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Multivariate (Subject) / MANOVA 5 (Lesson)

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• Einführung in die multivariate Varianzanalyse Beispielfragestellungen für MANOVA •Beispiel: Wirksamkeit von Therapien (einfaktorielle MANOVA)Einfluss verschiedener Interventionen auf Ängstlichkeit klinischer AngstpatientenAngst = kognitive (FB Angstgedanken), behaviorale (Startle Reflex) und emotionale Aspekte (SSR Arousal)•Beispiel: Einfluss des sozioökonomischen Hintergrunds auf Spracherwerb (mehrfaktorielle MANOVA)Faktoren: SES Index Vater / SES Index Mutterverbale Ausdrucksfähigkeit des Kindes (Spracherwerb) = Satzlängen, Vielfalt der Wortwahl, Komplexität der Satzkonstruktionen
• Einführung in die multivariate Varianzanalyse Uni- vs. multivariate Varianzanalyse Alternative Vorgehensweisen zur Analyse multivariater Fragestellungenmehrere ANOVAs•Einzelanalyse aller AVs auf Unterschiede der Gruppenmittelwerte•Nullhypothese(n):•Vorteile:Interpretierbarkeit,einfache Durchführung•Nachteile:kumulierter Alpha-Fehler,keine Betrachtung der Effekte auf Konstruktbei theoretischer Überlappung d. AVs → Überidentifizierung von Effekten mü11= mü21=mü31 MÜ12=MÜ22=Mü32 MANOVA•simultane Analyse aller abhängigen Variablen auf Gruppenunterschiede•Nullhypothese: 𝜇11𝜇12𝜇13=𝜇21𝜇22𝜇23=𝜇31𝜇32𝜇33•Vorteile:gleichzeitiger Vergleich aller AVs; Effekte der Faktoren auf "System von Variablen"kein kumulierter Alpha-FehlerBerücksichtigung der Zusammenhänge zwischen abhängigen Variablen•Nachteile:schwierige Durchführung und InterpretationNotwendigkeit von Folgetests MÜs in Klammern
• Fragestellungen der MANOVA •Multiple univariate Fragestellung:Set von einzelnen AVs, die kein gemeinsames Konstrukt bildenZiel: Kontrolle des Alpha- Fehlers•Strukturierte univariate Fragestellung:mehrere AVs mit spezifischer StrukturZiel: Berücksichtigung der Abhängigkeit der Messungen•Intrinsische multivariate Fragestellung:Set von zusammenhängenden AVsmehrere Facetten, die dasselbe Konstrukt abbildenZiel: Gruppenunterschiede auf Konstruktvariable
• MANOVA - Hypothesentestung Nullhypothese Alternativhypothese Alternativhypothese•Unterschied der Mittelwertsvektoren aller abhängigen Variablen zwischen den GruppenNullhypothese•Gleichheit der Mittelwertsvektoren aller abhängigen Variablen über alle Gruppen•𝐻0: 𝜇1=��2…=𝜇𝑗
• MANOVA - Hypothesentestung Analyse der Varianzen •Berechnung der durch (unterschiedliche) Gruppenzugehörigkeit erklärten Unterschiede auf allen AVs mittelsVarianz der Erwartungswerte der AVs der Gruppen als Effekte der Faktoren•→ Abweichung Gruppenmittelwertsvektoren vom GesamtmittelwertVarianz der Personenvektoren innerhalb der Gruppe•→ Abweichung Personenvektoren vom Gruppenmittelwert •Schätzung der wahren Varianz-Kovarianz-Matrix der abhängigen Variablen in der Population überZwischengruppen-Varianz-Kovarianz-Matrix: Variabilität der geschätzten Erwartungswerte pro Kombination der Faktorstufen um den geschätzten Erwartungswert über alle Faktorstufen der FaktorenInnergruppen-Varianz-Kovarianz-Matrix: Variabilität der empirischen Personenwerte auf den abhängigen Variablen um die geschätzten Erwartungswerte der zugehörigen Gruppe •Nullhypothese: Populations-Varianz-Kovarianz-Matrix ist gleich gut vorhersagbar durch beide SchätzerModell ist nicht so gutzwischen den Gruppen zeigt sich nur soviel Variabilität, wie man durch die Ungenauigkeit der Schätzung durch Variabilität innerhalb der Gruppen vorhersagen kann•Alternativhypothese: Populations-Varianz-Kovarianz-Matrix ist besser vorhersagbar durch die Zwischengruppen-Varianz-Kovarianz-Matrixdie wahre Variabilität wird durch das Modell viel besser erklärtgrößerer Anteil der Variabilität zwischen den Gruppen
