Statistik III (Fach) / Drei Sätze der Statistik (Lektion)

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• Was besagt Das Gesetz der großen Zahlen? Mit größerem Stichprobenumfang wird die Streuung der Mittelwerte um den Erwartungswert kleiner. Var(Xquer) = Var(1/n*Summei=1,n Xi) = 1/n2*Summei=1,nVar(Xi) = σ2/n E(Xquer) = E(1/n*Summei=1,n Xi) = 1/n*Summei=1,nE(Xi) = 1/n*nμ = μ Daher Gesetz der großen Zahlen: Mit wachsendem Stichprobenumfang n wird die Wahrscheinlichkeit sehr groß ("geht gegen eins"), einen Wert für Xquer nahe μ zu beobachten. Formal: Für beliebig kleines c > 0 gilt: P(ΙXquer,n - μΙ ≤ c) für n→oo d.h. "Xquer,n konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen μ"
• Was besagt der Hauptsatz der Statistik? Für iid verteilte Xi konvergiert die empirische Verteilungsfunktion Fn(x) gegen F(x), die Verteilungsfunktion von X. Wichitg, da sich empirische Verteilung der theoretischen Verteilung für größer werdende Stichproben annähert.  
• Was besagt der Hauptsatz der Statistik bei binären Variablen? Ein wichtiges Ergebnis der Statistik ist ("Theorem von Bernoulli"): Die relative Häufigkeit, mit der ein Ereignis A bei n unabhängigen Wiederholungen des Zufallsvorgangs eintritt, konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen P(A).
• Was besagt der zentrale Grenzwertsatz? Die empirische Verteilungsfunktion der standardisierten Mittelwerte Zn=(Xquer - μ)/(σ/√n) = 1/√n*Summei=1,n((Xi-μ)/σ) konvergiert für wachsenden Stichprobenumfrang n gegen die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Etwas ungenau ausgrdrückt: Die Verteilung des Mittelwerts von beliebig iid-verteilten ZV geht gegen die Normalverteilung mit Erwartungswert μ und Varianz σ2/n.
• Was ist durch den zentralen Grenzwertsatz für beliebig iid-verteilte ZV bei hinreichend großem Stichprobenumfang möglich? Wahrscheinlichkeitsbehaftete Aussagen über den Erwartungswert sind möglich, da durch Normalverteilung approximiert werden kann.
• Wie können mithilfe der drei Sätze der Statistik Schlüsse von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit begründet werden? Über Eigenschaften der Stichprobenfunktion T= g(X1,...,Xn), wie z.B. den Erwartungswert, werden wahrscheinlichkeitsbehaftete Aussagen über den entsprechenden Kennwert möglich. Die drei Sätze helfen dabei von Verteilungsaussagen der Stichprobenvariablen zu Verteilungsaussagen über Stichprobenfunktionen zu kommen.
• Was ist die zentrale Annahme der Sätze? Die in der Zufallsstichprobe beobachteten Werte sind Realisationen von Zufallsvariablen sind, die ihrerseit unabhängig sind und alle dieselbe Verteilung besitzen und damit auch denselben Erwartungswert und dieselbe Varianz.   X1, ..., Xn sind unabhängig und identisch verteilt, iid
• Das Gesetz der großen Zahlen ist auch gültig, wenn welche Voraussetzung abgeschwächt wird? Unabhängigkeitsannahme
• Der Hauptsatz der Statistik ist auch gültig, wenn welche Voraussetzung abgeschwächt wird? Unabhängigkeitsannahme
• Der zentrale Grenzwertsatz ist auch gültig, wenn welche Voraussetzung abgeschwächt wird? Unabhängigkeitsannahme Annahme identischer Verteilungen

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