Phänomenologisch
<--> mechanistisch Ein phänomenologisches Modell beschreibt die in der Natur beobachteten Phänomene, aber nicht, wie diese Phänomene entstehen. Beispiel: lineare Regression (Temperatur, Photosynethese)
Mechanistisches Modell
<--> phämentologisch Haben den Anspruch,neben den beobachteten Phänomenen auch die Mechanismen abzubilden, die zu ihrer Entstehung führen. Beispiel: ??
Zeitdiskret
<--> zeitkontinuierlich Zeit läuft in Schritten mit festgelegter Schrittlänge ab. Alle Schritte zwischen t und t+1 werden als gleichzeitig betrachtet. Beispiel: z.B. erstes Wasserspeichermodell
Zeitkontinuierlich
<--> zeitdiskret keine definierte Schrittlänge, Aussage über Zustand des Systems zu jeder beliebigen Zeit. Ergibt genauere Werte, Man kann erkennen das Funktion auf einen Grenzwert hinsteuert. Beispiel: Populationsdynamik
deterministisch
<--> stochastisch Modell ohne Zufall. Bei gegebenen Anfangsbedingungen und Parameterwerten liefert ein deterministisches Modell immer exakt die gleichen Ergebnisse. Können nur mittleren Systemzustand beschrieben Beispiel: deterministisches Chaos
stochastisch
<--> deterministisch Stochatisches Modell kann zu jedem Zeitpunkt einen von mehreren möglichen Zuständen annehmen. Beispiel: Bootstrapping, Demographische Stochastizität bei kleinen Populationen
Kompartimentmodell
<--> Agentenbasiertes Modell gleichartige Elemente niedrigerer Organisatiosstufen werden zu einem Kompartiment zusammen geschlossen. Beispiel: Populationsmodell, Räuber-Beute (Lothka-Volterra), Population als ein Ganzes
Agentenbasiert
<--> Komparimentmodell beschreibt die einzelnen Elemente einer Organisationsebene explizit, d.h. z.B Größe, Alter, Position im Raum. Entwicklung der Pop. ergibt sich aus der Entwicklung der Individuen Emergenz Beispiel: Altersklassen- und Stadienmodell, Schildkröten-Projekt
räumlich explizit, implizit, ohne Struktur
Ohne Struktur: Position von Idividuen wird ignoriert (Paritioiden-Wirt-Modell) implizit: einzelne Populationen auf verschiedenen Inseln werden getrennt betrachtet, da kein Austausch stattfinden kann. (bsp. Wasserspiechermodell) explizit: jedes Individuum auf jeder Inseln wird mit Position erfasst (Diffussion) diskrete und kontinuierliche Modellierung des Raumes möglich
Schaubild Prozess der Modellentwicklung und der -analyse
1. Beobachtung, Daten -> 2. Frage, Hypothese -> 3. Konzeptionelles Modell -> 4.Methematisches Modell -> 5.Numerisches Modell -> 6. Kalibrierung <-1. -> 7. Prognose -> 8. Evaluierung <-1. & 7. -> 9. Sensitivitätsanalyse
Zustandsvariablen
- Sind die Elemente des Systems, deren gegenseitige Beeinflussung das Modell darstellen - Meist Mengen (Stoff- oder Neergiemenge, Individuenzahl etc.) - beeinflussen sich gegenseitig durch Energie- und Stoffflüsse (richtige Einheit wichtig)
Quellen/Senken
- sind Kompartimente, des außerhalb der Systemgrenzen liegen und zur Umwelt des Systems gehören - Energie und Stoffe fließen von Quellen ins System oder vom System in Senken
Randbedingungen (Def.)