• MANOVA - Hypothesentestung Additivität der Quadratsummen •Gesamtquadratsumme (T)/ Matrix TQuadratsumme der abhängigen VariablenAbweichung aller Personenvektoren vom Gesamtmittelwertsvektor•Treatmentquadratsumme (B)/ Matrix BZwischengruppenvarianz bzw. systematische EffekteAbweichung der Gruppenmittelwertsvektoren vom GesamtmittelwertsvektorUnterschiedlichkeit der Erwartungswerte der Gruppen•Fehlerquadratsumme (W)/ Matrix WInnergruppenvarianz bzw. unsystematische EffekteAbweichung der Personenvektoren vom Mittelwertsvektor der jeweiligen Gruppe •Quadratsummen der systematischen und unsystematischen Effekte ergeben die Gesamtquadratsumme•T = B + W
• MANOVA - Hypothesentestung Prüfgrößen bei der MANOVA Prüfgrößen bei der MANOVAWilk's Lambda (Λ)Hotelling-Lawley's Spurkritierium (Τ)Pillai-Bartlett's V (𝑉)Roy's größter Eigenwert (𝑅𝑜𝑜𝑡)•Grundprinzip: Verhältnis erklärter zu nicht-erklärter Varianz-Kovarianz-Matrix•alle vier Prüfgrößen umrechenbar in F-Wert (zur Berechnung des p-Werts)
• Multivariate Prüfgrößen Wilk‘s Lambda •Verhältnis der Matrix der Innergruppeneffekte W und der Matrix der totalen Quadratsumme•Formel: Λ=|𝑊||𝑇|=|𝑊||𝐵+𝑊|•Umrechnung der Prüfgröße Λ in F-WertGrund: bekannte Verteilung der PrüfgrößeVergleich des F-Werts mit kritischem F-Wert auf Alpha-Fehler-Niveaustatistische Entscheidung Gütemaß zur Vorhersagekraft der Prädiktoren•Bestimmung des durch alle Faktoren erklärten Varianzanteils•Formel: 𝜼2= 1 – Λ•Interpretationanalog zu Determinationskoeffizient 𝑅2𝜼2 einzelner Faktoren nicht additiv (vgl. Multiple Regression)
• Multivariate Prüfgrößen Auswahl der Multivariaten Prüfgröße Kriterien1.Ziel der Analyse (Fragestellungen der MANOVA)Gruppenunterschiede auf einzelnen AVs versus Unterschied in der Linearkombination der AVs (Konstruktebene)2.Gültigkeit der Annahmen und Voraussetzungen der MANOVAunterschiedliche Robustheit gegen VoraussetzungsverletzungenUnterschiede in der statistischen Power (→ Beta-Fehler)MANOVA mit 1 Faktor mit 2 Faktorstufen (2 Gruppen): Wilk's Lambda = Hotelling-Lawley's Spurkriterium = Pillai-Bartlett's V = Roy's größter Eigenwert
• Multivariate Prüfgrößen Auswahl der Multivariaten Prüfgröße - Basis •Wilk's LambdaBasis: Verhältnis von unerklärter Varianz zur Gesamtvarianz•Hotelling-Lawley's Spurkritierium (𝜯)Basis: Verhältnis von erklärter zu unerklärter Varianz•Pillai-Bartlett's VBasis: Verhältnis erklärte Varianz zu Gesamtvarianz•Roy's größter EigenwertBasis: Verhältnis erklärter zu unerklärter Varianz der 1. Diskriminanzfunktion
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• Multivariate Prüfgrößen Auswahl der Multivariaten Prüfgröße - Power •Bei kleiner u. moderater Gruppengröße unterscheiden sich die Teststatistiken nicht in der Power.•Sind die Gruppenunterschiede auf der 1. Variate konzentriertPower: Roy > Hotelling > Wilks > Pillai•Gruppenunterschiede auf mehr als 1 VariatePower: Pillai > Wilks > Hotelling > Roy
