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Wärmetransportphänomene (Fach) / Exerzieren (Lektion)

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• Aufgrund der hohen Beweglichkeit des Elektronengases sind elektrisch leitende Materialien im Allgemeinen auch sehr gute Wärmeleiter. Stimmt: Die frei beweglichen Elektronen im Leitungsband sind sowohl für die hohe elektrische als auch für die hohe thermische Leitfähigkeit von Metallen oder Halbleitern verantwortlich.
• In kristallinen Festkörpern sind die Atome im Kristallgitter fixiert, die mikroskopische Bewegung der Atome und damit auch der Wärmetransport durch Konduktion sind deshalb vernachlässigbar klein. Falsch: Gitterschwingungen ('Phononen') transportieren Wärme sehr effektiv in kristallin geordneten Festkörpern, deren thermische Leitfähigkeit ist deshalbs vergleichsweise hoch.
• Wie der Name schon andeutet, ist der Wärmefluss (Transport von Wärme pro Zeit- und Flächeneinheit) nur bei der Konvektion von Bedeutung. Falsch: Ein 'Fluss' (auch 'Stromdichte') charakterisiert die Intensität des Transports einer Erhaltungsgröße -- unabhängig vom Mechanismus des Transportes (diffusiv, konvektiv, radiativ).
• Ein 'Fluss' (auch 'Stromdichte') charakterisiert die Intensität des Transports einer Erhaltungsgröße -- unabhängig vom Mechanismus des Transportes (diffusiv, konvektiv, radiativ). Richtig: in durchströmten Rohrleitungen dominiert häufig die Konvektion.
• Nochmal die Zentralheizung: Im Kessel bzw. am Heizkörper spielen Wärmeleitung und konvektiver Wärmeübergang eine wichtige Rolle. Richtig: wobei man allerdings noch ergänzen könnte, dass z.B. im Heizkessel bei der übertragung der bei der Verbrennung freigesetzten Wärme die Strahlung eine wichtige Rolle spielt.
• Beim Lagerfeuer wird die von der Verbrennung freigesetzte Wärme durch freie Konvektion an die Indianer / Cowboys / Pfadfinder übertragen. Falsch: wenn dem so wäre, müssten die Indianer / Cowboys / Pfadfinder im Rauch sitzen um sich am Feuer zu wärmen. Die Strahlung ist hier wichtig -- weshalb leider auch der vom Feuer abgewandte Rücken kalt bleibt. Die Zirkulation des Blutes (konvektiver Transport) sorgt hier natürlich für einen gewissen Ausgleich.
• Die Transportkoeffizienten sind Proportionalitätsfaktoren, welche eine Ursache (Temperatur-, Geschwindigkeits- oder Potentialgradient) mit der resultierenden Wirkung (Transport von Wärme, Impuls, elektrische Ladung) ins Verhältnis setzen. Richtig: Die Transportkoeffizienten sind übrigens oft Stoffworte, z.B. Wärmeleitfähigkeit, Viskosität, elektrische Leitfähigkeit, etc.
• In Gasen ist die mittlere freie Weglänge der Moleküle viel größer als in Flüssigkeiten, weshalb bei Ersteren die Wärmeleitung (Konduktion) die Konvektion immer dominiert. Falsch: selbst bei vergleichsweise geringen Strömungsgeschwindigkeiten deutlich unterhalb der Maxwell'schen Geschwindigkeit der Gasmoleküle dominiert häufig die Konvektion. Man kann sich dies wohl mit dem ungerichteten Charakter der Maxwell'schen Geschwindigkeit erklären....
• Man unterscheidet zwischen drei Mechanismen des Wärmetransportes: Wärmestrom, Wärmefluss und Wärmestrahlung. Falsch:Wärmestrom bzw. Wärmefluss charakterisieren die Intensität des Transportes (Erhaltungsgröße pro Zeit bzw. pro Zeit und Fläche). Die drei Mechanismen sind Konduktion (Wärmeleitung), Konvektion (Mitnahme durch strömendes Fluid) und Radiation (Strahlung).
