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Forschungsmethoden der Psychologie (Fach) / Nonparametrische Tests (Lektion)

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• Wann werden verteilungsfreie Verfahren eingsetzt? Wenn Vss der parametrischen Tests nicht erfüllt sind... NV der Residuen Stichprobengröße zu klein Skalenniveau nicht metrisch, etwa Häufigkeiten oder Rangdaten --> Einsatz von verteilungsfreien Verfahren
• Nonparametrische (Verteilungsfreie) Verfahren: Definition Die Domäne der nonparametrischen Statistik sind hypothesenprüfende Untersuchungen von nicht normalverteilten Merkmalen mit kleinen Stichproben. Im weiteren Verständnis zählen zu nonparametrischen Verfahren auch alle Methoden zur Analyse von Häufigkeiten --> setzen keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraus
• Parametrische Verfahren: Definition Statistische Verfahren bzw. Signifikanztests, die an bestimmte Verteiilungsformen der Stichprobenkennwerte gebunden sind (z.B. t-Test, F-Test). Im Unterschied zu nonparametrischen Verfahren setzen parametrische Verfahren größere Stichproben voraus. V.a. bei kleinen Stichporben müssen die Daten für eine parametrische Auswertung bestimmte Vss erfüllen (NV, Varianzhomogenität etc.)
• Vorteile nonparametrischer Testverfahren nur bescheidene Vss (z.B. keie Varianzhomogenität) auch bei Unklarheit über Skalenniveau einsetzbar besonders geeignet für kleine Stichproben relativ einfache Formeln
• Nachteile nonparametrischer Verfahren großer Aufwand für die Berechnung exakter Wsk bei großen Stichproben Teststärke (Power) ist immer geringer als die vergleichbarer parametrischer Tests (bei Vorliegen der Vss) kaum multivariate Verfahren
• Verfahren für Häufigkeitsdaten Entspricht beobachtete Häufigkeit dem erwarteten Wert in der Population? Mögliche Hypothesentests...: Binominalverteilung: Kann die Wsk des Stichprobenergebnisses exakt berechnen, und damit exakte Signifikanztests durchführen Chi²-Test: Kann die Wsk des Stichprobenergebnisses asymptotisch ermitteln
• Chi²-Verfahren Gruppe von Verfahren zur statistischen Analyse von Häufigkeitsverteilungen, bei denen immer die empirisch beobachteten Häufigkeiten mit den gemäß H0 erwarteten Häufigkeiten verglichen werden. Man unterscheidet.... eindimensionale Chi²-Verfahren (z.B. zur Überprüfung der Frage, ob ein Merkmal gleichverteilt oder normalverteilt ist); zweidimensionale Chi²-Verfahren (zur Überprüfung der Frage, ob 2 Merkmale abhängig oder unabhängig voneinander sind) mehrdimensionale Chi²-Verfahren (z.B. die Konfigurationsfrequenzanalyse, KFA, die überprüft, welche Merkmalskomis über- bzw. unterrepräsentiert sind)
• Vergleich mit einer erwarteten Häufigkeitsverteilung asymptotischer Chi²Test
• Vergleich von unabhängigen Stichproben oder Merkmalen Unterscheiden sich beobachtete Häufigkeiten aus zwei unabhängigen Stichproben? Fisher-Yates-Test (4-Felder-Chi²-Test) Beispiel: Zeigen Probanden nach einer Therapie weniger Symptome als Probanden in einer Kontrollgruppe ohne Therapie? Nullhypothese: Es gibt keinen Zsh. zwischen den Stichproben bzgl. des untersuchten Merkmals
• Vergleich von 2 abhängigen Stichproben McNemar Test z.B.: Unterscheidet sich ein Merkmal aus zwei abhängigen Stichproben? --> Nimmt die Zahl der Patienten, die Beschwerden berichten, während der Behandlung ab? Ho: Die Häufigkeit von Beschwerden ändert sich nicht Idee des Tests: Durch Zufall würden genauso viele sinnvolle "spontane remissionen" eintreten wie "spontane Verschlechterungen" Wsk von Zelle c und b unterscheidet sich nicht, ihre Erwartungswerte berechnet man: eb = ec = (b+c)/2 Wenn alle Beobachtungen eindeutig einer Zelle zugeordnet werden können und die erwartete Zellhäufigkeit ausreichend groß (alle Zellen größer gleich 5) sind, ist die Prüfgröße asymptotisch Chi²-verteilt mit df=1