• Multivariate Prüfgrößen Auswahl der Multivariaten Prüfgröße - Robustheit Prüfgrößen sind relativ robust bei Verletzung der multivariaten Normalverteilung•Wilk's Lambdamittlere Robustheit bei Verletzungen der Voraussetzungen•Hotelling-Lawley's Spurkritierium (𝜯)Robust bei Verletzungen der Voraussetzungen bei 2 Gruppen und gleicher Gruppengröße•Pillai-Bartlett's Vsehr robust bei Verletzungen der Voraussetzungen (= große stat. Power) bei gleichen GruppengrößenBei ungleichen Gruppengrößen – keine Robustheit•Roy's größter Eigenwertweniger robust bei Verletzungen der Voraussetzungengrößte statistische Power bei erfüllten Voraussetzungen
• Klausurfrage: Statt einer MANOVA könnte man auch mehrere univariate V rechnen
- was wären potenzielle statistische Nachteile? -Antwort: Unterschiedliche Variablen
-> durch Summe AV auf Kriterium befassen
-> bei univariaten wäre es selektiv
-> man würde Gesamteffekt nicht sehen
-> Überlappung = Überidentifizierung da Überschneidung
-> unelegant: alpha-Fehlerkumulierung -> je mehr Tests, desto mehr Fehler, 5% falsche Entscheidung, (treffen Ergebnis signifikant, obwohl nicht signifikant) = gruppe Effekt gefunden, aber in Gesamtpopulation
-> kein Effekt = Ergebnis ist Zufall
-> p = 0.001, 1%
=> aufgrund permanente Wiederholung
= Fehler der alpha-Fehler-Kumulierung ohne
Effekt der Population
• 2. Frage: Für den Modelltest in MANOVA stehen unterschiedliche Prüfgrößen zur Verfügung wie zB Pillai oder Wills Lambda a.) Beide genannten Prüfgrößen basieren auf dem gleichen Grundprinzip. Welches ist das? b.) Welche der beiden genannten Prüfgrößen ist robuster gegenüber Verletzungen der Voraussetzungen a.) Beide genannten Prüfgrößen basieren auf dem gleichen Grundprinzip. Welches ist das?
-> Grundprinzip erklärter zu unerklärter Varianz KOvarianz Matrix b.) Welche der beiden genannten Prüfgrößen ist robuster gegenüber Verletzungen der Voraussetzungen.
-> bei gleicher = Pillai
-> bei ungleicher = Wilks robuster
- <Pillai = sehr robust bei gleicher Gruppengröße
• Post-hoc Tests für die MANOVA Übersicht der Post-hoc Tests •Univariate Varianzanalyse*•Stepdown Analyse•Diskriminanzanalyse*•Beitrag abhängiger Variablen•Multivariate Kontraste** Häufigste Post-hoc Tests
• Post-hoc Tests für die MANOVA Univariate Varianzanalyse •ZielIdentifizierung der abhängigen Variablen mit Gruppenunterschieden•Vorteileinfache Interpretierbarkeit•NachteileAlpha-Fehler-Kumulierung bei multiplen Tests versus Bonferroni-Korrektur mit geringer statistischer Powerkeine Berücksichtigung der Korrelation zwischen abhängigen Variablenkeine Aussage, welche Gruppen sich unterscheiden
• Post-hoc Tests für die MANOVA Diskriminanzanalyse •ZielSuchen der optimalen Linearkombination(en) der abhängigen Variablen zur optimalen Unterscheidung der Gruppen•ErgebnisLinearkombinationen zur Unterscheidung der GruppenBeitrag der abhängigen Variablen zu dieser/n Variable(n)•VorteilGleiche Basis: Linearkombinationen•NachteileAnwendungsbereich beschränkt auf Fall, dass abhängige Variablen eine latente Dimension (ein Konstrukt) bilden