• Wir betrachten einen umströmten Körper, z.B. eine mittels Ventilator gekühlte CPU eines PCs mit beripptem Kühlkörper. Der Wärmeübergangskoeffizienten α, der nur von den Stoffwerten des Fluids und der Temperaturverteilung abhängt, beschreibt den Transport von Wärme von der CPU an die Kühlluft. Falsch: es stimmt zwar, dass der Wärmeübergangskoeffizient α den konvektiven Wärmeübergang von der Oberfläche eines Körpers an ein strömendes Fluid beschreibt. Der Wärmeübergangskoeffizient hängt jedoch -- wie wir noch sehen werden -- ganz entscheidend von der Strömung des Fluids (Geschwindigkeit, Reynoldszahl, usw.) ab.
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• Die RB der dritten Art geht mit anwachsendem Wärmeübergangskoeffizienten α in die RB der ersten Art über. Richtig: bei anwachsendem Wärmeübergangskoeffizienten α wird bei gegebener Wärmestromdichte der Temperaturunterschied zwischen der Oberfläche eines wärmeleitenden Festkörpers und der Umgebung zwangsläufig immer kleiner (Newtonsches Gesetz für den Wärmeübergang), bis sich schließlich Oberflächen- und Umgebungstemperatur nicht mehr merklich unterscheiden. Dies entspricht aber gerade einer RB der ersten Art (Dirichlet-Randbedingung, wie die Mathematiker sagen würden.)
• Die RB der dritten Art nähert sich mit anwachsendem Wärmeübergangskoeffizienten dem Grenzfall der Adiabasie, da die Temperaturdifferenz von der Oberfläche des Körpers zum Fluid gegen Null geht und somit keine Wärme mehr übertragen wird. Falsch: die Temperaturdifferenz zwischen Oberfläche und Fluid wird in der Tat immer kleiner, wie schon in der letzten eXerzitie erläutert. Die Wärmestromdichte - das Produkt aus abnehmender Temperaturdifferenz und anwachsendem Wärmeübergangskoeffizient - muss dabei keineswegs abnehmen.
• Der Wärmeübergangskoeffizient, der ja kein Stoffwert und somit auch keine Konstante ist, wird sich bei der RB der zweiten Art so einstellen, dass der übertragene Wärmestrom gleich der vorgegebenen Leistung ist. Falsch: Bei einer Randbedingung der zweiten Art - also vorgegebener Wärmestromdichte - wird sich die Oberflächentemperatur so einstellen, dass gemäß Newton die Temperaturdifferenz zwischen Oberfläche und Umgebung mal dem Wärmeübergangskoeffizienten gerade gleich der Wärmestromdichte ist.
• Bringt man zwei plattenförmige Festkörper mit unterschiedlicher Wärmeleitfähigkeit λ in thermischen Kontakt, so weist im stationären Fall das Temperaturprofil T(x) an der Kontaktfläche x = 0 einen Knick auf. Richtig: An der Kontaktfläche sind die Wärmestromdichten in den beiden Materialien gleich groß - bei unterschiedlicher Wärmeleitfähigkeit muss deshalb der Temperaturgradient links und rechts der Kontaktfläche verschieden sein.
• Die Temperaturleitfähigkeit a ist eine Art Diffusionskoeffizient für Störungen des Temperaturfeldes. Richtig: das sieht man z.B. an der vereinfachten Form der Gleichung (2.17) für das Temperaturfeld in einem wärmeleitenden Körper.
• Wenn man die Wärmebilanz eines Einfamilienhauses aufstellt, so ist der Kühlschrank in der Küche aufgrund des Wärmedurchgangs bei nicht-idealer Isolation insgesamt als eine Wärmesenke (= negative Wärmequelle) zu betrachten. Falsch: Bei der gesamten Wärmebilanz darf man nicht vergessen, dass das Kühlaggregat des Kühlschranks Wärme an die Umgebung abgibt. Und da der Wirkungsgrad des Kühlaggregats nicht ideal ist, ist diese Wärmequelle zwangsläufig stärker als die Wärmesenke 'Kühlschrankwand'.
