Mathematik (Subject) / Analysis rationale Funktionen (Lesson)

Gebrochen/rational

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• welche "Arten" von rationalen Funktionen unterscheidet man ? Ganzrationale/Polynom - und Gebrochenrationale-Funktionen
• Rationale Funktionen (Bruchfunktion) Bei rationalen Funktionen sind häufig Bruchgleichungen zu lösen. Gemeint sind Gleichungen der Form f(x) = ax2+bx+c / dx + e = Zähler(x) / Nenner(x) Es handelt sich also um ? von zwei ?. Hierbei sollte zunächst immer die ? bestimmt werden, da nicht durch ? geteilt werden darf. Wenn nichts anderes vorgegeben ist, können wir zunächst alle ? einsetzen. Bei rationalen Funktionen sind häufig Bruchgleichungen zu lösen. Gemeint sind Gleichungen der Form f(x) = ax2+bx+c / dx + e   =  Zähler(x) / Nenner(x) Es handelt sich also um Quotienten (Brüche) von zwei Polynomen (ganzrationalen Funktionen).Hierbei sollte zunächst immer die Definitionsbereiche D bestimmt werden, da nicht durch Null geteilt werden darf.Wenn nichts anderes vorgegeben ist, können wir zunächst alle reellen Zahlen R einsetzen.
• Rationale Funktionen Untersuchen Die Untersuchung von gebrochenrationalen Funktionen erfolgt im Prinzip wie bei den ganzrationalen Funktionen, doch haben gebrochenrationale Funktionen häufig ? , an denen ihr Graph oft eine ? besitzt. Die Untersuchung von gebrochenrationalen Funktionen erfolgt im Prinzip wie bei den ganzrationalen Funktionen, doch haben gebrochenrationale Funktionen häufig Definitionslücken, an denen ihr Graph oft eine senkrechte Asymptote besitzt.
• Rationale Funktionen untersuchen: - Die Untersuchung der Nullstellen des Nenners von f(x) liefert den ? Die Untersuchung der Nullstellen des Nenners von f(x) liefert den maximalen Definitionsmenge
• Rationale Funktionen untersuchen An den Definitionlücken liegt dann ein Pol vor, ?. Der Graph hat an den Polen ?. Eine Asymptote ? An den Definitionlücken liegt dann ein Pol vor, wenn die Nullstelle des Nenners keine Nullstelle des Zählers ist. Der Graph hat an den Polen senkrechte Asymptoten. Eine Asymptote ist eine Funktion, die sich einer anderen Funktion im Unendlichen annähert. In anderen Worten: Bei Asymptoten handelt es sich um sogenannte Definitionslücken, da wir, egal welcher Wert in die Funktion eingesetzt wird, den entsprechenden Wert der Asymptote nicht herausbekommen werden.
• Rationale Funktionen untersuchen Man untersucht die Funktionswerte f(x) in der Umgebung eines Pols x0, um zu erkennen, ob ? gilt. Dabei muss man sich dem Pol von ? annähern. Man untersucht die Funktionswerte f(x) in der Umgebung eines Pols x0, um zu erkennen, ob             f(x) -> + ∞ oder f(x) -> - ∞ für x -> x0 gilt. Dabei muss man sich dem Pol von rechts und links annähern.
• Rationale Funktionen untersuchen Das Verhalten für x -> ? wird durch den Grad m des Polynoms im ? (also ? dem Bruch) und den Grad ? des Polynoms im Nenner (also ? dem Bruch) bestimmt. Das Verhalten für x -> +/- ∞ wird durch den Grad m des Polynoms im Zähler (also auf dem Bruch) und den Grad n des Polynoms im Nenner (also unter dem Bruch) bestimmt. m = Zähler n = Nenner
• Rationale Funktionen untersuchen Verhalten für x -> +/- ∞ Ist m<n, so strebt f(x) -> ? und die ?-Achse ist die waagerechte Asymptote des Graphen K. Ist m < n, so strebt f(x) -> 0 und die x-Achse ist die waagerechte Asymptote des Graphen K.