• Post-hoc Tests für die MANOVA VII Multivariate Kontraste •ZielBestimmung der sich im Mittelwertsvektor unterscheidenden Gruppen•Vorgehenpaarweiser Vergleich der Mittelwertsvektoren aller Gruppen (Hotelling's 𝑇2 = multivariater T-Test)Möglichkeit kombinierter Vergleiche mehrerer Gruppen mit einzelnen Gruppen oder Kombinationen anderer Gruppen (z.B. Konstrastkodierung)Möglichkeit der Bestimmung der Gruppenunterschiede für einzelne abhängige Variablen oder Linearkombinationen abhängiger Variablen•Probleme(kumuliertes) Alpha-Fehler-Niveau und statistische PowerInterpretation a-priori vs. post-hoc Kontrasten
• Annahmen und Voraussetzungen der MANOVA Voraussetzungen I und II 1.Unabhängigkeit der Beobachtungen: Messwert einer Person unabhängig von Wert der anderen Personen in der eigenen Gruppe und in fremden Gruppen2.Anzahl AVs: weniger als 10 (A. Field)3.Stichprobe:RepräsentativitätStichprobengröße:•Zelle mind. 20 Vpn•NVpn pro Kombination von Faktorstufen muss größer sein als NAVs•möglichst gleich große Stichproben pro Zelle 4.Keine extremen Ausreißer (Teststatistik sensitiv)5.Linearität: linearer Zusammenhang (Korrelation) zwischen AVs6.Multivariate Normalverteilung der AVs und der Linearkombinationen der AVs7.Varianzgleichheit/Homoskedastizität: Homogenität der Varianz-Kovarianz-Matrizen aller AVs für alle Faktorstufen/Gruppen (bzw. Kombinationen von Faktorstufen)8.Keine Multikollinearität = zu hohe Korrelation der AVs [Korr (Y1, Y2) > 0,7 ]
• Annahmen und Voraussetzungen der MANOVA 1. Unabhängigkeit der Beobachtungen •AnnahmeMesswert einer Person unabhängig von Wert der anderen Personen in der eigenen Gruppe und in fremden Gruppen•Prüfungkaum möglichKontrolle über (experimentelles) Untersuchungsdesign•Robustheitschwerwiegende Auswirkungen auf Teststatistik und Schätzungen der InnergruppenvarianzMaßnahmen:Wechsel der Beobachtungseinheit für UntersuchungHerauspartialisieren systematischer Störeffekte / Berücksichtigung von Kovariaten in der MANOVA
• Annahmen und Voraussetzungen der MANOVA 6. Multivariate Normalverteilung •Annahme(n)univariate Normalverteilung aller AVsunivariate Normalverteilung aller Linearkombinationen der AVsmultivariate Normalverteilung aller Teilmengen der AVs•Prüfungkein direkter Testindirekt über univariate Normalverteilung → als notwendige, nicht hinreichende Bedingung•Robustheit gegen Verletzung der Annahmerelative Robustheit hinsichtlich des Alpha-FehlersEinfluss auf statistische Power je nach Prüfgrößegeringerer Einfluss bei größeren Stichproben
• Annahmen und Voraussetzungen der MANOVA 7. Varianzgleichheit/Homoskedastizität •AnnahmeHomogenität der Varianz-Kovarianz-Matrizen aller abhängigen Variablen für alle Faktorstufen/Gruppen (bzw. Kombinationen von Faktorstufen)•Prüfung1.Box M-TestNullhypothese: gleiche Varianz-Kovarianz-Matrizen (Homoskedastizität)2.Bartlett's Chi-Quadrat Test•RobustheitAuswirkungen von Heteroskedastizität unerheblich bei gleicher Stichprobengröße in allen Gruppen
• Annahmen und Voraussetzungen der MANOVA 8. Multikollinearität •Multikollinearität = zu hohe Korrelation der abhängigen Variablen, d.h. Korr(Y1, Y2) > 0,7•AuswirkungenVerzerrung der Teststatistikevtl. keine Berechnung der Prüfgrößen möglich•MaßnahmeEntfernen redundanter abhängiger Variablen

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