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Angewandte Statistik (Fach) / Lektion 05 (Auswertung von zweidimensionalen Daten) (Lektion)

Diese Lektion wurde von Dennis1602 erstellt.

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• Allgemein - Beispiel Aktie Adidas und DAX-index - alle Schlussstände des DAX und Adidas - Besteht zwischen den zwei Merkmalen eine lineare Abhängigkeitsbeziehung und wire stark ist sie ggf.? - d.h. Steigen Kurse der Einzelaktien immer, wenn der DAX steigt oder gibt es auch umgekehrte Verhalten? - Kovarianz zwischen beiden Zeitreihen 257 (da positiv, besteht positiver Zusammenhang zwischen beiden Zeitreihen), immer wenn Index steigt, steigt auch Adidas - Korrelationskoeffizient sagt zusätzlich etwas über Stärke des Zusammenhangs aus - Wert bei 0,88 (nahe 1), also sehr starker Zusammenhang zwischen DAX und Adidas
• Kovarianz (Beispiel Stichprobe B) - Auswertung von umfangreichen Stichproben ergeben 4 Streuungsdiagramme, diese werden betrachtet - für das Folgende wird vorausgesetzt, dass alle Merkmale auf einer Verhältnisskala dargestellt sind: alle Rechenoperationen zulässig - Stichprobe B: -- y-Werte steigen mit steigendem x-Wert -> wenn x-Wert eines Punktes größer ist, als der x-Mittelwert, dann ist auch der y-Wert größer als der y-Mittelwert -- Punktwolke von links unten nach recht oben -- Produkte (xi - xquer) * (yi - yquer) sind überwiegend positiv (Produkt zweier positiver Zahlen oder Produkt zweier negativer Zahlen) -- wäre die Punktwolke umgekehrt von links oben nach rechts unten, wären Produkte überwiegend negativ -- wenn zu allen x-Werten gleich häufig y-Werte oberhalb und unterhalb des Mittels vorhanden wären, würden sich positive und negative Produkte ausgleichen - Berechnung Kovarianz der Stichprobe B anhand der zugrundeliegenden Daten: sxy = 0,035  -- positiver Wert, entspricht den Erwartungen -- aber keinen Anhaltspunkt, ob großer oder kleiner Wert, starker oder schwacher Zusammenhang, Größenordnung der Urdaten -- erfahren wir die anderen Kovarianzen der anderen Stichproben, können wir zumindest erkennen, dass sie deutlich kleiner sind -> sxy(A) = -0,011 / sxy(C) = 0,008 / sxy(D)=0,006
• Kovarianz - Maß für näherungsweise lineare Abhängigkeit -> Kovarianz - Kann positive/negative Werte annehmen, - Verwendung als Maß bei Beobachtungen mit zwei Merkmalen - Maß für lineare Beziehung von zwei Merkmalen - einzelne Kennzahl kann noch nicht wirkliche Aussage treffen ob größer oder kleiner Zusammenhang besteht - Kovarianz der Grundgesamtheit: sigmaxy = (Summe (xi - Mühx) * (yi - Mühy)) / N - Kovarianz der Stichprobe: sxy = (Summe (xi - xquer) * (yi - yquer)) / n-1
• Pearsons Korrelationskoeffizient - Kovarianz gibt nur einen Hinweis, ob zwischen den Merkmalen eine positive, eine negative oder gar keine lineare Relation existiert -> Maßzahl muss mit anderen Maßzahlen der Verteilung ins Verhältnis gesetzt werden um bessere Aussage zu generieren - KK erlaubt es die "Güte" der Korrelation zu beurteilen - misst die Konzentration der Datenpunktwolke um eine Gerade und damit die Stärtke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen - Produkt der Standardabweichungen der x- und y-Werte -> Korrelationseffizient nach Pearson - Maß für lineare Abhängigkeit/Beziehung von zwei Merkmalen - Eingesetzt als Maß bei Beobachtungen mit zwei Merkmalen (für welche Merkmalspaare geeignet? -> Skalenniveau beachten, z.B. beide Merkmale sind metrisch) - Kann positive/negative Werte annehmen, nur Werte zwischen -1 und +1 - Korrelationskoeffizient der GG: pxy = sigmaxy / (sigmax * sigmay) - Korrelationskoeffizient der Stichprobe: rxy = sxy / (sx * sy) - Werte liegen immer zwischen -1 und +1 -- in der Nähe von +1 -> positive Steigung (starker positiver Zusammenhang) -- in der Nähe von -1 -> negative Steigung (starker negativer Zusammenhang) -- in der Nähe von Null -> keine Korrelation - Korrelationseffizient macht eine Aussage über die Nähe der Punktwolke zu einer Approximationsgeraden und damit über die Stärke des linearen Zusammenhangs, nicht über die Steigung der Geraden!
• Pearsons Korrelationskoeffizient (Beispiel) - Korrelationskoeffizienten (Koeff) zu den Streuungsdiagrammen: -- rxy(A) = -0,04 / rxy(B) = 0,81 / rxy(C) = -0,07 / rxy(D) = 0,07 -- Verteilung B hebt sich stark von den anderen ab -- A sehr kleiner Koeff, obwohl Punktewolke eine funktionale Abhängigkeit der y-Werte von den x-Werten erkennen lässt -> aber Abhängigkeit nicht linear! - eine hohe Korrelation sagt etwas über die objektiv vorgefundene Beziehung zwischen den Merkmalswerten -> kausaler Zusammenhang -> aber nicht logisch zwingende Folgerung, dass ein kausaler Zusammenhang (Ursache-Wirkungsverhältnis) bestehen muss - zurück zu vorherigem Beispiel (ergänzt um zusätzliche Rechenschritte) -- Beispiel 3 ist raus, denn wenn Kovarianz 0 ist, muss auch der Koeff 0 sein -- Größenordnung der Ausgangswerte spielt keine Rolle mehr (anders als bei Kovarianz) -- neben Unterscheidung positiv/negativ wird auch die Qualität der Linearität erkennbar -- Beispiel 1 mit 0,67 mittelstarke positive Abhängigkeit -- Beispiel 2 mit -0,94 sehr starke negative Abhängigkeit

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