- driving variables - Variablen, die den Systemzustand beeinflussen, aber selbst unabhängig vom System sind - z.B. Niederschlag, Temperatur, Lichtverhältnisse
Parameter, Konstante
- Zahlen, die bestimmen mit welcher Geschwidigkeit (Rate) die Energie- und Stoffflüsse zwischen den Zustandsvariablen stattfinden
Plausibilitätsprüfung
- Konsistenz der Einheiten von Variablen und Parametern - Bei physikalischen und chemischen Prozessen: Erhaltung von Masse, Energie und Impuls
Kalibrierung
- Prognosen verschiedener Paramterwerte werden mit einem Trainingsdatensatz verglichen und dann werden die Parameterwerte gewählt, bei denen der Unterschied zwischen Modellprognose und Daten am geringsten ist - Methode der Kalibrierung - "Bias": sind die vorhergesagten Werte generell höher oder niedriger als die Daten? - "Residual variance": Wie groß ist der Abstand zwischen Daten und Vorhersage? - Parameterwerte finden, für die der Wert der Zielfunktionminimal ist
Modellunsicherheiten
- Unsicherheiten über die Modellannahme (Hypothese) und die mathematische Formulierung des Models -> mehr Daten über das System sammeln, mhr alternative Modelle testen - Unsicherheiten über die wahren Paramterwerte, z.B. verursacht durch Messungernauigkeiten -> genauere Messungen, Untersuchen wie empfindlich der Modelloutput auf veränderte Paramterwerte reagiert. - (Scheinbar) zuällige Schwakungen des Systems
Sensitivitätsanalyse
- wie empfindliche reagiert der Modelloutput auf veränderte Paramterwerte - sagt aus, wie sehr man Modellprognoes trauen kann, wenn wahre Werte nicht mit Sicherheit bestimmt werden können - sprunghafte Änderungen im Modellverhalten -> Fehler in Formulierung/Analyse - Ziel: Rangliste der Paramter nach der Sensitvität des Modeloutputs zu erstellen, oder den Schwankungsbereich abzuschätzen in dem sich der Output bei einer bestimmten Variation der Parameter bewegt. lokale/univariate S.: ein Parameter wird variiert (Interaktionseffekte bleiben unerkannt) globale/mulitvariate S.:mehrere Parameter werden gleichzeitig variiert (sher zeit- und rechenaufwändig)
Latin Hypercube Sampling
Methode um die Zahlen der zu testenden Parameterkombinationen bei der multivariaten Sensitivitätsanalyse zu reduzieren. Der Wertebereich jedes Parameters wird in mehrere gleichgroße Intervalle eingeteilt. Aus den Intervallen der verschiedenen Parameter werden anschließend Kombinationen gebildet, sodass jedes Intervall jedes Parameters insgesamt genau einmal vorkommt. Die genauen Werte innerhalb der Intervalle werden zufällig gezogen.
Sensitvitätsindex
Wenn das Ziel der Sensitivitätsanalyse ist, eine Rangliste der Parameter nach der Sensitivität des Outputs zu erstellen, besteht das Problem, dass die Parameter unterschiedliche Einheitenbesitzen.Die einfachste Lösung ist, die Werte zu standardisieren, sodass die Einheiten keine Rolle mehr spielen. Das erreicht man mit dem Sensitivitätsindex S. Oa-Or /Or S=---------- Pa-Pr /Pr
Kalibrierung
- Optimierungs der Parameterwerte durch Minimierung der Zielfunktion - Modell wird mit einem Teil der vorhandenen Daten kalibriert, damit Modell und Daten besser übereinstimmen - Vergleicht die Modellprognose mit einem Trainungsdatensatz - früherer/späterer Abschnitt der Zeitreihe: Pseudovergangenheit /-zukunft
Evaluierung
Vergleich der Modellprgnose mit optimierten Parameterwerten (durch Kalibrierung gefunden) mit einem neuen Datensatz.
Sensitivitätsanalyse
- Validierung: Wie sehr kann man der Modellvorhersage trauen? - Richtlinien für experimentelles Design: Welche Parameterwerte sollten besonders präzise bestimmt werden? - Management: Welche Parameter muss man verändern, um eine einen möglichst großen effekt zu erzielen? - rein theoretisches Systemverständnis Typen: univariat/multivariat Ziel der Analyse: Parameterranking, Schwankungsbereich des Outputs nutzen univariat: zeitsparend aber Interaktionseffekte bleiben unerkannt multivariat: zeitaufwändig
Formel für kontinuierliches exponentielles Wachstum
N(t)=N(0)*e^rt N(0) Startwert r spezifische Zuwachsrate t Zeit
Bootstrapping
Annahme, dass die bisher beobachteten Nettoreproduktionsraten eine repräsentative Stichprobe aus der Gesamtverteilung darstellen. Zukünftige Populationsdynamik wird simuliert, indem für jedes Jahr zufällig ein Wert aus den beobachteten Nettoreproduktionsraten gezogen wird. Dabei kann der selbe Wert mehrfach gezogen werden.