• In einem homogen-isotropen Körper zeigt im stationären Zustand das Temperaturprofil zwischen ebenen, parallelen Isothermenflächen einen exponentiellen Abfall. Falsch: in der 'Platte' und damit auch zwischen ebenen, parallelen Isothermenflächen stellt sich unter diesen Umständen ein lineares Temperaturprofil ein, siehe Abb. 3.1 bzw. Gl. (3.3).
• Weil die Mantelfläche einer Zylinderschale proportional zu ihrem Radius zunimmt, muss im stationären Fall (ohne Wärmequellen) die radiale Wärmestromdichte indirekt proportional zum Radius abnehmen, so dass sich ein logarithmischer Temperaturverlauf ergibt. Richtig: die Energieerhaltung verlangt in der Tat einen Verlauf der Wärmestromdichte proportional zu 1/r. Da die Ableitung von ln(r) gerade 1/r ist, folgt mit dem Gesetz von Fourier - Gl. (2.8) - der logarithmische Temperaturverlauf. Siehe auch Gl. (3.6) und (3.7).
• Die Diskussion des kritischen Radius beim Zylinder hat gezeigt, dass mehr Isolationsmaterial, z.B. um ein Heizungsrohr, nicht immer zu reduzierten Wärmeverlusten führt. Dies lässt sich anschaulich wie folgt erklären: Vergrößert man die Dicke des Isolationsmantels, so erhöht man den Wärmeleitwiderstand, verringert aber den Wärmeübergangswiderstand, da die für den konvektiven Wärmeübergang zur Verfügung stehende Mantelfläche ebenfalls zunimmt. Da Wärmeleit- und Wärmeübergangswiderstand in Reihe geschaltet sind, ist eine Verringerung des Gesamtwiderstandes möglich -- unter der Voraussetzung, dass der Wärmeübergang den Gesamtwiderstand dominiert. Richtig: mehr gibt's dazu auch gar nicht zu sagen.
• Der k-Wert ist gleich dem Inversen des soeben angesprochenen Gesamtwiderstandes beim Wärmedurchgang. Falsch: aber zumindest 'beinahe richtig': für den thermischen Gesamtwiderstand (mit Einheit W/K) beim Wärmedurchgang muss gelten R = 1 / (k A ).
• Es sind auch Konfigurationen denkbar, die einer Parallelschaltung von Wärmeleitwiderständen entsprechen. Richtig: siehe z.B. die Übungsaufgabe 12.
• Die Biot-Zahl Bi ≡ α / λ ist das (entdimensionierte) Verhältnis des Wärmeleit- zum Wärmeübergangswiderstand. Richtig: dies erschließt sich aus der Definition der Biot-Zahl, Gl. (3.30).
• Das Anbringen von Isolationsmaterial an einem Rohr lohnt sich bei einer Biot-Zahl Bi < 1 nur, wenn der äußere Radius r2 des Isolationsmaterials größer ist als der kritische Radius rc = r1/Bi. Richtig: dies ist ja gerade des Ergebnis der Überlegungen des Abschnitts 3.2.6 zum kritischen Radius. Allerdings sollte man sich fragen, welche Faktoren denn bei der Frage, ob sich Isolationsmaterial 'lohnt' , berücksichtigt werden sollen? In der Praxis ist es je nach Anwendung möglich, dass die Kosten für das Isolationsmaterial oder die Lohnkosten für das Anbringen der Isolation prohibitiv teuer sind. Es sind auch Anwendungen denkbar, bei denen man mäglichst hohe Wärmedurchgangsraten anstrebt...
• Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Formfaktoren ist eine jeweils einheitliche Temperatur auf den verschiedenen Berandungsflächen. Richtig: und diese Einschränkung sollte man nicht vergessen!
• Das Temperaturmaximum (bezüglich T∞) beträgt im Zylinder das Doppelte desjenigen in der Kugel. Falsch: siehe Gl. (3.32)
• Das Temperaturmaximum (bezüglich T∞) beträgt in der Kugel nur ein Drittel desjenigen in der Platte. Richtig: siehe wieder Gl. (3.32).