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• Signifikanzprüfung, Teststärke und Stichprobenplanung bei nonparametrischen Tests Auch für nonparametrische Tests lässt sich die Teststärke bestimmen, wenn die Effektstärke bekannt ist und spezifische Alternativhypothesen gebildet werden können. Ebenso lassen sich erforderliche Stichporbengrößen bestimmen, um bei einem erwarteten Effekt mit festgelegtem alpha und mit festgelegter Teststärke zu testen
• Testmethoden für Rangdaten: Vergleich zweier unabhängiger Stichproben Mediantest U-Test von Mann-Whitney Pretest-Posttest-Pläne für 2 unabhängige Stichporben (Solomon-Pläne)
• Testmethoden für Rangdaten: Vergleich mehrerer unabhängiger Stichproben Erweiterung des Mediantests H-Test (Kruskal und Wallis) Trendtest von Jonckheere Auswertung von 2x2-Plänen nach Brunner und Munzel Pretest-Posttest-Pläne für k unabhängige Stichproben
• Vergleich zweier abhängiger Stichproben Vorzeichentest Wilcoxon-Vorzeichentest Vergleich zweier abhängiger Stichproben nach Brunner und Langer
• Testmethoden für Rangdaten: Vergleich mehrerer abhängiger Stichproben Rangvarianzanalyse von Friedmann Trendtest von Page Auswertung von 2x2 Plänen mit Messwiederholung nach Brunner und Langer
• Tetsmethoden für Rangdaten: Beurteilung von Verlaufskurven Der T1-Test für den Behandlungs-Kontrollgruppen-Vergleich Der T2-Test für den Vor-und Nachbehandlungs-Vergleich
• Testmethoden für Kardinaldaten: Vergleich zwei oder mehrerer Stichproben Fisher-Pitmans-Randomisierungstest für 2 unabhängige Stichporben Fishers Randomisierungstest für 2 abhängige Stichproben Mehrstichprobenextension Kolmogorov-Smirnov-Omnibustest (KSO) KSO-Test für "Überlebenskurve"
• Testmethoden für Kardinaldaten: Vergleich einer beobachteten Verteilung mit erwarteten Verteilung Kolmogoroff-Smirnov-Anpassungstest (KSA-Test) KSA-Test mit Lillifors-Schranken
• Mediantest für Ordinaldaten Unterscheiden sich zwei Stichproben in ihrem Median, d.h. stammen zwei Stichproben aus Populationen mit dem selben Median? Testidee: Auszählen der Häufigkeiten von Beobachtungen unter und über dem Median für beide Stichproben Prüfgröße: Chi² mit df = 1 Eigenschaftn Durch das Auszählen von Beobachtungen über/unter dem Median wird wenig statistische Info verwendet, die Ranginfos werden nicht genutzt Test hat daher wenig Teststärke sehr robust bei Ausreißern und kleinen Stichporben wenn zuverlässige Ranginformationen vorliegen, kann der U-Test von Mann und Whitney verwendet werden (entspricht dem Wilcoxon Test)
• Erweiterung des Mediantest Rangdaten mehr als 2 unabhängige Stichproben es werden ebenfalls die Beobachtungen über und unter dem Median gezählt Die Auswertung erfolgt: über den exakten Freeman-Halton Test (bei sehr kleinen Stichproben) oder über den k x 2 Chi²-Test auf Unabhängigkeit
• U-Test für Rangdaten = es kann überprüft werden, ob die mediane sich unterscheiden (zweiseitig) oder ob ein Median größer als der andere ist (einseitig) Beispiel: Es interessiere der Intelligenzquotient in 2 Populationen A und B. Aus der Population A zieht man eine Stichprobe der Länge N(A)=12, aus Pop B eine Stichprobe der Länge N(B)=15 H0: beide Stichproben stammen aus Populationen mit demselben Median H1: Mediane unterscheiden sich, oder H1: Median A ist größer (kleiner) als Median B Ablauf: ordnen der Messwerte (=Intelligenzquotienten) beider Stichproben der Größe nach Für jede Person werden nach den Werten für beide Stichproben gemeinsam Rangplätze vergeben die Summe aller Rangplätze wird mit T(A) bzw T(B) bezeichnet Berechnung der Prüfgröße U (=Summe über Rangplatzunterschreitungen) Rangplatzunterschreitungen werden für jede Person der Stichprobe