Unterschied exponentielles und logistisches Wachstum
exp. Wachstumsmodell beruht auf der Annahme, dass die Wachstumsrate unabhängig von der Populationsdichte ist. In der Realität wird das Wachstum aber durch die begrenzte Verfügabarkeit von Ressouren gebremst. mit stiegender Population kommt es zu Veringerten Geburten und oder erhöhter Mortalität --> negative Dichtabhängigkeit des Wachstums
Formel für zeitdiskretes logistisches Wachstum
(Delta)N=Nt*rdmax-((Nt^2)/K)*rdmax (Delta)N Popdichte K Habitatkapazität rd relative Änderung der Popdichte in einem Zeitschritt Nt Populationsdichte
Unterschied exponentielles und logistisches Wachstum
exp. Wachstumsmodell beruht auf der Annahme, dass die Wachstumsrate unabhängig von der Populationsdichte ist. In der Realität wird das Wachstum aber durch die begrenzte Verfügabarkeit von Ressouren gebremst. mit stiegender Population kommt es zu Veringerten Geburten und oder erhöhter Mortalität --> negative Dichtabhängigkeit des Wachstums
kontinuierliches logistisches Wachstum
K N(t)= _______________ 1+( (K-N(0))/N(0))*e^-r*t
deterministisches Chaos
tritt bei zeitdiskretem logistischen Wachstum auf bei Werten über rd>2,57 Populationsdichte oszilliert um den Wert K, je höher der Wert von rd wird, desto stärker werden die Schwigungen, bis es ab 2,57 scheinbar völlig zufällige Oszillationen gibt. (ist aber deterministisch) extrem hohe Sensitivität gegenüber Anfangswerten bei selben Anfangswerten sind Ergebnisse immer gleich, bei minmaler Veränderung entwickelt sich zeitreihen aber auseinander ohne Ähnlichkeiten zueinander Beschränktheit der Fluktuation:system fluktuiert zwar zwischen unendlich vielen Punkten, überschreitet aber niemals bestimmte obere und untere Grenzen Bisfurkationsdiagramm: Aufspaltungen der Popwerte mit stiegendem rd; ist fraktal, d.h vergrößert man einen kleinen Teil, sieh dieser aus wie das große Ganze
Altersklassen- und Stadienmodelle
- Alter oder Geschlecht beeinflussen die individuelle Reproduktions- und Sterbewahrscheinlichkeit - Demographie: Erforschung der Struktur von Populationen - Altersklassenmodell: Nur wenn genaues Alter bekannt ist. - Stadienmodell: leichter zu erfassen, selbe Fertilität und Mortalität in einem Stadium (Ei, Raupe, Puppe, Imago) i: Stadium Gi: Wahrsch. ins Stadium Gi+1 überzugehen Pi: Wharsch. im Stadium i zu bleiben F: Fertilität des letzen Stadiums Nf->N1
Drei verschiedene Arten von Gleichgewichten
Stabiles GG: System kehrt nach einer kleinen Störung wieder ins GG zurück Instabiles GG: Es kehrt nicht zurück Oszialltion: entfernt sich nicht weiter, kehrt aber auch nicht zurück
Lotka-Volterra-Modell
- die Ressource, um die konkurriert wird, nicht explizit modeliert - dN1/dt= r1*N1*(1-(N1*alfa12*n2)/K1) alfa12: Konkurrenzkoeffizient (alfa12=0, wenn Individuum von Art2 das Popwachstum von Art 1 genauso hämmt, wie ein weiteres Individuum von Art1; alfa12>1 Art 2 schadet A1 mehr als eigenes I.)
Lotka-Volterra: Formel für Räuber-Beute-Modelle
- Beute: dB/dt=r*B-a*B*R - Räuber: dR/dt= -m*R+b*a*B*R B Beute R Räuber a Angriffsrate Räuber m Mortalitätsrate der Räuber aBR gefressene Beutetiere b Nachkommen des Räubert wann ist Pop=0? R=r/a B=m/ba
