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Statistik 1 (Subject) / 12. VL (Lesson)
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- Definieren Sie den Begriff Korrelation Die Korrelation beschreibt die Abhängigkeit zwischen zwei Merkmalen: positive Korrelation: je mehr X, desto mehr Y negative Korrelation: je mehr X, desto weniger Eine Korrelation erlaubt keine Rückschlüsse auf eine Kausalität, d.h. es kann weder gesagt werden ob ein Merkmal Ursache des anderen ist noch ob überhaupt ein Ursache-Wirkungsprinzip besteht.
- Welche Problemfrage stellt sich im Zusammenhang mit der Korrelation? Besteht ein Zusammenhang zwischen … und … (Treten höhere / niedrigere Werte der einen Variablen bei höheren / niedrigeren Werten der anderen Variablen auf)
- Welche Problemfrage stellt sich im Zusammenhang mit der (linearen) Regression? Lässt sich der Wert der einen Variablen aus dem Wert der anderen Variablen vorhersagen?
- Wie misst man einen linearen Zusammenhang? Gesucht ist ein Maß für die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei mindestens intervallskalierten Merkmalen. Gewünschte Eigenschaften:• dimensionslos (ohne Einheit)• Wertebereich [-1 ; 1]: Vorzeichen gibt die Richtung an 0, falls kein linearer Zusammenhang besteht 1 bzw. -1 beschreiben perfekten positiven bzw. negativen linearen Zusammenhang
- Was ist der Empirischer Korrelationskoeffizient nach Pearson? Der Korrelationskoeffizient nach Pearson ist ein Maß für den Grad des linearen Zusammenhangs zwischen zwei mindestens intervallskalierten Merkmalen wird mit r oder R bezeichnet
- Welche Eigenschaften hat der Empirischer Korrelationskoeffizient nach Pearson? • dimensionslos• Wertebereich [-1 ; 1]: Vorzeichen gibt die Richtung an 0, falls kein linearer Zusammenhang besteht 1 bzw. -1 beschreiben perfekten positiven bzw. negativen linearen Zusammenhang • Die Korrelation sagt nichts darüber aus, wie steil die Geradeverläuft. Nur das Vorzeichen kann interpretiert werden.
- Was ist der Unterschied zwischen theoretische und empirischen Korrelationskoeffizient? Der theoretische Korrelationskoeffizient besitzt die gleichen Eigenschaften wie der empirische Korrelationskoeffizient
- Definieren Sie den Pearsonscher Korrelationskoeffizient • Beschreibt die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischenzwei mindestens intervallskalierten Merkmalen• Wertebereich: [-1 ; 1]: -1 oder 1 beschreiben dabei einen perfekten linearen Zusammenhang • Korrelationen eignen sich als Einstieg in komplexere Modelle
- Definieren Sie den Begriff lineare Regression Beschreibt eine abhängige Variable Y (Zielgröße) durch eine oder mehrere unabhängige Variablen X (Einflussvariablen). Abhängige Variable Y: Variable, die beschrieben wird Unabhängige Variable X: Variable, welche die abhängige Variable beschreibt Bei einer linearen Regression mit einer unabhängigen Variablen wird versucht die Daten anhand einer Geraden zu beschreiben 𝛽𝛽0: Regressionskonstante𝛽𝛽1: Regressionskoeffizient𝜀𝑖: Störgröße, Fehlerterm, Residuum für Patient
- was sind Residuen? Das Residuum ist die Differenz zwischen dem beobachteten Messwert 𝑦𝑖 und dem durch die Regressionsgerade vorhergesagten Wert 𝑦𝑖. Ziel der linearen Regression ist es diejenige Gerade zu finden, die die Summe der quadrierten Residuen minimiert.
