Mathematikdidaktik (Subject) / Einführung in die Fachdidaktik der Mathematik (Lesson)

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• Didaktische Grundsätze nach Comenius • Lernen durch Tun • Anschauung über sprachlicher Vermittlung • Muttersprache verwenden • Lehrender: Beispiel und Vorbild darstellen über sprachliche Belehrung • Strukturierung des Unterrichts • Alltagsbezug des Unterrichts
• Arbeitsdefinition von Mathematikdidaktik und ihr Spannungsfeld Die Mathematikdidaktik ist die, weitestgehend nach dem Kriterium der Nutzbarkeit für die Praxis ausgewählte, Theorie des Lehrens der Mathematik, unter Berücksichtigung der Mechanismen des Lernens. Sie Befindet sich in einem Spannungsfeld zwischen der strengen Organisiertheit des Stoffes und der verschiedenen Erkenntniswege von Lernenden.
• Didaktische Kluft = Lücke zwischen Gemeintem und Aufgefasstem --> Verfälschungen während des Vermittlungsprozesses
• Didaktisches Dilemma nach Hefendehl-Hebeker Weder die Wissensinhalte noch die Wissensbedeutung sind identisch mit der anschaulichen oder formalen Darstellung des Wissens. Die Vermittlung von Wissen ist jedoch an Darstellungsmittel und Kommunikationswege gebunden. Verstehen kann nicht einfach das Ergebnis einer Mitteilung sein.
• Grundfragen der Didaktischen Analyse nach Klafki 1. Gegenwartsbedeutung 2. Zukunftsbedeutung 3. exemplarische Bedeutung 4. thematische Strukturierung 5. Zugänglichkeit
• W-Fragen der Didaktik nach Jank & Meyer Die Didaktik klärt die Fragen: • wer?• was?• wann?• mit wem?• wie? (Methodik)• wo?• womit?• und wozu? lernen soll.
• Kriterien für fundamentale Ideen nach Schwill 1. Horizontalkriterium: Bedeutung in vielen Bereichen der Wissenschaft 2. Vertikalkriterium: auf jedem intelektuellen Niveau vermittelbar 3. Zeitkriterium: historische Entwicklung der Wissenschaft 4. Sinnkriterium: Bezug zur Alltags- und Lebenswelt 5. Zielkriterium: Nutzen für das Verständnis der Wissenschaft
• "Mathematische Kompetenzen" der KIMK-Bildungsstandards - mathematisch argumentieren - Probleme mathematisch lösen - mathematisch modellieren - mathematische Darstellung verwenden - mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen - Kommunizieren
• "Leitideen der inhaltsbezogenen Kompetenzen" der KIMK-Bildungsstandards - Zahl - Messen - Raum und Form - Funktionaler Zusammenhang - Daten und Zufall
• Triebfedern für das Mathematik-treiben nach Hefendehl-Hebeker 1. Die geistige Auseinandersetzung mit realen Situationen und Entwürfen führt zum Denken und Verstehen mit aufnehmender und einwirkender (poietischer  „Hineininterpretation“) Komponente, 2. Das Streben nach Vervollständigung katalysiert den Fortschritt dieser Gedanken. 3. Das Streben nach Ordnung und Hierarchisierung führt zur „axiomatischen Methode“
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• Mensch und Mathematik nach Winter Charakteristika des Menschen                               Charakteristika der Mathematik schöpferisches, erfinderisches Wesen                        schöpferische Wissenschaft nachdenkendes, Einsicht suchendes                          beweisende, deduzierende WissenschaftWesengestaltendes, wirtschaftliches, Technik                      anwendbare Wissenschaftnutzendes Wesensprechendes Wesen                                                 formale Wissenschaft
• Diskursebenen der Mathematik nach Schoenwaelder DE 1: Reale Ausgangssituation: konkrete Begriffe, konkret-inhaltliche Beschreibung und Argumentation DE 2: Propädeutische Ebene: abstrakte(re) Begriffe, rein inhaltliche Beschreibung und Argumentation DE 3: Ebene des lokalen Schließens: abstrakte(re) Begriffe, formale(re) Beschreibung und Argumentation nach (teilw. explizierten) logischen Regel DE 4: Axiomatische Ebene: abstrakte, oft implizite Begriffe, formale und streng logische, deduktive Argumentation DE 5: Syntaktische Ebene (quer): automatisierte Regelanwendung / rezeptartige Manipulation ohne Rückbezug zur Bedeutung
