Psychologie (Fach) / Vorlesung 8 (Lektion)

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• Nenne die notwendige und die hinreichende Voraussetzung für die Modellidentifikation 1. Notwendige Voraussetzung: df > = 0, wenn diese Voraussetzung nicht erfüllt ist, muss man das Strukturgleichungsmodell nicht rechnen. 2. Hinreichende Voraussetzung: alle Teilsysteme (Mess- + Strukturmodelle) sind identifizierbar.
• Nenne die Fausregel zur Identifikation von einem Modell  s = p(p+1)2 = Anzahl der Elemente einer Kovarianz-/Korrelationsmatrix (p =Anzahl der Items/Variablen) t = Anzahl der zu schätzenden Parameter --> df = s-t → Je weniger Paramter man zu schätzen hat, desto mehr Freiheitsgerade hat man, umso schlechter ist das Modell anzupassen. Weil es mehr festgelegte Parameter gibt, die man nicht mehr ändern kann.
• Wann ist ein Modell unteridentifizierbar/nicht schätzbar? Wenn s < t  →  df < 0 Wenn man mehr zu schätzende Parameter hat, als die Informationen der Varianz-/Kovarianzmatrix (also Anzahl der Elemente der Matriz ist kleiner als die Anzahl der zu schätzende Parameter)
• Wann ist ein Modell gerade identifiziert? Wenn s = t → df = 0 Wenn man genauso viele zu schätzende Parameter wie die Informationen der Varianz-/Kovarianzmatrix Also die Anzahl der Elemente der Matriz = Anzahl der zu schätzender Parameter --> Die Parameter können eindeutig geschätzt werden, man hat genau eine Lösung z.B. ein Modell mit nur 2 Beobachtungen ♠ Problem: Eine Signifikanzüberprüfung ist nicht möglich. Man hat keine überschüssige Informationen, das Modell stimmt immer. → Solches Modell ist für uns nutzlos!!
• Wann ist ein Modell überidentifiziert? Wenn s > t → df > 0 Man hat mehr Informationen der Varianzmatrix als die Anzahl der zu schätzenden Parameter Die Parameter können eindeutig eingeschätzt werden,anhand der Minimierung der Diskrepanzfunktion. Ein Signifikanzprüfung ist möglich. --> Solches Modell brauchen wir!!!
• Was kann man machen, wenn das Modell unteridentifizierbar ist, um das Modell wieder anpssen zu können? Wenn df < 0, d.h. unteridentifizierbar ist, dann muss man in der Regel nicht damit anfangen, dies anzupassen → Lösung: Man restringierte bestimmte Parameter, um das Modell identifizierbar zu machen.
• Nenne 3 Arten von den zu schätzenden Parameter (Arten der Restriktionen von Parametern) Freie Parameter: keine Restriktionen, freie Schätzung des Parameters. Man schätzt anhand der vorliegenden Daten z.B. die Korrelation zwischen den Parametern Festsetzen einzelner Parameter auf einen bestimmten Beitrag (z.B. Man setzt die Korrelation zwischen η1 und η2 = .20 fest) Festsetzen mehrerer Parameter auf den gleichen zu schätzenden Wert (z.B. man setzt die Fehlerterme der 4 manifesten Variablen X1...X4 auf den gleichen zu schätzenden Wert ε)
• Unter welchen Umständen können ein unrestringiertes Modell und ein restringiertes Modell den gleichen Wert für die Diskrepanzfunktion bekommen? z.B. Modell 1 = unrestringiertes Modell, Modell 2: gleiche Struktur wie Modell 1 nur Cov(eta1, eta2) = 2 → Modell 2 ist genestet in Modell 1 Damit die beiden Modelle den gleichen Wert bekommen für die Diskrepanzfunktion schätzt man für Cov(eta1, eta2) einen Wert 2.