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- Was sind die Regressionskoeffizienten? Die Zielgröße Y wird bei gegebener Einflussgröße X durch eine lineare Gleichung vorhergesagt: 𝑦𝑖 = 𝛽̂0 + 𝛽1*𝑥𝑖 Der Achsenabschnitt 𝛽̂0 und Steigung 𝛽̂1 werden dabei so bestimmt, dass die Residuenquadrate minimal sind
- Was sind die Voraussetzungen der linearen Regression? • Skalenniveau für die abhängige Variable mindestens intervallskaliert• Skalenniveau für die unabhängigen Variablen meist intervallskaliert. Andere Skalenniveaus sind möglich, bei der Aufnahme in die Regression muss das Skalenniveau berücksichtigt werden (Stichwort: Dummy-Kodierung)• Unabhängig normalverteilte Residuen 𝜀𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖 ~ N(0, 𝜎^2) Dies beinhaltet insbesondere: Homoskedastizität „Die Streuung der Punkte um die Regressionsgerade in vertikaler Richtung ist konstant“ Vorliegen eines linearen Zusammenhangs
- Wie kann man die Güte berechnen? Mit R^2, Die Maßzahl 𝑅^2 ist der Prozentanteil der Variation der abhängigenVariable, der durch die lineare Regression erklärt wird. Wir könnten den erwarteten Wert einer „neuen“ Messung auchdurch den Mittelwert 𝑦 aller bisher gemessenen Werte derabhängigen Variablen vorhersagen Der Vergleich, um wie viel der durch die Regressionsgleichungvorhergesagte Wert besser ist als der durch 𝑦 vorhergesagte Wert,führt zum Bestimmtheitsmaß bzw. zum 𝑅^2-Wert𝑅^2 = 1 − Variation der Residuen/Variation von Y Eigenschaften– Wertebereich [0 ; 1]-- 0: Vorhersagen identisch (kein linearer Zusammenhang)--1: Perfekte Vorhersage durch Regressionsgleichung
- Was sind Interpretationsprobleme die aus Korrelationskoeffizienten folgen? • Aus einem statistischen Zusammenhang folgt nicht automatischauch ein kausaler Zusammenhang• Vorsicht bei gemischten Stichproben• Pro Individuum darf nur ein Beobachtungspaar vorliegen• Korrelation misst den Grad des Zusammenhangs, nicht den Gradder Übereinstimmung(->spezielle Verfahren für Methodenvergleich vorhanden)• Bei geringer Stichprobengröße hoherKorrelationskoeffizient möglich• Korrelationskoeffizient nach Pearson ist anfällig gegen Ausreißer
- Wo kann es zu Anwendungsprobleme bei der linearen Regression führen? • Regressionsgerade ist stark vonAusreißern abhängig• Es werden nur lineare Beziehungenbeschrieben-> Transformation oder komplexereFunktionen notwendig• Keine Extrapolation über denWertebereich der Stichprobe hinauszulässig• Die Regressionsparameter könntensich nur zufällig von Null unterscheiden-> immer Tests und Konfidenzintervalle mit angeben• Interpretation der Regressionsgerade problematisch, falls dieModellvoraussetzungen verletzt sind
- Gib ein „Kochrezept“ für lineare Regression an 1. Deskription (univariat)2. Scatterplot3. Korrelationskoeffizient4. Lineare Regression5. Beurteilung der Modellgüte über R²-Wert6. Überprüfung der Modellvoraussetzungen(Residuenplot)7. Medizinisch-inhaltliche Deutung
- Ein guter statistischer Bericht nennt: die Fallzahl die Regressionskoeffizienten mit Konfidenzintervall R²-Wert (p-Werte)
- Was ist die multiple Regression? Mit Hilfe der multiplen (= mehrere unabhängige Variablen) linearen Regression lässt sich der Einfluss mehrerer Variablen auf die abhängige Variable untersuchen. Die Aufnahme weiterer Variablen ins Modell kann dabei die Modellgüte und somit das Bestimmtheitsmaß R² verbessern