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Multivariate (Subject) / Einführung und Normalverteilung (Lesson)
Einführung und Normalverteilung
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- Einführung Zusammenfassung univariate Statistik •Deskriptive Statistik Merkmale, Messung von Merkmalen, Skalentypen Beschreibung von Daten: Häufigkeitsverteilungen, Kennwerte der Verteilungen Zusammenhänge von Daten: Korrelationen, einfache Regression •Wahrscheinlichkeitstheorie Ereignisse, Wahrscheinlichkeitsbegriff, Verteilungen Zufallsvariablen, Kennwerte, bedingte Wahrscheinlichkeit •Inferenzstatistik Stichprobe und Population: Parameterschätzung, Konfidenzintervalle Signifikanztest: Statistische Hypothesen, Hypothesentests Testverfahren: Regression, Varianzanalyse Anwendung: Effektstärke, Determinationskoeffizient, Teststärke, Kausalität
- Einführung Univariate vs. Multivariate Statistik •Univariate vs. Multivariate Statistik •Ermitteln von statistischen Zusammenhängen zwischen ein Prädiktor, eine abhängige Variable (univariate Statistik) mehrere Prädiktoren, eine abhängige Variable (multivariate Statistik im weiteren Sinne) ein oder mehrere Prädiktoren, mehrere abhängige Variablen (multivariate Statistik im engeren Sinne)
- Einführung Klassifizierung multivariater Verfahren •nach inhaltliche Fragestellungen Stärke des Zusammenhangs zwischen Merkmalen bzw. Ereignissen Unterschiede zwischen Gruppen Vorhersage der Gruppenzugehörigkeit Datenstruktur Zeitlicher Verlauf von Merkmalen •nach Anzahl der Variablen ein vs. mehrere abhängige Variablen ein vs. mehrere unabhängige Variablen (Prädiktoren) •Skalenniveau der abhängigen Variablen der unabhängigen Variablen (Prädiktoren)
- Einführung Klassifizierung multivariater Verfahren 1 Fragestellung: 2 abhängige Variable 3 unabhängige Variable 4 Testverfahren 1. Stärke des Zusammenhangs 2. eine (kont) 3 eine (kont) 4Einfache Regression 2. mehrere (kont) 3mehrere (kont) 4 multiple Regression 2 mehrere (kont) 3 mehrere (kont) 4 Kanonische Korrelation 1. Gruppenuntersch. 2 eine (kont) 3 eine (diskret) 4 ANOVA (einfaktoriell) 3 mehrere (diskret) 4 ANOVA (mehrfaktoriell) + Kovariate = ANCOVA 3 eine (diskret) 4 MANOVA (einfaktoriell) 2 mehrere (kont) 3 mehrere (diskret) 4 MANOVA (mehrfaktoriell) + Kovariavte = Mancova 2 mehrere (zus-hörig) 3 eine/mehrere (diskret) 4 MANOVA Messwiederholung 1 Gruppenzughörigkeit 2 eine diskret 3 mehrere kont 4 Diskriminanzanalyse 2 eine diskret 3 mehrere (kont/diskret) 4 LOg Reg 1 Datenstruktur 2 mehrere kont 3 mehrere latent 4 Explor FA 2 mehrere kont/latent 3 mehrere kont/latent 4 KonfirmatFA /SEM
- Einführung Grundmuster zu den einzelnen Verfahren Statisische Verfahren 1. Anwednungsbereich: inhaltl Fragestellung, INputgrößen, Gewünschte Information 2. Testlogik: Formeln zur Modellschätzung, Prüfgrößen, Unterarten des Verfahrens, Nachfolgende Analysen 3. Durchführung: Technische Spezifikationen, SPSS Beispiele, Datenbeispiele 4. Interpretation der Ergebnisse 5. Voraussetzungen/Einschränkungen: Annahmen des Verfahrens, Robustheit der Verletzungen, Grenzen des Verfahrens
- Grundlagen Normalverteilung Annahme: •Normalverteilung der Residuen (bzw. der Messwerte) Multivariate Normalverteilung ist Grundlage für fast alle Verfahren Konsequenzen von nicht normalverteilten Daten: Verteilungsannahmen der Kennwerteverteilungen/Prüfgrößen fehlerhaft → Über- und Unterschätzung des tatsächlichen Alpha-Fehlerniveaus
- Normalverteilung Überprüfung der Normalverteilung •univariate Normalverteilung notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für multivariate Normalverteilung Rechnerische Überprüfung: Kurtosis/Schiefe; Kolmogoroff-Smirnov-Test ; Shapiro-Wilk Test, X²-Test → Nullhypothese: Normalverteilung ! Graphische Überprüfung: P-P Plot •multivariate Normalverteilung kaum direkt prüfbar (nur indirekt über univariate Normalverteilung)
- Normalverteilung Überprüfung: Kurtosis/Schiefe •Normalverteilte Daten: Kurtosis/Schiefe = 0 •1. Schritt: Berechnung z-Werte für Kurtosis u. Schiefe 𝑧𝑆=𝑆−0𝑆𝐸𝑆 und 𝑧𝐾=𝐾−0𝑆𝐸𝐾 •2. Schritt: z-Werte Tabelle (Bortz); 5%-Niveau z = 1,96; 1%-Niveau z = 2,33
- Normalverteilung Überprüfung: P-P-Plot •Veranschaulichung normaler/trendbereinigter P-P-Pot bei Normalverteilung
- Normalverteilung Überprüfung: Shapiro-Wilk-Test & Kolmogoroff-Smirnov-Test •KS-Test: Da p = 0,200 größer p = 0,050 kann die H0 nicht abgelehnt werden. Die Fragebogendaten des FPQ-III sind normalverteilt. •SW-Test: Da p = 0,335 größer p = 0,050 kann die H0 nicht abgelehnt werden. Die Fragebogendaten des FPQ-III sind normalverteilt.
