Entscheidungstheorie (Subject) / Kapitel IX: Die Simulation der Verteilung einer Zielvariablen (Lesson)
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Die Simulation der Verteilung einer Zielvariablen
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- Simulation Allgemeines Verfahren zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen beruht darauf, Zufallsstichproben zu ziehen berücksichtigt bei Bedarf auch mehrere unsichere Einflussgrößen Prinzip: Zerlegung in zufällige Einflussgrößen und funktionale Aggregation! Beispiel: diskrete Ereignisvariable Vorgehensweise: zunächst rechnerische Ermittlung der exakten Verteilung anschließend Approximation dieser Verteilung durch Simulation
- Prinzip bei der Simulation beliebiger Verteilungen (von Klausur ausgeschlossen) gegeben: Zufallsgröße X, Verteilungsfunktion PX gegeben: Z sei gleichverteilt in [0,1] betrachte die Zufallsgröße PX-1(Z) für die Verteilungsfunktion von PX-1(Z) gilt: P(PX-1(Z) ≤ α) = P(Z ≤ PX(α)) = PX(α) Ergebnis: Wenn Z gleichverteilt auf dem Intervall [0,1] ist, dann haben die Zufallsvariable PX-1(Z) und X die gleiche Verteilung
- Nutzung von Zufallsgeneratoren Allgemeines Vorgehen anstelle der „Urnen“ Nutzung Nutzung eines EDV-gestützten Zufallsgenerators erzeugt gleichverteilte Zufallszahlen im Intervall [0, 1] diese lassen sich einfach in Verteilungen beliebiger Art transformieren Vorgehensweise: vom Zufallsgenerator erzeugte Zufallszahl z wird in die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion eingesetzt, d.h. x = P-1(z) x ist dabei die simulierte Ausprägung der Zielvariablen nach n Wiederholungen nimmt man relative Häufigkeiten als Approximation für Wahrscheinlichkeiten Beispiel: kontinuierliche Ereignisvariable
- Nutzung von Zufallsgeneratoren - kontinuierliche Ereignisvariable Automobilhersteller überlegt, ob bis zum Modellwechsel in 18 Monaten noch ein sog. „Facelift“ durchgeführt werden soll unsichere Einflussfaktoren Investitionen I [30 Mio. €, 36 Mio. €] Steigerung k der variablen Kosten [3%, 7,5%] Nachfrage M [2.000 Stück, 10.000 Stück] Wirkungsmodell: Zielvariable: Gewinn G G = [40.000 -25.000 * (1+k)] * M - I auf Diskontierung wird wegen des kurzen Planungszeitraums (18 Monate) verzichtet Wahrscheinlichkeiten sind von Experten geschätzt worden Simulation soll EDV-gestützt mittels eines Zufallsgenerators erfolgen mit jedem Lauf erhält man einen Wert für M (Absatzmenge), k (Kostensteigerung) und I (Investitionen) daraus wird der Gewinn G berechnet nach z.B. 500 Wiederholungen werden die simulierten Gewinne aufsteigend sortiert relative Häufigkeit jedes Gewinns wird als Approximation der Wahrscheinlichkeit für diesen Gewinn genommen daraus lässt sich simulierte Verteilungsfunktion P bzw. simuliertes Risikoprofil 1-P für den Gewinn ermitteln
- Simulation - diskrete Ereignisvariable (Vorbereitung) Student möchte seine Diplomarbeit selbst auflegen - Ziel: Hohen Gewinn machen - Gewinn ist unsicher - fixe Kosten: 4.200€ pro Monat - Absatzmenge: unsicher [1.000 Stück, 1.500 Stück] - Deckungsbeitrag: unsicher [3€, 5€] Verteilungen für Absatzmenge und Deckungsbeitrag wenn Absatzmenge und Deckungsbeitrag stochastisch unabhängig sind - Berechnung der Wahrscheinlichkeit jedes Gewinns durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten - Gewinn = Absatz * Deckungsbeitrag - fixe Kosten rechnerische Ermittlung der Verteilung des Gewinns - man erkennt: 8 Gewinnausprägungen sind möglich - Wahrscheinlichkeiten pi - durch Sortierung in aufsteigender Reihenfolge und Addition der Wahrscheinlichkeiten erhält man: kumulierte Wahrscheinlichkeit (Verteilungsfunktion) Pi gibt für jeden Gewinn an, mit welcher Wahrscheinlichkeit er unterschritten oder erreicht wird ebenfalls interessant: Komplement 1-Pi: - sog. Risikoprofil - gibt für jeden Gewinn an, mit welcher Wahrscheinlichkeit er überschritten wird
- Simulation - diskrete Ereignisvariable (Simulation) dabei wird zunächst „zufällig“ eine Zahl aus der Verteilung der Absatzmengen gezogen - z.B. Urne mit 25 Bällen mit der Aufschrift „1000“, 65 Bällen mit „1200“ und 10 Bällen mit „1500“ - wichtig: Ball muss wieder zurückgelegt werden dann wird „zufällig“ eine Zahl aus der Verteilung der Deckungsbeiträge gezogen aus den gezogenen Werten resultiert ein Gewinn, der notiert wird man wiederholt diese Vorgehensweise n mal man ordnet die gezogenen Gewinne in aufsteigender Reihenfolge und ermittelt die relative Häufigkeiten fi durch Kumulation erhält man die kumulierten Häufigkeiten Fi und die komplementäre Funktion 1-Fi die relativen Häufigkeiten fi nimmt man als Approximation für die Wahrscheinlichkeiten pi analog: Fi für Pi und 1-Fi für 1-Pi die Approximation ist umso besser, je größer n ist anschließend simuliertes und theoretisches Risikoprofil des Gewinns