Statistik 2 (Subject) / Inferenzstatistik für nominale Daten (Lesson)

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• Bivariate Zusammenhänge in der nominalen Inferenzstatistik sind beide Variablen abhängig, andernfalls unabhängig. • sind die beiden relativen Anteile im Merkmal Y in den beiden durch X definierten Gruppen p1 = h11 / h1o und p2 = h21 / h2o unterschiedlich (bzw. umgekehrt). • weichen die bei Unabhängigkeit zu erwartenden Häufigkeiten eij = hio·hoj/n von den beobachteten Häufigkeiten hij ab, aufsummiert in der Chi2‐Statistik:• ist der die Enge des Zusammenhangs (bei natürlich dichotomen Variablen) quantifizie‐rende Phi‐Koeffizient ungleich 0.
• Vierfelder Chi^2-Test Einsatzbereich: Prüfung der Hypothese, dass sich in zwei unabhängigen Stichproben die relativen Auftretenshäufigkeiten (Anteile, Auftretenswahrscheinlichkeiten) eines Merkmals  p1 = h11 / h1 und p2 = h21 / h2 unterscheiden. Dies entspricht der Prüfung auf Unabhängigkeit der beiden Variablen X & Y.  Hypothesen: zweiseitig: H0: pi1 = pi2 und H1: pi1 ≠ pi2 (pi = Parameter für Anteile p1 und p2) oder entsprechend einseitig. (Alternativ kann man zweiseitig auch formulieren: H0: pi(ij) = pi(i)·pi(j) für alle i, j (mit den pi(i) und pi(j) als Populations‐Randwahrscheinlichkeiten).) Voraussetzungen: Unabhängige Gruppen, erwartete Häufigkeiten in allen Zellen nicht „zu klein“ (eij > 5) sind oder nicht mehr als 20% der erwarteten Häufigkeiten zwischen 1 and 5 liegen sollten und keine davon kleiner als 1 sein sollte.                                                               —> bei n < 8 wird Power immer kleiner, jedoch alpha Fehler kontrolliert Vorgehen: Unter der Bedingung, dass alle erwarteten Häufigkeiten in den Zellen nicht zu  klein ist, folgt die Prüfgröße:—> bei Gültigkeit der H0 einer Chi-Verteilungen mit df=1  Entscheidung: Zurückweisung der H0 falls Chi > Chi(crit) mit Chi(crit) = Chi(1,1-a) bei zweiseitiger Prüfung und Chi(crit) = Chi(1,1-2a) bei einseitiger Prüfung. Kann auch bei der inferenzstatistischen Prüfung der Abweichung der Phi-Korrelation von 0 verwendet werden
• Signifikanzniveau Chi-Test für nominale Daten Durch die Quadrierung der Abweichungen in der Prüfgröße vergrößern Abweichungen in beide Richtungen (p1 > p2 und p1 < p2) den Chi‐Wert. Bei zweiseitiger Prüfung wird der kritische Wert entsprechend so festgelegt, dass er den Anteil 1-a der Verteilung abschneidet. Bei einseitiger Prüfung wird der kritische Wert entsprechend so festgelegt, dass er den Anteil 1-2·a der Verteilung abschneidet, wobei immer dann, wenn die Richtung von p1 - p2 hypothesenkonträr ist, die H0 sowieso beibehalten wird.
• Alternative zum Chi Test, bei kleinem n Fisher exakter Test alle möglichen Kontingenztafeln, die unter den gegebenen Randverteilungen möglich sind und die so stark wie die empirisch gegebene Verteilung oder stärker von der unter der H0 resultierenden Verteilung abweichen, deren Wahrscheinlichkeiten kumuliert und geprüft, ob das Resultat kleiner als a ist, was zur Zurückweisung der H0 führen würde.
• Alternative 2 Stetigkeitskorrektur Im Zähler die Differenz der Häufgkeiten jeweils noch der Wert 0.5 subtrahiert wird —> konservative Entscheidung (nicht empfohlen)
• Zweidimensionale kxm Kontingenztafeln Prüfung ob sich mind. k Gruppen hinsichtlich ihrer Anteile von den übrigen Gruppen unterscheidet bzw. Ob beide Gruppen unabhängig sind, mit Chi-Prüfgröße und df = (k-1) *(m-1) Wird die Nullhypothese gleicher Anteile (Unabhängigkeit) in allen Gruppen zurückgewiesen, so weiß man noch nicht zwischen welchen Gruppen Unterschiede in welchen Anteilen bestehen  —> Im Anschluss muss somit ein Omnibustest ggf. Mit Anschlusstests untersucht werden
• Simpsons Paradox Der Befund, dass ein Zusammenhang verschwindet oder sich sogar ins Gegenteil verkehrt, wenn man ihn für Subgruppen aufschlüsselt

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