Was ist ein Hypothesentest? und wie wird die Wahrscheinlichkeit eines solchen Test's berechnet?
Hypothesentests werden immer dann durchgeführt, wenn man irgendetwas mit Hilfe von erhobenen Daten nachweisen möchte, zum Beispiel dass auf dem Oktoberfest die Maßkrüge nicht ganz vollgemacht werden. Der Grundsatz bei allen statistischen Tests ist hierbei, dass wir das Gegenteil widerlegen müssen – wir müssen also widerlegen, dass der Maßkrug tatsächlich mit einem Liter gefüllt ist. Wir können uns diesen Grundsatz mit einer Gerichtsverhandlung vorstellen, denn wie es so schön heißt: Im Zweifel für den Angeklagten. Man geht davon aus, dass der Angeklagte unschuldig ist (ohne es genau zu wissen). Um von der Schuld des Angeklagten überzeugt zu werden, müssen ausreichend Beweise gesammelt werden, welche die Schuld ohne Zweifel darlegt. Falls nicht genug Beweise vorliegen, muss davon ausgegangen werden, dass er unschuldig ist. Wir können diesen Sachverhalt in statistischen Hypothesen zusammenfassen: H0: Der Angeklagte ist unschuldig. H1: Der Angeklagte ist schuldig. -> Es stehen sich damit zwei einander widersprechende Behauptungen/Vermutungen (sog. Hypothesen) gegenüber. -> Die Nullhypothese H0, die geprüft werden soll und ihre logische Verneinung, die Alternativ- bzw. Gegenhypothese H1. Die Begriffe sind hierbei so zu verstehen, dass geprüft wird, ob H1 bewiesen werden kann, man also bei ergebnisloser Suche weiter H0 als gültig erachtet. Der Hypothesentest dient nun dazu anhand des Ergebnisses einer Stichprobe zu einer Entscheidung darüber zu kommen, welche der beiden Hypothesen man eher zu glauben bereit ist oder anders ausgedrückt: welche der beiden Hypothesen angenommen (bzw. beibehalten) und welche verworfen wird. Eine 100%-ige Sicherheit, dass die angenommene Hypothese auch tatsächlich wahr ist, kann der Hypothesentest naturgemäß niemals bieten, da wir von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten eines solchen Tests benutzt man die Binomialverteilung.
Bevor man einen Hypothesentest durchführt, müssen die Hypothesen bestimmt werden.
Alternativtest: H0: p=p0 gegen H1: p = p1 Einseitiger Signifikanztest: H0 ≤ po gegen H1: p>po H0 ≥ po gegen H1: p<po Zweiseitiger Signifikanztest: H0: p = po gegen H1: p ≠ po
Woran erkennt man, was die H0-Hypothese und was die H1 Hypothese ist? Merke beim Signifikanztest (gilt nicht für Alternativtest):
In der H1-Hypothese steht niemals ein =, ≤ oder ≥. Wenn in der Aufgabe das Wort höchstens (≤) auftaucht, dann wissen wir, dass das die H0-Hypothese kennzeichnet und wir einen rechtsseitigen Hypothesentest durchführen. Wenn in der Aufgabe das Wort mindestens (≥) auftaucht, dann wissen wir, dass das die H0-Hypothese kennzeichnet und wir einen linksseitigen Hypothesentest durchführen. Wenn in der Aufgabe das Wort mehr als oder auch größer (>) auftaucht, dann wissen wir, dass das die H1-Hypothese kennzeichnet und wir einen rechtsseitigen Hypothesentest durchführen. Wenn in der Aufgabe das Wort weniger als oder auch weniger (<) auftaucht, dann wissen wir, dass das die H1-Hypothese kennzeichnet und wir einen linksseitigen Hypothesentest durchführen.
