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MV (Subject) / Matrix Algebra (Lesson)
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- Was ist eine Matrix Matrix (A) = Eine Anordnung von Zahlen und ObjektenZeile → Index i Spalte → Index jElemente einer Matrix A werden als aij bezeichnet (aij = Elemente in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte).Koeffizienten ~ Zahlen die in der Matrix drin stehen
- Unterscheidung zwischen Spalten- und Zeilenvektoren Spaltenvektor → an×1Zeilenvektor → a1×m
- Symmetrische Matrix Besitzt die quadratische Matrix A die Eigenschaft AT= A, wird Matrix A als symmetrisch bezeichnet. Eine Korrelationsmatrix ist immer symmetrisch!
- Nullmatrix Nullmatrix = Matrix mit den Format n × m besitzt nur Einträge mit Null. Für die Nullmatrix gilt: An×m + 0n×m = 0n×m + An×m = An×m
- Einheitsmatrix quadratische Matrix (Spaltenanzahl =Zeilenanzahl) alle Werte außer der Hauptdiagonale sind Null und die Hauptdiagonale besteht aus 1ern
- Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Hierbei ordnet die Determinante einer MatrixA einen skalaren Wert zu.
- Eine Determinante ist gleich 0, wenn... Zeile/ Spalte nur aus Nullen besteht zwei Zeilen/ Spalten gleich sind eine Zeile/ Spalte eine Linearkombination einer anderen Zeile/ Spalte ist
- Eine Matrix ist nur dann invertierbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist
- Spur einer Matrix Sei A eine quadratische Matrix mit dem Format n x n, dann ist die Spur tr der MAtrix A die Summe der Dialogelemente aii tr(A) = Σ aii
- Rechenregeln Spur einer Matrix Summe: tr(A + B) = tr(A) + tr(B) Produkt: tr(AB) = tr(BA) Skalare Multiplikation: tr(cA) = ctr(A) Eigenwerte: tr(A) = Σi= λi
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- weitere Rechenregeln Produkt von Determinanten: det(AB) = det A * det B Transponierte det AT = det A Inverse det A - 1 = (detA)-1 Diagonalmatrix det D = d11 * d22 *..* dnn
- Wie werden nicht-invertierbare Matrizen bezeichnet? singulär/ nicht invertierbar/ nicht-reguläre Matrizen