• Rationale Funktionen untersuchen Verhalten für x -> +/- ∞ Ist m=n, so strebt f(x) -> , wobei ? der Quotient der Koeffizienten der ? Potenzen von x im Zähler und Nenner ist. Die Gerade mit der Gleichung ? ist die ?Asymptote von K. Da es sich um eine ? Asymptote handeln soll, heißt das, dass die Asymptote bzw. die gesuchte Gerade einen ? Verlauf haben soll, das heißt ? zur x-Achse verlaufen muss, um als eine ? Asymptote aufgefasst zu werden. Ist m=n, so strebt f(x) -> c, wobei c der Quotient der Koeffizienten der höchsten Potenzen von x im Zähler und Nenner ist. Die Gerade mit der Gleichung y=c ist die waagerechte Asymptote von K. Da es sich um eine waagerechte Asymptote handeln soll, heißt das, dass die Asymptote bzw. die gesuchte Gerade einen waagerechten Verlauf haben soll, das heißt parallel zur x-Achse verlaufen muss, um als eine waagerechte Asymptote aufgefasst zu werden.
• Rationale Funktionen untersuchen, Verhlaten für x -> +/- unendlich Ist m=n+1, so hat K eine ? Asymptote, deren Gleichung durch ? ermittelt werden muss. Ist m=n+1, so hat K eine schiefe Asymptote, deren Gleichung durch Polynomdivision ermittelt werden muss.
• Rationale Funktionen untersuchen x->+/-infinity Ist m>n+1, so hat K eine ? vom Grad ?, deren Gleichung durch ? ermittelt wird. Ist m>n+1, so hat K eine Näherungskurve vom Grad m-n, deren Gleichung durch Polynomdivision ermittelt wird.
• Tipp: Ist der Grad des Polynoms im Zähler größer als der Grad des Polynoms im Nenner, so wird der Funktionsterm f(x) ... Ist der Grad des Polynoms im Zähler größer als der Grad des Polynoms im Nenner, so wird der Funktionsterm f(x) durch Polynomdivision umgeformt.Am umgeformten Funktionsterm erkennt man unmittelbar eine Gleichung der schiefen Asymptote oder des Graphen einer ganzrationalen Näherungsfunktion.
• Tipp: Man sollte sich überlegen, ob sich für x -> +/- infty ein Graph .... Man sollte sich überlegen, ob sich für x -> +/- infinity ein Graph an eine Asymptote oder Näherungskurve von oben oder von unten annähert.
• Tipp:Das Ableiten von f(x) ist nach der ? meist einfacher. Das Ableiten von f(x) ist nach der Polynomdivision meist einfacher.
• Tipp: Bei f(x)= ax+b / cx+d sind praktisch immer ...? Bei f(x)= ax+b / cx+d sind praktisch immer die Asymptoten parallel zu den Koordinatenachsen.
• Der Graph K von f ist - achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung x=c, wenn gilt ? - punktsymmetrisch zum Punkt Z(c|d), wenn gilt ? Der Graph K von f ist achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung x=c, wenn gilt f(c+x)=f(c-x) punktsymmetrisch zum Punkt Z(c|d), wenn gilt  1/2 (f ( c+x ) + f (c-x) ) = d
• Es gibt auch ganzrationale Funktionen mit bruch was unterschiedet diese von den Gebrochenrationalen Funktionen? die gebrochenrationalen Funktionen haben etwas mit x im Nenner bzw. unter dem Bruchstrich
• Echt und Unecht Gebrochenrational? Ähnlich wie beim unechten und echten Bruch, wenn der Exponent im Zähler größer ist als im Nenenr haben wir eine unecht gebrochenrationale funktion und wenn der zähler kleiner ist als der nenner eine echt gebrochenrationale funktion
• Den ? muss ich Null setzen um die Nullstellen zu berechnen Den ? setze ich Null für die Berechnung der Definitionslücken (=das was ich nicht einsetzen darf) Den Zähler muss ich Null setzen um die Nullstellen zu berechnenDen Nenner setze ich Null für die Berechnung der Definitionslücken (=das was ich nicht einsetzen darf)
• hebbare Definitionslücke Unter einer hebbaren Definitionslücke x0 versteht man eine Definitionslücke, die durch Kürzen des Funktionsterms behoben werden kann und dadurch den Definitionsbereich erweitert.