Testgröße und Stichprobenlänge
Um entscheiden zu können, welche der beiden Hypothesen angenommen und welche verworfen werden soll, plant man die Durchführung einer Stichprobe. Das heißt, man wiederholt das betreffende Zufallsexperiment n-mal unabhängig voneinander. Bei einer Umfrage werden zum Beispiel 100 Leute befragt, ob sie Mathe lieben oder nicht. Die Anzahl der Wiederholungen bezeichnet man als Länge der Stichprobe. Das, worauf bei der Durchführung der einzelnen Versuche geachtet wird (also die Anzahl der Eintritte des betreffenden Ereignisses), nennt man die Testgröße oder Teststatistik. Sie wird manchmal mit T, oft auch mit X oder Z abgekürzt. Bei der Stichprobe handelt es sich dabei um eine Bernoulli-Kette. Die Testgröße ist daher binomialverteilt.
Entscheidungsregel: Annahme- und Ablehnungsbereich
Die Hypothesen sind aufgestellt, die Stichprobe ist durchgeführt und wir haben die Testgröße festgelegt. Um zu einer endgültigen Entscheidung zu kommen, legen wir einen Annahme- und Ablehnungsbereich fest. Abhängig vom Wert, den die Testgröße in der Stichprobe annimmt, wird man die Richtigkeit der einen bzw. der anderen der beiden Hypothesen annehmen Der Annahmebereich A umfasst also die Werte zwischen 0 und n, bei denen H0 angenommen werden soll. Im Gegensatz dazu umfasst der Ablehnungsbereich A¯ die anderen Werte, bei denen H0 abgelehnt bzw. verworfen werden soll. Wenn von Entscheidungsregel aufstellen gesprochen wird, sollen für eine der beiden Hypothesen – üblicherweise für die Nullhypothese – Annahme- und Ablehnungsbereich festgelegt werden. Die Entscheidungsregel sollte nicht willkürlich oder nach Gefühl aufgestellt werden. Denn dann kann es passieren, dass Hypothesen zu leicht angenommen oder abgelehnt werden, was die Aussagekraft des Tests verschlechtert. Daher wird vorher ein Signifikanzniveau α festgelegt, dass die Aussagekraft des Tests sichert. Für den Ablehnungsbereich bestimmt man zunächst immer den kritischen Wert k, der in der Regel abhängig von α ist und gibt dann die Bereiche an.
Achtung: Kommazahlenproblem, runde ich auf oder ab?
Man rundet bei beidseitigen Tests immer nach ?, man spricht auch vom Runden zur sicheren Seite, z.B. kl=54,48 und kr=78,92: A=[?;?]. Bei einseitigen Tests muss man darauf achten, ob links- oder rechtsseitig. Zum Beispiel folgt bei einem linksseitigen Test mit k=9,18 oder k=9,88 der Annahmebereich A=[?;?].
Achtung: Kommazahlenproblem, runde ich auf oder ab? Man rundet bei beidseitigen Tests immer nach innen, man spricht auch vom Runden zur sicheren Seite, z.B. kl=54,48 und kr=78,92: A=[55;78] Bei einseitigen Tests muss man darauf achten, ob links- oder rechtsseitig. Zum Beispiel folgt bei einem linksseitigen Test mit k=9,18 oder k=9,88 der Annahmebereich A=[10;n].
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Beim Testen von Hypothesen möchte man von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen. Aus diesem Grund sollte die Stichprobe möglichst groß gewählt sein, um eine gute Aussage treffen zu können. Da die Testgrößen binomialverteilt sind, müssen wir zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten auf die Binomialverteilung zurückgreifen. Zur Erinnerung: P(X≤k)= ∑i=0k (n "über" i)⋅pi⋅(1−p)n−i Für große Werte von k (typisch bei Hypothesentests) sollte man die Wahrscheinlichkeit nicht mehr per Hand rechnen. Hier lernt ihr zwei Möglichkeiten kennen, wie ihr leicht die jeweiligen Werte bestimmen könnt. Ablesen aus der F-Tabelle:Eine einfache Möglichkeit, wenn man keinen GTR/CAS zur Hand hat oder einfach schneller sein will, ist das Ablesen aus der F-Tabelle. Diese Tabelle gibt die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung von 0 bis k für verschiedene n und p an und sollte in der Klausur gegeben sein. Es gibt auch eine B-Tabelle der Binomialverteilung, die die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer angibt. Berechnung mit dem GTR/CAS (Tasten,Taschenrechner)-> nochmal nachsehen....