A berechnet --> Wie viele Personen in der Stichprobe B haben jeweils einen höheren Rangplatz Formel zur Berechnung der Prüfgröße U: U = N(A) x N(B) + (N(A) x (N(A) + 1)/2 - T(A) kritische Werte eines exakten Tests liegen für kleinere Stichproben tabelliert vor Für die Prüfgröße U haben Mann und Whitney gezeigt, dass sie für größere Stichproben (N(A) oder (B) > 10) annähernd normalverteilt ist Zur Bestimmung der kritischen Werte lassen sich die Parameter μ (U) oder σ (U) dieser NV schätzen μ (U) = Unter der Null-Hypothese erwartet man, dass in der Stichprobe A weder mehr niedrige noch mehr höhere Rangplätze auftreten als in Stichprobe A. Im Durchschnitt errwartet man also für jede Person von Stichprobe A, dass ihr Rang von der Hälfte der Personen in Stichprobe B überschritten bzw unterschritten wird Analog zum U-Wert lässt sich U' berechnen, der sich mit der Rangsumme T(B) für Stichprobe B ergibt U-Test ist bzgl. der beiden Stichproben symmetrisch U kann nur ganzzahlige Werte annehmen Frage, ob die Werte von Stichprobe A von der Tendenz her größer sind als die von Stichprobe B entspricht einer linksseitigen Fragestellung Man vergleicht den empirischen Wert U oder U' mit dem kritischen U-Wert, der zum kritischen Wert -1,65 berechnet wird (Alpha = 0,05) Wenn beobachtete U-Wert für Stichporbe A kleiner ist, als der kritische Wert, dann wird H0 verworfen
• U-Test bei verbundenen Rängen Beispiel: Fehlerprozentwerte im Pauli-Test gleiches Prinzip Bei verbundenen Rängen muss die Schätzung für die Streuung σ(U) der U-Verteilung korrigiert werden
• H-Test von Kruskal und Wallis = Erweiterung des U-Tests auf k unabhängige Stichproben H-Statistik berechnet sich aus den Rangsummen und ist asymptotisch Chi²-verteilt mit df = k - 1 Anschließend können Einzelvergleiche getestet werden Mit der Auswertung von 2x2 Plänen nach Brunner und Munzel (2002) können Haupteffekte und Interaktionen in Rangdaten untersucht werden
• Prä-Posttest-Pläne für 2 unabhängige Stichproben Frage: Unterscheiden sich die Veränderungen zwischen Vortest und Nachtest zwischen einer Experimentalgruppe und einer Kontrollgruppe? Zur Überprüfung: werden Differenzen zwischen Vor-und Nachtest für jeden Probanden gebildet und anschließend Mit einem U-Test zwischen den beiden gruppen verglichen Dieser Test macht keine Verteilungsannahmen, jedoch müssen die Differenzen zwischen Vortest und nachtest in der AV gebildet werden können Für mehr als 2 Stichproben können die Differenzen mit einem H-Test auf Unterschiede getestet werden
• Der Vorzeichentest Vergleich abhängiger Stichproben sehr voraussetzungsarm Test für Veränderungen Vss: eine Veränderung lässt sich als positiv oder negativ beurteilen Nullhypothese: Ho: Es gibt keine Veränderungen zwischen den Testungen, die Zahl der "-" ist genauso groß wie  die Zahl der "+" oder Ho: p("-") = 0.5 Test die kritischen Grenzen für x "-" in einer Stichprobe von n Beobachtungen werden mit der Binominalverteilung exakt bestimmt deutlich mehr Informationen verwendet der Vorzeichen-Rangtest von Wilcoxon, welcher einen Rangtest der Differenzen berechnet sind die Differenzen zuverlässig bestimmbar, kann auch ein t-Test für anhängige Stichproben verwendet werden
• Fisher-Pitmans-Randomisierungstest für 2 unabhängige Stichproben Randomisierungstests = exakte Tests für Kardinaldaten mit diesen Tests werden aus den beobachteten Messwerten die Zahl der möglichen Stichproben ausgezählt, die zur Ablehnung der H0 führen Für einen Vergleich zweier Stichproben 1 und 2 mit Mittelwerten m1 und m2 bestimmt man die Zahl der möglichen Stichproben, die im Vergleich zum beobachteten Mittelwert m1 extremere Mittelwerte zeigen Z und gleiche Mittelwerte zeigen z

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