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- Normalverteilung Überprüfung: X²-Test auf Normalverteilung Der X²-Test kann eingesetzt werden, um Verteilungsannahmen zu überprüfen. •H0: Beobachtungen entstammen einer Normalverteilung. •H1: Beobachtungen entstammen nicht einer Normalverteilung. •D.h. wir nehmen μ und σ als bekannt an. Um beobachtete Häufigkeiten zu erhalten, wird die Skala in Kategorien eingeteilt und dann für jede Kategorie die Häufigkeit bestimmt, mit der die Werte des untersuchten Merkmals in diese Kategorie fallen. • Prüfgröße: Chi^2 = Beobachtet-Erwartet / Erwartet zum Quadrat • Tabellen: Tabelle A*: z-Tabelle (Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung) Tabelle B*: Verteilungsfunktion der X²-Verteilung 1.Z-Werte für die obere und untere Grenze berechnen Formel? z = (x-M)/SD 2.Flächenanteile bestimmen (Tabelle A) z.B. z = -1,71 = Fläche (1-0,9564) = 0,0436 3.Erwartete Häufigkeiten (m) berechnen (Beobachtete Häufigkeiten (wie viele Personen sind in der jeweiligen Kategorien?) ) 4.Prüfgröße berechnen (inkl. df; k-3) 5.Abgleichen mit kritischem Wert Ergebnis: Da X. = 2,72 kleiner als X.5;95% = 11,07 kann die H0 nicht verworfen werden. Die Reaktionszeiten sind normalverteilt. df = (5-3) = 2 Ergebnis: Da X. = 5,9906 kleiner als X.2;95% = 5,9915 kann die H0 nicht verworfen werden. Das Alter ist normalverteilt.
- Normalverteilung Relevanz der Normalverteilungsannahme •kleine Stichproben häufige Verletzung der Normalverteilungsannahme (Schiefe und Kurtosis) Datentransformation ansonsten nicht-parametrische Testverfahren •große Stichproben größere Robustheit der Kennwerteverteilung / Prüfgrößen gegen Verletzung der Normalverteilungsannahme (zentraler Grenzwertsatz) Robustheit spezifisch für einzelne Testverfahren
- Klausurfrage: Welche Kriterien gibt es um eine Normalverteilung anzunehmen oder zu verwerfen. Erläutern Sie die Schritte bei der Überprüfung der Normalverteilung mit einem Chiquadrat Test am Beispiel Alter: -> Aufteilung Alter in Kategorien (Abschnitte im Alter bestimmen) -> Z-Werte für Grenzwerte berechnen (Wort Grenzwert wichtig) -> Flächeninhalt bestimmen -> beobachtete Werte -> erwartete Werte ermitteln -> Chi-Quadrat ermitteln -> kritischen mit empirischen Chi Quadrat bewerten
- Klausurfrage 2: Es gibt unterschiedliche Verfahren um Annahme einer univariaten Normalverteilung zu überorüfen a.) Mit welchem rechnerischen Verfahren können Sie diese Annahmen prüfen? b.) Formulieren Sie jeweils das passende Hypothesenpaar für jedes der beiden Verfahren c.) in welchem Bereich des p-Wertes würden Sie eine Normalverteilung der Daten annehmen? a.) Chi-Quaadrat, Kolmogorov, shapiro-Wilk b.) Chi Quadrat die beobachteten Werte entstammen einer Normalverteilung -> Kolmogorov = H0 -> normalverteilt, H1 nicht = H1 entspricht nicht der Normalverteilun c.) krit Wert soll größer sein als empirischer Wert bei Chi Quadrat p > 0,05 signifikant also normalverteilt