• Das Temperaturmaximum bezüglich T∞ ist im Zylinder größer als in der Platte, da die Mantelfläche einer koaxialen Zylinderschale mit dem Radius linear zunimmt und somit die Wärme aus den äußeren Bereichen besser abgeführt werden kann. Falsch: die Überlegungen zur Wärmeabfuhr sind zwar richtig - aber die Schlußfolgerung ist gerade die falsche: Das Temperaturmaximum im Zylinder ist nur halb so groß als in der Platte.
• Wenn der Wärmeleitwiderstand eines Körpers groß ist im Vergleich zum thermischen Widerstand des Wärmeübergangs zwischen dem Körper und seiner Umgebung, so bleibt der Körper in seinem Inneren hinreichend unbeeinflusst von äußeren Temperaturänderungen. Er darf deshalb in seiner Gesamtheit als "wärmekapazitiver Block" von einheitlicher Temperatur betrachtet werden, was die Beschreibung seiner Temperaturentwicklung erleichtert. Falsch: das Wort 'Blockkapazität' mag vielleicht suggerieren, dass ein Körper mit hohem Wärmeleitwiderstand irgendwie als 'wärmekapazitiver Block' betrachtet werden kann. Das wäre aber eine ganz falsche Assoziation, da tatsächlich das Gegenteil der Fall ist: bei geringer Wärmeleitfähigkeit (= hoher Wärmeleitwiderstand) können sich im Körper große Temperaturunterschiede ausbilden, weshalb der Körper eben nicht als ein 'Block' mit einheitlicher Temperataur betrachtet werden darf.
• Wenn der Wärmeleitwiderstand eines Körpers klein ist im Vergleich zum thermischen Widerstand des Wärmeübergangs zwischen dem Körper und seiner Umgebung, so kann der Körper bezüglich seiner internen Temperaturverteilung in guter Näherung analog zum Inneren eines "ideal gerührten Behälters"? behandelt werden. Richtig: so wie im einem ideal gerührten Behälter Temperaturunterschiede durch das Rühren klein gehalten werden, so sorgt in Materialien mit hoher Wärmeleitfähigkeit die Wärmeleitung für eine nahezu einheitliche Temperatur. Nun fragt man sich vielleicht, wie klein denn ein 'kleiner Temperaturunterschied' ist? Nun, man sollte die Temperaturunterschiede im Körper im Verhältnis zur Temperaturdifferenz zwischen Körper und Umgebung betrachten. Wie im Abschnitt gezeigt wurde, verhalten die sich ungefähr wie die Verhältnisse von Wärmeübergangs- und Wärmeleitwiderstand -- weshalb die Biot-Zahl eine so wichtige Rolle spielt (siehe Abschnitt 4.2.1 bzw. 3.3.2).
• Ein "gut gerührter Behälter" verhält sich analog zu einem gut wärmeleitenden Körper (Bi « 1), weil sich aufgrund des Rührens ein besonders hoher Wärmeübergangskoeffizient α an der Behälterinnenwand einstellt. Falsch: aufgrund des Rührens ist der Wärmeausgleich im Behälter besonders effektiv, weshalb das Fluid im Behälter als Blockkapazität mit einheitlicher Temperatur betrachtet werden kann. Der Wärmeübergangskoeffizient α an der Behälterinnenwand wird zwar durch das Rühren erhöht, spielt aber oftmals keine wichtige Rolle, da der Wärmedurchgangskoeffizienten (k-Wert) für die Behälterwand meist von der Wärmeleitfähigkeit der Wand bzw. dem äusseren Wärmeübergangskoeffizienten dominiert wird.
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• Der Thermometerfehler der ersten Art lässt sich minimieren, indem man mit dem Thermometer das sich aufheizende Wasserbad kräftig rührt. Richtig: Durch das Rühren erhöht sich in der Tat der Wärmeübergangskoeffizient am Thermometer wodurch sich der Thermometerfehler verringert (siehe die letzte Gleichung in Abschnitt 4.1.2).
