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Einführung in die Systemwissenschaften (Subject) / Kapitel 11 - Einführung in die Differentialgleichungen (Lesson)
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- Zustandsraum Zustandsraum = alle möglichen Systemzustände dient dem Verständnis wie ein System sich verändert & ob gewisse Muster entstehen
- Zustandslinie eindimensionaler Systeme Systeme mit einer Zustandsvariablen -> Zustand wird durch Zahl beschrieben Zustandsraum ist eine Linie, die "Zustandslinie" Systemzustand entspricht genau einem Punkt auf der Zustandslinie
- Zustandsebene zweidimensionaler Systeme Systeme mit zwei Zustandsvariablen -> Zustand wird durch Zahlenpaar (Punkt) beschrieben Zustandsraum ist eine Ebene, die "Zustandsebene" Systemzustand entspricht genau einem Punkt in der Zustandsebene
- Zustandsraum höherdimensionaler Systeme Systeme mit n Zustandsvariablen -> Zustandsraum ist n-dimensional Zustand wird durch einen Punkt/Vektor beschrieben
- Veränderung Veränderung = Bewegung im Zustandsraum
- Aufstellen von Differentialgleichungen Veränderungsrate entspricht der zeitlichen Ableitung dx(t)/dt = x'(t)
- Geometrische Darstellung von Differentialgleichungen Bis jetzt: Wir können Systemzustände & Veränderungen, sowie ihre Ursachen Beschreiben Nun: Wir sehen die Änderungsrate als Veränderungsvorschrift für x
- Tangentialraum Bestimmbar für eine Dimension Ist die Menge aller möglichen Veränderungsraten Tangentialraum != Zustandsraum
- Veränderungsrate bestimmen Wert der Veränderungsrate x' lässt sich aus Phasenkurve ablesen Vorzeichen von x' bestimmt die Richtung und |x'| die Länge des Vektors
- Phasenliniendiagramm Vektorlänge ist weniger interessant, sondern Relevanz hat nun das Vektorvorzeichen eignen sich besonders gut um das Verhalten von Wachstumsmodellen einer Zustandsgröße zu analysieren, insbesondere lässt sich feststellen: Gleichgewichtspunkte Stabilität der GGP's Wächst oder fällt der Bestand & wie stark tut er dies
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- Phasenliniendiagramm - Kochrezept Skizziere dx/dt als Funktion von t Zeichne eine zusätzliche horizontale Linie unter die horizontale Achse Markiere die Gleichgewichtspunkte (x = x* so dass dx/dt = 0) Wo dx/dt > 0 zeichne Pfeil nach Rechts Wo dx/dt < 0 zeichne Pfeil nach Links x* ist stabil wenn Pfeile zu ihm zeigen
- Vektorfeld Jedem Punkt im zweidimensionalen Zustandsraum ist nun ein zweidimensionaler Vektor zugeordnet
- Gleichgewichtspunkte sind Punkte in denen sich die Zustandsgröße nicht mehr ändert -> (Fließ-)gleichgweicht, stationärer Zustand, Fixpunkt Wie lassen sich GGP's finden? Numerisch -> PC berechnet GGP's (ABER unexakt, da lediglich Annäherung) Analytische Lösung -> Diffenretialgleichung aufstellen, Null setzen & Auflösen Algebraische Lösung -> wie analytische Lösung, aber mit Variablen statt Werten
- Trajektorien sind Abfolge aller Zustände im Zustandsraum, ausgehend von einer Anfangsbedingung: {x(t) | t > 0, x(0)=x0} gibt alle Zustände im Laufe der Zeit an werden vom Vektorfeld angetrieben -> kennen wir das Vektorfeld, können wir die Trajektorien vorhersagen
- Explizite Lösung von Differentialgleichungen Bedeutet, dass x' = x, als Ab- & Aufleitung gleich sind (e-Funktion) Ist eindeutig lösbar, wenn eine Anfangsbedingung existiert
- Klassifikation von Differentialgleichungen gewöhnlich: Ableitungen hängen von nur einer unabhängigen Variablen ab (t) bei partiellen Differentialgleichungen gibt es zusätzliche Ableitungen 1. Ordnung: es kommt nur die erste Ableitung vor linear: alle Terme in der Gleichung sind linear nichtlinear: mindestens ein nichtlinearer Term kommt vor autonom: die rechte Seite der Gleichung ist nicht explizit von der Zeit abhängig
- Numerische Lösung von Differentialgleichungen (Beispiel) Bsp.: Euler-Verfahren: Starte an der Anfangsbedingung x0 Berechne x1 = x0 + Δt * f(x0); Δt = Schrittweite Wiederhole Schritt 2 mit x1 anstatt x0 Änderung Δt: größere Schrittweite = ungenauer & schneller kleinere Schrittweite = genauer & langsamer