Fehler beim Testen
Denken wir dafür nochmal an das Beispiel mit dem Angeklagten, der schuldig oder unschuldig sein kann. Das Verurteilen eines Unschuldigen ist ein Fehler 1. Art und das Freisprechen eines Schuldigen ein Fehler 2. Art. Hypothesentest Fehler;4 Fälle auftreten können: a) Wir lehnen H0 ab, also nehmen H1 an. 1. In Wirklichkeit stimmt H0: Hier wird H0 fälschlicherweise abgelehnt. Dieser Fehler wird Fehler 1. Art genannt bzw. α-Fehler und beschreibt die Irrtumswahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 1. Art zu begehen heißt Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit α.2. In Wirklichkeit stimmt H1, also H0 ist falsch: Alles ist in Ordnung, denn H1 wird angenommen und stimmt tatsächlich. Man spricht von Sicherheit 2. Art. b) Wir nehmen H0 an. 3. In Wirklichkeit stimmt H0: Alles ist in Ordnung, denn H0 wird angenommen und stimmt tatsächlich. Man spricht von Sicherheit 1. Art.4. In Wirklichkeit stimmt H1, also H0 ist falsch: Unsere Vermutung ist wahr (d.h. H1, die wir ja nachweisen möchten, stimmt), aber durch den Test konnte sie nicht bestätigt werden, da wir H0 annehmen. Dieser Fehler wird als Fehler 2. Art bzw. β-Fehler bezeichnet. Diese Wahrscheinlichkeit können wir nicht kontrollieren, sie ist abhängig von der Art des Tests und des Signifikanzniveaus α.
Näherungsformel von Moivre-Laplace
Gelegentlich muss man die Binomialverteilung durch die Gaußverteilung annähern. (Vor allem wenn die Zahlen so groß sind, dass jeder Taschenrechner aussteigt [das geht relativ schnell]). Das ist erlaubt wenn die sogenannte „Laplace Bedingung“ erfüllt ist, also wenn die Standardabweichung größer als 3 ist. Ist das der Fall, kann die Annäherung durchgeführt werden, d.h. statt der Binomialverteilung verwendet man nun die Standard-Normal-Verteilung (=SNV). Die SNV taucht auch unter dem Namen „Phi-Funktion“ oder „Gauß´sche Fehlerfunktion“. Der ganze Prozess der Annäherung heißt: „Näherungsformel von Moivre-Laplace“ oder „Satz von Moivre-Laplace“ oder „Laplace-Formel“.
Alternativtest
Wie wir bereits in der Übersicht kennengelernt haben, gibt es neben den einseitigen und beidseitigen Hypothesentests auch einen Alternativtest. Charakteristisch ist, dass nicht gesagt wird, dass die Nullhypothese sich verringert, erhöht oder verändert hat, sondern, dass eine alternative Aussage gegeben ist. Der Alternativtest dient dazu sich für eine von zwei möglichen Hypothesen über eine statistische Gesamtheit zu entscheiden
Signifikanz, Signifikanzniveau
Das Signifikanzniveau (auch Alphaniveau, geschrieben als α), gibt an, wie hoch das Risiko ist, das man bereit ist einzugehen, eine falsche Entscheidung zu treffen. Für die meisten Tests wird ein α-Wert von 0,05 bzw. 0,01 verwendet. Wenn für einen Test der gefundene p-Wert kleiner ist als Alpha (p < α), sagt man, das Testergebnis sei statistisch signifikant. Bei einen α-Wert von α=0,01 sagt man, das Testergebnis sei statistisch hochsignifikant. Signifikanz macht eine Aussage darüber, wie wahrscheinlich es ist, dass die Ergebnisse allein durch Zufall zustande gekommen sein können. Statistische Signifikanz sagt aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Verhältnis zwischen zwei Variablen besteht, sehr hoch ist. Allerdings muss ein statisch signifikantes Ergebnis nicht unbedingt von praktischer Bedeutung sein. Wir können ein statistisch signifikantes Ergebnis haben, aber die Implikationen, die sich daraus ergeben, haben keine praktische Anwendung. Daher müssen Forscher immer prüfen, ob ihre Befunde neben der statistischen Signifikanz auch eine praktische Signifikanz haben.