• X²-Test für das Strukturgleichungsmodell (zur Überprüfung des angenommenen Modells, also ob die in der Population beobachteten Matrix mit der theoretisch erzeugten Matrix übereinstimmen) H0: die modellimplizierte Kovarianzmatrix ∑(θ) stimmt mit der Populationskovarianzmatrix ∑ überein --> Man hat hier einen Test für die Nullhypothese. Teststatistik:  X²M =(n-1)Dmin die Teststatistik ist X²(df) verteilt n =Stichprobengröße Dmin ist das Miminum der Diskrepanzfunktion df = Anzahl der Freiheitsgerade des Modells →je größer n desto größer X²M →Beispiel: Man nimmt ein Modell mit einem Faktor an --> df des Modells = 1. Ab welchen Wert der X²M ist das Modell schlecht? X²(1) > 4 (dann liegt der Wert schon z = 2SD enfernt vom Erwartungswert)  --> Das Modell mit einem Modell passt nicht.
• Beschreib das R-Output für den X²-Test für das folgende Modell modell1= 'q1~n1' fit = sem(model = modell1, data =kft) summary(fit, standardized = T) Output: Estimator                                      ML Minimum Function Test Statistic   0.000 Degrees of freedom                      0 Das Modell nimmt an, dass q1 durch n1 vorhergesagt wird. Der verwendete Schätzer = ML als Voreinstellung von lavaan. Miminum Function Test Statistic (Teststatistik mit dem Minimum der Diskrepanzfunktion) X²M = (n-1)Dmin = 0 --> Das Modell ist gerade identifiziert (so viele Gleichung wie unbekannte) und hat deswegen keine df. Man hat hier genau eine Lösung
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• Nenne 2 Nachteil des X²-Test für das Strukturgleichungsmodell Widerspricht dem Prinzip der Sparsamkeit: Die Verteilug der Teststatistik gilt nur asymptotisch --> Große Stichprobe ist daher erforderlich, damit man den Test überhaupt vornehmen kann X²-Test bevorzugt hinreichend komplexe Modelle Bei großen Stichproben wird X²-Test schnell signifikant: Bei großen Stichproben nimmt die Teststatistik zu, sodass selbst kleine Unterschiede signfikant werden, weil man eine komplexe Realität abbildet.
• Was besagen die Fit-Indizes? Die Fit-Indizes quantifizieren den Grad der Modellanpassung (Anpassungstest mit den Fit-Indizes als Teststatistik) →Ist analog zu R² Es gibt 2  Arten von Fit-Indizes absolute Fit-Indizes inkrementelle Fit-Indizes
• Was sind absolute Fit-Indizes? Absolute Fit-Indizes sind direkte Maße dafür, inwieweit ein Modell die Variabilität der Stichprobendaten reduzieren kann (wie gut stimmt die theoretisch erzeugte Korrelationsmatrix und die beobachte Korrelationsmatrix) --> Der Wert der absoluten Fit-Indizes sollte möglichst klein sein, damit der Unterschied zwischen beider Matrizen (und somit die Residualmatrix) möglichst klein sein. --> Deswegen sollen die Werte von RMSEA und SRMR < 0.05 bleiben
• Was sind die inkrementellen Fit-Indizes? Die Fit-Indizes stellt einen Vergleich des angenommenen Modells mit einem stärker eingeschränkten/restringierten Baseline -Modell dar. (Passung des Zilemodells im Vergleich zur Passung des Nullmodells) Das Baseline-Modell ist das Nullmodell oder Unabhängikeitsmodell → der Wert der Fit-Indizes sollte möglichst groß sein, damit der Utnerschied zwischen der Passung der Zielmodells zum Baseline-Modell möglichst groß wird. →Die Werte sollte > 0.95 sein.
• Was ist das Unabhängigkeitsmodell? Das ist das einfachste und restriktive Modell und besagt, dass alle beobachteten Variablen exisitieren, haben eine Varianz > 0, sind jedoch nicht miteinander abhängig. Dieses Modell hat deswegen einen schlechten Fit. Bei den inkrementellen Fit-Indizes vergleicht man das Zielmodell mit dem Unabhängigkeitsmodell.
