadjungierte bzg. b def

Accepted Answer

Sei b eine nicht ausgeartete Bilinearform auf V x W Für eine Abb. f aus L(V, V) gibt es genau eine Abb. g aus L(W, W) mit b(f(v) , w) = b(v, g(w)) Dann nennen wir g die Rechtsadjungierte von f bzgl. b Für eine Abb. h aus L(W, W) gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion k aus L(V, V) mit b(v, h(w)) = b(k(v), w) Dann nennen wir k die Linksadjungierte von h bzgl. b

Question 40

Adjungierte def

Accepted Answer

Sei V ein endlich dim. eukl. VR mit dem Skalarprodukt <. , . > so gibt es zu jeder Abb f aus L(V, V) eine eindeutig bestimmte Abb. f ad aus L(V, V) für die < f(v), w) > = < v, fad(w) > und = < fad(v), w > Wir nennen f ad die Adgungierte von f bzgl. <. , . >

Question 41

Zusammenhang Orthonormalbasis und adjungierte

Accepted Answer

mit f aus L(V, V) gilt:[f ad] B, B = ([f] B B) H wobei im reellen H durch T ersetzt wird

Question 42

selbstadjungierte Abbildungen zusammenhang mit Orthonormalbasen

Accepted Answer

f aus L(V, V) heißt selbstadjungiert, falls f = f ad = < v, f ad (w) > falls B eine Orthonormalbasis ist, ist [f] BB eine symmetrische (in C hermitische) Matrix

Question 43

Kern(fad) = ? Kern(f) = ?

Accepted Answer

Bild(f) umgekehrtes T Bild(f ad) umgekehrtes T

Question 44

Kern(fad) = ? Kern(f) = ?

Accepted Answer

Bild(f) umgekehrtes T Bild(f ad) umgekehrtes T

Question 45

Eigenwert und Eigenvektor bei Funktionen

Accepted Answer

sei f aus L(V, V) mit v aus V/ 0 und mit f(v) = a * v mit f aus K

Question 46

geometrische Vielfachheit von f bzgl. a (Eigenwert)

Accepted Answer

dim(Kern(a * In - f))

Question 47

U ist ein f invarianter Unterraum von V, falls Bei gegebenen Eigenwert von f gebe einen f invarianten Unterraum an

Accepted Answer

U teilmenge V f(U) teilmenge U Vf(Eigenwert) = Kern(Eigenwert * In - f)

Question 48

Beschreibung a ist Eigenwert von f (alternativ zur definition)

Accepted Answer

a ist Eigenwert von [f] B B unabhängig von der Wahl der Basis

Question 49

charakteristisches Polynom funktion

Accepted Answer

det(a * In - [f] B B) Diese Definition ist sinnvoll, da die Matrixdarstellungen einer Funktion bezüglich verschiedener Basen zueinander ähnlich sind und ähnliche Matritzen das Gleiche Charakteristische Polynom haben.

Question 50

algebraische Vielfachheit

Accepted Answer

Sei f aus L(V, V) mit a Eigenwert von fWenn Char(f) = (t-a) d *g mit g(a) =/= 0 dann ist d die algebraische Vielfachheit von a Anders ausgefückt: Wenn das Charakteristische POlynom ganz in Linearfaktoren zerlegt ist (oder zumindest soweit möglich) dann ist die Pozenz von (t - a) die algebraische Vielfachheit Sie wird bezeichnet mit a(lambda, f)

LinAlg (Subject) / Lineare Algebra 1 und 2 (Lesson)