Je mehr Ziehungen, desto
weniger wahrscheinlich wird jede einzelne Beobachtung.
Teststatistik
Zusammenfassung der Daten aus einem Experiment in einem einzelnen Wert
Nullhypothese
die Annahme, dass das Ergebnis eines Experiments nur durch Zufall zustande kommt.
p-Wert
Die Wahrscheinlichkeit einfach durch Zufall ein Ergebnis zu bekommen, das mindestens so gut (=genauso gut oder besser) wie das vom Experiment ist. je kleiner der p-Wert ist desto beeindruckender ist das Ergebnis, denn desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit so ein gutes Ergebnis einfach durch Zufall zu erzielen Wie klein,ist klein genug? Wenn der p-Wert kleiner als 5% ist, dass würden die meisten okay, dass kein bloßer Zufall sein. Diese Hürde für den p-Wert also dieser Schwellenwert, für dne gibt es einen Fachbegriff: Signifikanzniveau. Diese ist meistens 5%
Liegen bei einem Hypothesentest sowohl für die Nullhypothese H0 als auch für die Gegenhypothese H1 Annahmen zur Trefferwahrscheinlichkeit vor, so handelt es sich um einen ?.
• Der Fehler 1. Art ist ?
• Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art heißt ?
Liegen bei einem Hypothesentest sowohl für die Nullhypothese H0 als auch für die Gegenhypothese H1 Annahmen zur Trefferwahrscheinlichkeit vor, so handelt es sich um einen Alternativtest. • Der Fehler 1. Art ist die (Fehl-)Entscheidung für die Gegenhypothese H1, obwohl die Nullhypothese H0 gilt. • Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art heißt Irrtumswahrscheinlichkeitα:α=P(Entscheidung für H1|H0 richtig)
Der Fehler 2. Art ist ?
• Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art heißt ?
Der Fehler 2. Art ist die (Fehl-)Entscheidung für die Nullhypothese H0, obwohl die Gegenhypothese H1gilt. • Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art heißt β: β=P(Entscheidung für H0|H1richtig)
Wie bestimme ich den "alpha-Fehler" oder auch Fehler erster Art genannt?
Wir bestimmen ihn immer im Ablehnungsbereich von H1 mit der Ablehnungswahrscheinlichkeit von H0
Fehler erster und zweiter Art?