• Was ist ein saturiertes Modell? Ein saturiertes Modell ist ein exakt definiertes Modell, mit dem die Kovarianzmatrix exakt reprodiziert werden kann. Dieses Modell hat wenig Modellbeschränkungen hat einen exakten Fit, da die Differenz zwischen der theoretisch erzeugten und der beobachten Matrix das Nullmodell ist. ist das beste Modell
• RMSEA ist ein absoluter Fit-Index hat einen Wertebereich [0,1], wobei 0 der optimale Wert ist. Faustregel: RMSEA < 0.05 guter Fit, 0.05 < RMSEA <0.08 akzeptable, >.10 schlechter Fit RMSEA = √max(X²M -dfM, 0)/dfM*(N-1) Im Nenner nimmt man den schlechtesten Fit/Maximum = dfM  * (N-1) →RMSEA = 0, wenn X²M< dfM --> im Zähler wird die 0 genommen. →Logik: wenn X²M< dfM, dann wird der Zähler negativ und das Maximum von Zähler wird 0 sein.
• SRMR ist ein absoluter Fit-Index mit Wertebereich [0,1] -> ist ein normiertes Maß SRMR gibt den Wurzel des Mittelwerts der quadreiten Abweichung zwischen beobachten und theoretisch erzeugten Matrizen wieder (also Summe der quadrieten Elemente der Residualkorrelationsmatrix inklusiv Diagonale/Anzahl aller Elemente der Residualkorrelationsmatrix --> Deswegen Mittelwert) SMRM < 0.05 = guter Fit
• CFI ist ein inkrementeller Fit-Index mit dem Wertebreich zwischen [0,1] wobei 1 der optimale Wert ist. CFI vergleicht das Zielmoell mit dem Nullmodell, bei dem alle Variablen unkorreliert sind (erklärt das angenommene Modell mehr als das Nullmodell) CFI = 1- [max(X²M-dfM,0)/max(X²mM- dfM, X²N-dfN)] → Wenn [ ] = 0 --> CFT = 1 optimaler Fit (d.h. wenn X²M < dfM) → Wenn X²N-dfN kleiner wird, dann wird Zähler und Nenner vom [ ] ähnlicher --> CFI schlechter Faustregel 0.90 <= CF <= 0.95: akzeptabel CFI > 0.95 gut
• Tucker-Lewis-Index TLI ist ein inkrementeller Fit-Index, der nicht normiert ist --> kann Werte größer als 1 annehmen. TLI = (X²N/dfN - X²M/dfM)/(X²N/dfN-1) --> Wenn das Verhältnis des Nullmodells X²N/dfN groß ist, dann wird Zähler größer und Nenner kleiner --> TLI wird größer und man hat eine bessere Anpassung. TLI> 0.95 gut
• Likelihood-Quotiententest (X²-Differenztest) In diesem Test wird beide Modell M1 und M2 miteinander verglichen und nicht mit den echten Daten --> Deswegen Differenztest M1: nicht restringiertes Modell M2: restringiertes Modell --> hat mehr df H0: Restriktion stimmt (also das restringierte Modell passt besser) H1: Restriktion stimmt nicht →Teststatistik: Differenz der beiden X²-Werte X²M2 - X²M1 ~ X²(r)  r = df2-df1
• Nenne 3 Anwendungen vom Likelihood-Quotienten-Test Überprüfen, ob über verschiedene Gruppen hinweg die gleiche Struktur anzuwenden ist (z.B. Unterschiede in der IQ zwischen Frauen und Männern) Längstschnittuntersuchung Veränderung von Konstrukten über die Zeit (über mehrere Messzeitpunkte)
• Beispiel für die Berechnung des Likelihood-Quotienten Tests Modell1 = '                                           Modell 2 = ' # messmodell                                     #restringiertes Modell q =~ q1 + q3                                      q =~ q1 + q3 n=~ n1+n3                                          n=~ n1+n3  #Strukturmodell q~n'                                                   q~ 0.2*n --> Modell 2 ist genestet in Modell 1 X²M1 = 0.02, df = 1 X²M2 = 31.806, df = 2 --> X²(2-1) = 31.806 -0.02 = 31.804 (hoch signifikant) --> Durch die Restriktion ist die Anpassung viel schlechter geworden. H0 β = 0.2 ist zu verwerfen.

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