• An den Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist, gibt es zwei Möglichkeiten der Graph besitzt eine hebbare Definitionslücke. der Graph nähert sich immer mehr einer Geraden parallel zur y-Achse an.Diese Gerade nennt man senkrechte Asymptote. Die Definitionslücke heißt dann Unendlichkeitsstelle oder Pol.
• Hebbare Definitionslücke berechnen Vorgehensweise Nullstellen des Nenners berechnen (= Definitionslücken bestimmen) Nullstellen des Zählers berechnen Prüfen, ob ein Pol vorliegt oder möglicherweise eine hebbare Definitionslücke. Wenn möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vorliegt: Zähler und Nenner faktorisieren Bruch kürzen Prüfen, ob Pol oder hebbare Definitionslücke vorliegt
• Ist x0 eine Nullstelle des Nenners, aber nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers, liegt eine ? vor Ist x0 sowohl eine Nullstelle des Nenners als auch des Zählers, liegt ? vor Ist x0 eine Nullstelle des Nenners, aber nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers, liegt eine Polstelle vor Ist x0 sowohl eine Nullstelle des Nenners als auch des Zählers, liegt möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor
• Gebrochenrationale Funktionen Definition Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich im Zähler und Nenner eine ganzrationale Funktion (Polynom) befindet: f(x) = g(x) / h(x)
• Echt gebrochenrationale Funktion Der Grad des Zählerpolynoms g(x) ist kleiner als der Grad des Nennerpolynoms h(x)
• Unecht gebrochenrationale Funktion Der Grad des Zählerpolynoms g(x) ist größer als der Grad des Nennerpolynoms h(x). Durch Polynomdivision kann der Funktionsterm einer unecht gebrochenrationalen Funktion in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Term zerlegt werden.
• Definitionslücken Stellen, an denen der Nenner Null wird und die Funktion nicht definiert ist. Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Hebbare Definitionslücken (stetig behebbare Definitionslücke) Polstellen (Unendlichkeitsstellen). Eine gebrochenrationale Funktion kann mehrere oder keine Definitionslücken haben.
• Zählergrad Unter dem Zählergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Zähler vorkommt
• Nennergrad Unter dem Nennergrad einer Funktion versteht man die höchste Potenz, die im Nenner vorkommt.
• Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion f(x) beliebig nähert,ohne sie zu berühren. Es gibt drei Arten von Asymptoten: Senkrechte Asymptoten Waagrechte Asymptoten Schräge Asymptoten
• Senkrechte Asymptote Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke)Wird der Betrag der Funktionswerte beliebig groß, während sich die x-Werte einer Definitionslücke b  annähern, dann hat die gebrochenrationale Funktion eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x = b. b nennt man dann auch Polstelle der Funktion.
• Waagrechte Asymptote Zählergrad < Nennergrad oder Zählergrad = Nennergrad Fall 1: Zählergrad < Nennergrad [n<m]In diesem Fall ist die x-Achse die waagrechte Asymptote Fall 2: Zählergrad = Nennergrad [n=m]In diesem Fall ist die zu x-Achse parallel Gerade mit der Gleichung y = an / endie waagrechte Asymptote
• schräge Asymptote Zählergrad = Nennergrad + 1 Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad +1 ist, wird der Restterm, d.h. der gebrochenrationale Term, der sich bei der Polynomdivision ergibt,für immer größer werdende Werte von x immer kleiner und nähert sich 0 an. Der Graph der gebrochenrationalen Funktion nähert sich damit immer weiter dem Graphen der Asymptote an.
• Keine schräge oder waagrechte Asymptote Zählergrad > Nennergrad + 1Wenn der Zählergrad größer als der Nennergrad +1 ist, gibt es weder eine schräge noch eine waagrechte Asymptote.

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