Fehler erster Art α-> Ich lehne H0 ab, obwohl H0 in Wirklichkeit stimmt Fehler zweiter Art β-> (Berechnung immer im Annahmebereich von H0 mit entsprechnend der Wahrscheinlichkeit H1) Ich entscheide mich für H0 obwohl H1 stimmt
Berechnung Sicherheit erster und zweiter Art
Sicherheit erster Art: zu berechnen im Annahmebereich von H0 mit der Wahrschienlichkeit von H0 Sicherheit zweiter Art: zu berechnen im Ablehnungsbereich von H0 mit der Wahrscheinlichkeit von H1
Die Standardabweichung bei der Binomialverteilung berechnet sich wie folgt:
X∼B(n;p): σ= √n⋅p⋅(1−p)
σ-Regel
Bei der Binomialverteilung konzentrieren sich die Werte um den Erwartungswert μ. Aus diesem Grund untersucht man häufig die symmetrische Umgebung um den Erwartungswert. Den Radius dieser Umgebungen, gibt man meist als Vielfaches der Standardabweichung σ an. So ist z.B die 2σ - Umgebung des Erwartungswerts das Intervall [μ−2σ;μ+2σ] σ- Regeln: Für die am häufigsten verwendeten σ-Umgebungen kann man die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten mit den sogenannten σ- Regeln nährungsweise bestimmen Was hat man davon? Ist die Streuung groß genug (Laplace-Bedingung: σ>3), so lässt sich die entsprechende Binomialverteilung brauchbar durch die Normalverteilung annähern und wir dürfen für den Ablehnungs- und Annahmebereich die σ-Umgebung verwenden. Vorgehensweise: Hypothesen H0 und H1 aufstellen. Entscheiden, ob eins- oder zweiseitiger Hypothesentest vorliegt. Rechtsseitiger Test: H0: p ≤ p0 gegen H1: p > p0 Linksseitiger Test: H0: p ≥ p0 gegen H1: p < p0 Beidseitiger Test: H0: p = p0 gegen H1: p ≠ p0 Erwartungswert berechnen: μ=n⋅p Standardabweichung berechnen: σ=√n⋅p⋅(1−p) Vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit: beachten α 10% 5% 2,5% 1% zα 1,28 1,64 1,96 2,33 Entscheidungsregel aufstellen: Annahme- (A) und Ablehnungsbereich (A-) mit der σ-Regel bestimmen Zweiseitiger Test: A=[μ–z α/2⋅σ; μ+z α/2⋅σ] Linksseitiger Test: A-=[0; μ–zα⋅σ] Rechtsseitiger Test:A-=[μ+zα⋅σn] In der Entscheidungsregel werden durch Vorgabe eines Signifikanzniveaus Ablehnungsbereich und Annahmebereich festgelegt. Das Signifikanzniveau ist dabei die Gegenwahrscheinlichkeit zur Sicherheitswahrscheinlichkeit. Testentscheidung anhand der gegebenen Stichprobe n. Fehler 1. Art berechnen und im Sachzusammenhang beschreiben. Fehler 2. Art berechnen und im Sachzusammenhang beschreiben.
Beim zwei- bzw. beidsetigen Hypothesentest lauten die Hypothesen allgemein
H0: p = p0 H1: p ≠ p0
Bei einem beidseitigen Hypothesentest werden sowohl die linke als auch die rechte Seite hinsichtlich ?. Wenn in Summe 10% abgelehnt werden sollen, müssen diese Prozente ?
Bei einem beidseitigen Hypothesentest werden sowohl die linke als auch die rechte Seite hinsichtlich des Ablehnungsbereichs betrachtet. Wenn in Summe 10% abgelehnt werden sollen, müssen diese Prozente auf den linken und rechten Bereich aufgeteilt werden
Wenn da steht ob es sich geändert hat und zwar nicht wohin; wenn zu überprüfen ist ob es weniger/mehr geworden ist
dann wären das einzelne Indizien dafür das es sich um einen rechts-oder linksseitigen Test handelt aber keinen beidseitigen
Was ist ein Schlüsselreiz für einen beidseitigen test?
Ob es sich geändert hat und ich weiß aus der Aufgabenstellung ob nach links oder rechts
Welche Arten von Hypothesentests gibt es?