• Dimensionen Mathematischer Bildung nach Leuders 1. Vordergrundbildung 2. Hintergrundbildung 3. Expertenbildung 4. Personale Bildung
• Grunderfahrungen der Mathematik nach Winter • Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, ausNatur, Gesellschaft und Kultur in einer spezifischen Art wahrnehmen (Mathematikals Anwendung, besser Welterkenntnis) • Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen,Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welteigener Art kennen lernen und begreifen (Mathematik als Struktur) • In der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten, die über dieMathematik hinausgehen, erwerben (Mathematik als individuelle und kreative Tätigkeit)
• Auswahlprinzipien für Lehrenswertes nach Klafki • das Elementare: einfache und grundlegende Sachverhalte, die über sich hinausweisen • das Fundamentale: Grunderfahrungen und grundlegende Einsichten der Wahrnehmung der Welt • das Exemplarische: das Typische, der Einzelfall, der für eine große Auswahl eines Sachgebiets mit gleicher Struktur steht
• Funktionen der Anschauung nach Volkerts - Erkenntnisbegründende Funktion - Erkenntnisbegrenzende Funktion - Erkenntnisfördernde Funktion
• Zwei Kategorien von Veranschaulichungsformen • Homologe Veranschaulichungen: Lage und Größe math. Phänomene werden in bestimmtem Maßstab abgebildet. (Zahlenstahl / -ebene, Plots, Skizzen) • Analoge Veranschaulichungen: Formale, strukturelle Eigenschaften von math. Gegenständen werden gezeigt. (Fluss- / Baumdiagramme, Zahlenfelder wie das Pascalsche Dreieck, Feynman-Diagramme)
• Kognitiv aktivierende Paradoxien in Anschauungen • Ist eine Situation in einer Anschauung paradox, so kann man dies häufig durch die Strenge auflösen. • In einem zweiten Schritt kann die Anschauung bei genauer Betrachtung dann auch wieder helfen (Gouldin und die Länge der Spirale) • Beispiele: uneigentliche Integrale, Seil um Äquator, Wahrscheinlichkeitsrechnung (Satz von Bayes, Ziegenproblem, Geburtstagsproblem)
• Funktionen / Intentionen der Fachsprache der Mathematik • Reduzierung von Bedeutungsüberschuss: Exaktheit • maximale Verständlichkeit • Formalisierung der Sprache: mechanischer Umgang mit Information • Informationsverdichtung • rationale Ordnung und Strukturierung des math. Wissens --> Fachsprache ist die Sprache des Verstandenen (Wagenschein)
• Homonymer und Synonymer Wortgebrauch • Homonym: unterschiedliche Bedeutungen des gleichen Ausdrucks in unterschiedlichen Kontexten: Basis, Körper,... • Synonym: unterschiedliche Bezeichnungen für das gleiche Konzept: Abbildung = Funktion  Operator
• Arten des Begriffserwerbs • Exemplarische Begriffsbildung • Begriffsbildung durch Abstraktion • Begriffsbildung durch Spezifikation aus einem Oberbegriff
• Prinzipien des Problemlösenden Unterrichts nach Polya • Maximale Aktivierung: Man soll die Schüler so viel als irgend möglich selbst tun lassen. • Maximale Motivierung: Man muss die Schüler davon überzeugen, dass die Aufgabe ihren vollen Einsatz verdient. • Beachtung der Phasenfolge: Man muss den Schülern Zeit, Raum und Möglichkeiten für die Phasenfolge des Problemlösens geben.
• Phasen der Problemlösung nach Polya1 • Verstehen der Aufgabe (Gegebenes, Bedingungen, Skizze, Lösungsexistenz) • Ausdenken eines Plans: Schwierigkeit (Ähnliches bekannt, Teilprobleme, Umformulierung, Allgemeineres oder Spezielleres, alle Daten benutzt) • Ausführen eines Plans (Selbstkontrolle) • Rückschau (Nachkontrolle, verschiedene Wege, Plausibilität, Übertragbarkeit)
• Gründe für eine Anwendungsorientierung nach Henn • Utilitaristische Begründung: Mathematik als Hilfe für spezielle Anwendungen (konkreter Nutzen) • Methodologische Begründung: Mathematik als Hilfe für das Anwenden allgemein (allgemeine Mittel) • Lernpsychologische Begründung: Anwendung als Hilfe für die Mathematik (Einkleidung) • Wissenschaftstheoretische Begründung: Mathematik in Naturwissenschaftlicher Anwendung

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