• Je kleiner die Biot-Zahl, desto schneller das exponentielle Abklingen des Temperaturunterschiedes bei der Sprungantwort eines gut wärmeleitenden Körpers. Falsch: Diese Schlussfolgerung erscheint nach Gl. (4.28) falsch, ist trotzdem manchmal richtig -- und streng genommen einfach nicht zulässig. Grund ist, dass z.B. bei einer Änderung des Längenmaßes L sich sowohl die Biot-Zahl als auch die Fourier-Zahl ändert. Es gilt: Bi ~ L, während Fo ~ 1/L² und damit Bi Fo ~ 1/L . In diesem Fall geht also mit verringertem Längenmaß eine kleinere Biot-Zahl und mit exp(-Bi Fo) eine schnellere Abkühlung einher. Betrachtet man hingegen den Wärmeübergangskoeffizienten α mit Bi ~α und Fo unabhängig von α, so verringert sich mit der Biot-Zahl auch die Abkühlungsrate bei abnehmendem Wärmeübergangskoeffizienten.
• Der ideale Strahler ist weiß. Falsch: der ideale (= mit maximaler Intensität strahlende) Strahler ist der so genannte schwarze Strahler.
• Glühwürmchen leuchten nur im Flug, da erst der Flügelschlag einen ausreichend hohen konvektiven Wärmeübergang am Hinterkörper des Insekts ergibt, um den Wärmetod zu vermeiden. Falsch: erstens leuchten paarungswillige Glühwürmchen auch gerne im Geäst sitzend, zweitens ist die so genannte Biolumineszenz eine biochemische Reaktion, bei der die freiwerdende Energie fast ausschliesslich in Licht umgesetzt wird. Mit thermischer Strahlung hat das nichts zu tun, dem entsprechend sind trotz der Intensität und der blau-weißen Tönung des Lichts keine hohen Temperaturen zu erwarten.
• Aus dem Planck'schen Strahlungsgesetz lässt sich durch Integration das Stefan-Boltzmann'sche Gesetz, durch Differentiation das Wien'sche Verschiebungsgesetz ableiten. Richtig: das Stefan-Boltzmann'sche Gesetz beschreibt die über die spektrale Verteilung integrierte Gesamt-Strahlungsintensität, das Wien'sche Gesetz das Maximum der Verteilung (welches sich durch Nullsetzen der Ableitung bestimmen lässt).
• Die spektrale Intensität eλ trägt die Einheit W/m2 (Wärmestrahlungsleistung pro Fläche des strahlenden Körpers). Falsch: die Einheit ist W/m³ -- Wärmestrahlungsleistung pro Fläche und pro Wellenlänge.
• Graue Strahler leuchten mit der gleichen Farbe, jedoch mit geringerer Intensität als ein schwarzer Körper der gleichen Temperatur. Richtig: die Bezeichnung ist insofern in der Tat irreführend.
• Die Sonne ist annähernd schwarz. Richtig: soll heißen: Die Sonne strahlt in guter Näherung wie ein schwarzer Körper mit einer Temperatur von etwa 6000 K.
• Identische Werte für die Koeffizienten von Emission und Absorption dürfen im Allgemeinen nur für einen diffus-grauen Strahler angenommen werden, der sich im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung befindet. Falsch: diese Formulierung findet sich zwar in vielen Lehrbüchern, sie ist aber nicht korrekt, siehe die Diskussion im Abschnitt 5.5
• Der Emissionsgrad ε eines grauen Strahlers mit temperaturunabhängigem spektralem Emissionsgrad ελ ist nicht von der Temperatur abhängig. Richtig: beim grauen Strahler ist der spektrale Emissionsgrad konstant, weshalb er beim Integral über die Wellenlängen 'vor's Integral gezogen' werden darf, siehe Gl. (5.13). Es folgt, dass der globale Emissionsgrad ε eines grauen Strahlers gleich dem spektralen Emissionsgrad ελ ist.
• Der Emissionsgrad ε eines realen Strahlers mit temperaturunabhängigem spektralem Emissionsgrad ελ ist nicht von der Temperatur abhängig. Falsch: beim realen Strahler ist der spektrale Emissionsgrad nicht konstant, weshalb beim Integral über die Wellenlängen in Gl. (5.13) die temperaturabhängige spektrale Verteilung der Schwarzkörperstrahlung in's Spiel kommt, wodurch sich eine Temperaturabhängigkeit des globalen Emissionsgrads ε ergibt.