Grundsätzlich unterscheidet man zwischen dem einseitigen und dem zweiseitigen Test. Der Unterschied besteht in Folgendem: Beim einseitigen Hypothesentest gibt es einen Ablehnungsbereich und einen Annahmebereich. Z.B. behauptet ein Losbudenbesitzer, dass von seinen Losen mindestens 60% Gewinne sind, d.h. also von 60% bis 100% (=> Annahmebereich), dahingegen behauptet ein Käufer es seien weniger als 60%, also von 0% bis < 60% (=> Ablehnungsbereich). Wenn man sich nun die Zahlen optisch in einer Reihe vorstellt liegt der Ablehnungsbereich links des Annahmebereichs, daher ist es ein linksseitiger Test, andersherum wäre es ein rechtsseitiger Test. Beim zweiseitigem Hypothesentest gibt es zwei Ablehnungsbereiche und einen Annahmebereich. Z.B. behauptet der Hersteller eines bestimmten Medikaments, dass dieses Medikament zu 50% (+5%, –5%) die Krankheit heilt. Es soll getestet werden, ob die Heilung nicht vielleicht mit einem mehr oder weniger großen Prozentsatz erfolgt. Heilung zu 45% bis 55%, => Annahmebereich in der Mitte und nicht von 0% bis <45% und >55% bis 100%, => Ablehnungsbereich links und rechts. Wie man sieht gibt es zwei Ablehnungsbereiche, daher zweiseitiger Test.
Nullhypothese und Gegenhypothese
Generell werden für einen Hypothesentest immer zwei Hypothesen aufgestellt. Eine Nullhypothese (H0) und eine Gegen- bzw. Alternativhypothese (H1). Als Nullhypothese wählt man die Hypothese, auf die das Interesse gerichtet ist und deren irrtümliche Ablehnung die schlimmeren Folgen hätte (ist aber trotzdem nicht immer eindeutig). Es wird immer die Nullhypothese getestet. Ein weiterer Anhaltspunkt ist, dass die Gegenhypothese immer die Negation der Nullhypothese ist, also genau das, was nicht der Nullhypothese entspricht. Dies drückt sich auch durch die Wahrscheinlichkeiten aus. Wird z.B. für die Nullhypothese p ≥0,7 angenommen, so gilt für die Gegenhypothese p<0,7. Da es bei einem Hypothesentest nur darum geht, ob diese (H0) zutrifft oder nicht (Ereignis/Gegenereignis), handelt es sich bei der Stichprobe um eine Bernoullikette der Länge n (im Bsp. mit der Trefferwahrscheinlichkeit p=0,7) und man kann die meisten Ergebnisse im Tafelwerk zur Binomialverteilung nachschauen.
Annahme- und Ablehnungsbereich
Damit man eine Stichprobe durchführen kann, sollte man sich Gedanken über die Länge und den Ausgang der Stichprobe machen. Man muß einen Bereich definieren, für den gilt: wenn das Ergebnis der Stichprobe dort hineinfällt, wird die Nullhypothese angenommen -> Annahmebereich =AH0 z sei die Anzahl der "Treffer" bei der Stichprobe, wenn z ∈ H0 ist , dann gilt H0 und man muß einen Bereich definieren, für den gilt z sei die Anzahl der "Treffer" bei der Stichprobe, wenn das Ergebnis der Stichprobe dort hineinfällt, wird die Nullhypothese abgelehnt : Ablehnungsbereich = A-H0 wenn z ∈ A-H0, dann gilt H1
Fehler erster bzw. zweiter Art
Da dieser Test auf der Basis einer Stichprobe ausgeführt wird und eine Stichprobe nicht immer stimmen muß, können zwei Arten von Fehlern passieren. Der Fehler erster Art wäre, dass man die Nullhypothese ablehnt, obwohl sie richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers, die sich errechnen läßt, wird mit Alpha bezeichnet, daher wird der Fehler erster Art auch als α-Fehler bezeichnet. Bei diesem Fehler wird davon ausgegangen, dass die Nullhypothese richtig ist, deshalb rechnet man mit der Wahrscheinlichkeit