Mathematik (Subject) / Funktionen (Lesson)
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- Eigenschaften lineare Funktionen Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautety=k⋅x+d mit k,d Element der reelen Zahlen. Der Graph ist immer eine Gerade.Steigung = Parameter k " Fällt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k negativ. "Steigt" der Graph einer linearen Funktion, so ist k positiv. K=Y/X bei zwei Zahlpaaren = y2-y1/x2-x1. d gibt y-Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse wieder.d kann abgelesen werden oder Gleichungsystem mit unbekannter d. Lineare Funktionen welche durch den Ursprung verlaufen nennt man homogene Funktionen.
- Eigenschaften indirekte direkte Propertionen Eine direkt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit einer homogenen linearen Funktion der Form y=k⋅x mit k element von R beschrieben werden.Wird x verdoppelt, so verdoppelt sich auch y.Wird x halbiert, so halbiert sich auch y. Ein indirekt proportionaler Zusammenhang kann mathematisch mit der rationalen Funktion y=c/x beschriebn werden wobei c ein Elemt von R ist. Wird x verdoppelt, so halbiert sich y.Wird x halbiert, so verdoppelt sich y.Multipliziert man die Werte x und y so ergibt sich immer der gleiche Wert c.
- Eigenschaften Potenzfunktionen Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form f(x)=a⋅xn mit n∈ℚ. Definnitonsbreich hängt von Exponent r ab.Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten n∈ℕ dann Definitionsbereich R/ streng fallend in R0- / streng monotom steigend in R0+/ alle Graphen gehen durch 0,0 1,1 -1,1 n gerade daher symetrisch zu y Achse.EXPONENT neN wenn n ungerade dann Definitionsbereich R/ streng monton steigend in R alle Graphen gehen durch 00 11 -1-1 n ungerade symetrisch zu Ursprung. EXPONENT neZ- mit n gerade dann Definitionsbereich R*/streng monton steigend in R-/streng monton fallend in R+ alle graphen gehen durch -1/1 und 1/1 n greade daher symmetrisch y achse. EXPONENT neZ- mit n ungerade dann Definitosnbereich R*/ streng monton fallend in R-/ streng monton fallend in R+ alle Graphen gehrn durch -1-1 und 1,1.Exponent m/n e Q/Z mit m/n >0 dann Definitionsbereich R0+/streng monton stiegnd in R0+ alle graphen gehn durch 1/1. EXPONENT m/N <0 dann Definitonsberiech R+ / streng monton fallend in R+ alle Graphen gehn durch 1,1.
- Polynomfunktionen Polynomfunktionen sind Funktionen, die aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten zusammengesetzt sind. Die allgemeine Funktionsgleichung einer Polynomfunktion lautet f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯anxn (wobei neN* an,a0 ..... eR und an is not O. Der höchste Exponent n gibt dabei den "Grad" des Polynoms an.a0 ist der konstante Term (da keine Variable dabei steht) und gibt an, in welchem Abstand vom Ursprung die y-Achse geschnitten wird. Polynomfunktion von Grad 1 ist lineare Funktion.Pfkt von Grad 2 ist quadratische Funktion.Pfkt von Grad 3 hat mindetsnes eine Nullstelle maxiamal 3 und der Graph ist im Normalform eine S Kurve.Polynomfunktionen von Grad 4 müssen nicht unbedingt nur eine Nullstelle haben Fakt ist da sie aufgrund der an Anzahl maximal 4 haben können diese Regel gilt bei allen Pfkt.Meist schaut eine Grad 4 Funktion wie Doppel S Kurve auf.Poly von 1,3,5 haben mindetses eine Nullstelle von 2,4,6 nicht unbedingtDie maximale Anzahl der Nullstellen einer Funktion = Grad der Funktionz.B ax²+bx+c, Grad =2 -> Anzahl der maximalen Nullstellen =2Die maximale Anzahl der Extremstellen einer Funktion = Grad der Funktion -1z.B ax³+bx²+cx+d, Grad =3 -> Anzahl der maximalen Extremstellen =3-1=2Die maximale Anzahl der Wendestellen einer Funktion = Grad der Funktion -2z.B ax²+bx+c, Grad =2 -> Anzahl der maximalen Wendestellen =2-2=0
- Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen sind Funktionen, deren Funktionsgleichung die Formf(x)=b⋅ax mit b und a∈ℝ+ oder f(x)=b⋅eλ⋅x mit b∈ℝ+, λ∈ℝ.In Exponentialfunktionen steht die Variable immer im Exponenten.Im Term ax ist a die Basis.e steht für die Eulersche Zahl.Je nach Größe der Parameter a und b bzw. λ verändert sich der Graph. b gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an. a und λ geben an ob Graph steigt fällt.Die x-Achse ist eine Asymptote des Graphen. D.h. der Graph der Exponentialfunktion nähert sich dieser beliebig nahe, ohne sie jemals zu schneiden.Die Exponentialfunktion hat die besondere Eigenschaft, dass sie sich in bestimmten Abständen immer um ‘‘denselben Faktor‘‘‘ vermehrt (wenn a>1) oder vermindert (wenn 0<a<1). f(x+1)=f(x)*a (Argument wird um 1 vergrößert dann Änderung um Faktor a). a=f(x+1)/f(x)