• Zwei diffus-graue Strahler 1 und 2 mit unterschiedlichen Emissionsgraden ε1 ≠ ε2 können ein thermisches Gleichgewicht bei unterschiedlichen Temperaturen T1 ≠ T2 erreichen. In diesem dynamischen Strahlungsgleichgewicht ( Q1→ 2 = Q2 →1) nimmt der Körper mit dem geringeren Emissionsgrad die höhere Temperatur an und erreicht dadurch die gleiche Strahlungsleistung wie sein Partner mit höherem Emissionsgrad. Falsch: Der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik verbietet dies -- man könnte auf diese Weise nämlich einen Apparat konstruieren, bei dem sich ein warmer Körper erwärmt, indem er einem kälteren Körper Wärme entzieht. Von da an ist's nur noch ein kleiner Schritt zum Perpetuum Mobile...
• Diffus-graue Strahler leuchten -- wie der Name schon andeutet -- mit insgesamt höherer Intensität bei gleicher spektraler Verteilung als ein schwarzer Körper der gleichen Temperatur. Falsch: der schwarze Körper ist der ideale Strahler. Wie gesagt, die Begriffe sind etwas irreführend -- erklären sich aber aus der Tatsache, dass gemäß Kirchhoff ein ideal emittierender Körper auch ein ideal absorbierende Körper ist. Und ein kalter schwarzer Körper erscheint tatsächlich schwarz, selbst wenn er hell beleuchtet ist.
• Der Gesamt-Absorptionsgrad α ist kein Stoffwert, da er auch von der spektralen Verteilung der einfallenden Strahlung abhängt. Richtig: siehe Abschnitt 5.4.3.
• Der Gesamt-Transmissionsgrad τ ist kein Stoffwert, da er auch von der spektralen Zusammensetzung der einfallenden Strahlung abhängt. Richtig: siehe Abschnitt 5.4.3.
• Aus der Energieerhaltung folgt für die Koeffizienten der Emission, der Absorption, der Transmission und der Reflexion ε + α + τ + ρ = 1. Falsch: die Emission hat in der Bilanz für die einfallende Strahlungsenergie nichts zu suchen.
• Im Mikrowellenherd wird das Kochgut durch Mikrowellen -- langwellige, elektromagnetische Strahlung -- erwärmt. Trotzdem zählen die Mikrowellen nicht zur Wärmestrahlung, da sie nicht thermisch angeregt sind, d.h. die Physik ihrer Entstehung ist eine andere als bei der Wärmestrahlung. Richtig: Details fragen Sie bei den Kollegen von der Elektrotechnik nach.
• Das Kirchhoff'sche Gesetz ist Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Strahlungsaustauschbeziehungen und gilt nur im thermischen Gleichgewicht. Falsch: Richtig wäre: Das Kirchhoff'sche Gesetz ist Voraussetzung für die Anwendbarkeit der Strahlungsaustauschbeziehungen und gilt 1) im thermischen Gleichgewicht oder 2) für diffus-graue Strahler. Im thermischen Gleichgewicht herrscht Temperaturgleichheit, weshalb keine Netto-Wärmeströme ausgetauscht werden.
• Ein Körper 1 steht durch Strahlung und Wärmeübergang im Wärmeaustausch mit seiner Umgebung. Mit zunehmender Temperaturdifferenz T1 - T∞ zwischen Körper und Umgebung nimmt der Gesamtwärmestrom zu, das Verhältnis des konvektiven zum radiativen Anteils bleibt dabei jedoch konstant. Falsch: Wärmeaustausch durch Strahlung skaliert mit der Differenz der vierten Potenzen der Temperaturen und wird deshalb bei hohen Temperaturen zunehmend wichtiger.
• Gewöhnliches Glas ist für sichtbares Licht diatherm, ultraviolettes und infrarotes Licht werden absorbiert. Richtig : Zur Erinnerung: diatherm - strahlungsdurchlässig.

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