der Nullhypothese (als TrefferWSK). Berrechnung der WSK für die Ablehnung: α= P(-AH0) Siehe Ablehnungsbereich Der Fehler zweiter Art wäre, dass man die Nullhypothese annimmt, obwohl sie falsch ist und die Gegenhypothese richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers wird mit Beta bezeichnet, daher wird der Fehler zweiter Art auch als β-Fehler bezeichnet. Bei diesem Fehler wird davon ausgegangen, dass die Gegenhypothese richtig ist. Deshalb benötigt man zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers eine alternative Wahrscheinlichkeit für H0 als TrefferWSK (z.B. p=0,6 , da man ja nicht mit p<0,7 rechnen kann). Berrechnung (WSK für die Annahme): β=P(AH0) Siehe Annahmebereich
Signifikanzniveau
Das Signifikanzniveau bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, mit der die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen werden kann. Es wird daher auch als Irrtumswahrscheinlichkeit bezeichnet. Je niedriger das Signifikanzniveau ist, desto kleiner ist der Ablehnungsbereich Das Signifikanzniveau wird mit α bezeichnet (die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Fehler 1.Art in Kauf genommen wird, soll höchstens Alpha sein). Auf Grund des Signifikanzniveaus für den Ablehnungsbereich läßt sich ein "kritischer Wert" berechnen, der den Annahme- gegen den Ablehnungsbereich abgrenzt
Einseitiger Hypothesentest
Wenn es bei einem Hypothesentest lediglich darum geht, ob sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in eine Richtung geändert hat, handelt es sich um einen einseitigen Hypothesentest. Wenn man vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner ist als bislang angenommen, spricht man von einem linksseitigen Hypothesentest bzw. Signifikanztest.Vermutet man eine größere Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, spricht man von einem rechtsseitigen Signifikanztest.
Linksseitiger Hypothesentest
Bei einem linksseitigen Hypothesentest sprechen kleine Werte der Zufallsvariablen gegen die Hypothese, also Werte, die links auf dem Zahlenstrahl bzw. links vom Erwartungswert liegen.
Rechtsseitiger Hypothesentest
Bei einem rechtsseitigen Hypothesentest sprechen große Werte der Zufallsvariablen gegen die Hypothese, also Werte, die rechts auf dem Zahlenstrahl bzw. rechts vom Erwartungswert liegen
Linksseitiger Hypothesentest, Vorgehen (4)
Vorgehensweise: 1. Hypothesen aufstellen: H0:p ≥ p0; H1: p < p02. Festlegung des Stichprobenumfangs n und des Siginifikanzniveaus α3. Bestimmung des Ablehnungsbereiches: A¯=[0;k] Es muss gelten: P(X ≤ k) ≤ α 4. Entscheidungsregel: Liegt der Stichprobenumfang in A‾, wird H0 verworfen, ansonsten wird H0 beibehalten.
Rechtsseitiger Hypothesentest
Vorgehen
Vorgehensweise: 1. Hypothesen aufstellen: H0: p ≤ p0; H1: p > p02. Festlegung des Stichprobenumfangs n und des Siginifikanzniveaus α3. Bestimmung des Ablehnungsbereiches: A¯= [k;n] Es muss gelten: P(X ≥ k) ≤ α ⇔ 1−P (X ≤ k−1) ≤ α. 4. Entscheidungsregel: Liegt der Stichprobenumfang in A¯, wird H0 verworfen, ansonsten wird H0 beibehalten.
Beidseitiger Hypothesentest
Vorgehen
1. Hypothesen aufstellen: H0:p=p0; H1:p≠p02. Festlegung des Stichprobenumfangs n und des Siginifikanzniveaus α3. Bestimmung des Ablehnungsbereiches: A‾=[0;kl]∪[kr;n] Es muss gelten: P(X≤kl) ≤ α/2 und P(X≥kr) ≤α/2. 4. Entscheidungsregel: Liegt der Stichprobenumfang in A‾, wird H0 verworfen, ansonsten wird H0 beibehalten
