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Umweltsystemmodellierung (Subject) / Termin 6 Hausaufgaben (Lesson)
- 1. Allgemeine Form des logistischen Wachstums Die beiden Modelle für logistisches Wachstum, die Sie bisher kennengelernt haben, basieren auf der Annahme, dass die spezifische Zuwachsrate r einer Population linear mit der Populationsdichte N abnimmt. Das muss aber nicht so sein. Es könnte zum Beispiel sein, dass es einigen wenigen Individuen gelingt, einen großen Teil der verfügbaren Ressourcen zu monopolisieren. Dann würde die spezifische Zuwachsrate schon bei niedriger Populationsdichte schneller abfallen als durch das lineare Modell vorhergesagt. Andererseits könnte bei Tieren, die Territorien einer festen Größe besetzen, die spezifische Zuwachsrate lange Zeit hoch bleiben, und erst ab einer kritischen Dichte (wenn alle Territorien besetzt sind) steil abfallen. Eine Erweiterung des linearen Wachstumsmodells, die solche Kurvenverläufe abbilden kann, ist das θ-logistische Modell (griechischer Buchstabe „theta“). Für kontinuierliches Wachstum lautet die Differenzialgleichung des θ-logistischen Modells dN/dt =r*N*(1−(N/K)^θ) mit θ > 0. Stellen Sie für die drei Werte θ=0.5, θ=1, und θ=2 jeweils in einer gemeinsamen Grafik a) die spezifische Zuwachsrate r(1-(N/K)θ) als Funktion von N b) den Populationszuwachs dN/dt als Funktion von N c) die Populationsdichte N als Funktion der Zeit t grafisch dar. Benutzen Sie für die Grafiken die Werte r=0.2 und K=1000, und als Anfangswert für die Zeitreihe in c) N0=100. Hinweis: Für die Grafik c) müssen Sie die Differenzialgleichung als R-Funktion schreiben und mit dem Befehl ode() aus dem Paket deSolve lösen (siehe Beispiel aus der Vorlesung). Das R-Paket müssen Sie gegebenenfalls zuerst installieren und dann mit dem Befehl library(deSolve) einbinden. setwd("/home/gita/Dokumente/Lehre/USM_2014/Einzeltermine/Termin6_Logistisches_Wachstum/Aufgaben/") # Aufgabe 1 ---------------------------------------------------------------# Allgemeine Form des logistischen Wachstums # a) Spezifische Zuwachsrate als Funktion der Populationsdichte:r <- 0.2K <- 1000curve(r*(1-(x/K)^2), xlim=c(0, 1.2*K), xlab="N", ylab="r(N)")curve(r*(1-(x/K)^1), add=T, lty=2)curve(r*(1-(x/K)^0.5), add=T, lty=3)abline(h=0)legend("bottomleft", legend=c(expression(theta == 2), expression(theta == 1), expression(theta == 0.5)), lty=1:3)# Bei theta = 1 nimmt die spezifische Zuwachsrate linear mit der Populationsdichte ab.# Bei theta < 1 hat die Kurve einen konkaven Verlauf, die Wachstumsrate nimmt also schneller # ab als durch das lineare Modell vorhergesagt. Bei theta > 1 ist die Kurve konvex, die # Abnahme des Wachstums ist zunächst langsamer als im linearen Modell. # b) Populations-Zuwachs als Funktion der Populationsdichte:curve(r*x*(1-(x/K)^2), xlim=c(0, 1.2*K), xlab="N", ylab="dN / dt")curve(r*x*(1-(x/K)^1), add=T, lty=2)curve(r*x*(1-(x/K)^0.5), add=T, lty=3)abline(h=0)legend("bottomleft", legend=c(expression(theta == 2), expression(theta == 1), expression(theta == 0.5)), lty=1:3)# Mit zunehmendem theta erhöht sich das Maximum des Populations-Zuwachses. # Gleichzeitig verschiebt sich das Maximum hin zu höheren Populationsdichten. # c) Populationsdichte als Funktion der Zeit: # Funktion zur Berechnung von dN/dt in der Form, die der Befehl "ode" verlangt:logtheta <- function(t, y, parms){N <- ydN_dt <- parms$r*N*(1-(N/parms$K)^parms$theta)return(list(dN_dt))} # Anwenden der Funktion:library(deSolve) output1 <- ode(y=100, times=1:100, func=logtheta, parms=list(r=0.2, K=1000, theta=2)) # Aufrufen der Funktion "ode" zum Lösen von gewöhnlichen Differenzialgleichungenplot(output1[,1], output1[,2], type="l", xlab="t", ylab="N(t)")output2 <- ode(y=100, times=1:100, func=logtheta, parms=list(r=0.2, K=1000, theta=1))lines(output2[,1], output2[,2], lty=2)output3 <- ode(y=100, times=1:100, func=logtheta, parms=list(r=0.2, K=1000, theta=0.5))lines(output3[,1], output3[,2], lty=3)legend("bottomright", legend=c(expression(theta == 2), expression(theta == 1), expression(theta == 0.5)), lty=1:3)# Je gröÃer theta, umso schneller erreicht die Population ihre Habitatkapazität.