33209 Statistik I (Fach) / 10.Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Lektion)

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• Zufallsvorgang?   Ein Zufallsvorgang ist ein Prozess, -          der zu einem von mehreren, -          sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen ω ! (lies: Klein-Omega) führt. -          Welches Ergebnis eintritt, ist vorab nicht bekannt. -          kann unter kontrollierten oder nicht-kontrollierten Bedingungen ablaufen -          kontrolliert -> Zufallsexperiment  (z.B. Ziehung der Lottozahlen)          
• Elementarereignisse?   Die möglichen Ergebnisse ω heißen Elementarereignisse und werden in einer mit Ω (lies: Groß-Omega) bezeichneten Menge zusammengefasst: Ω = (ω: ω = Elementarereignis)                           
• Ergebnismenge     Die Menge Ω heißt Ergebnismenge. Sie kann endlich oder auch unendlich viele Elemente enthalten. 
• Ereignis     Eine Teilmenge A von heißt Ereignis. 
• Elementarereignisse     Elementarereignisse sind somit Ereignisse, die nicht weiter zerlegbar sind, also einelementige Teilmengen von  Ω  darstellen.
• das Ereignis A ist eingetreten     Ist A eine Teilmenge von Ω, abgekürzt  A Ω  (lies: A ist Teilmenge von Ω) und ω das Ergebnis des Zufallsprozesses, so sagt man, dass das Ereignis A eingetreten ist, wenn ω ein Element von A ist, kurz, wenn ω ɛ A gilt (lies: ω ist Element von A).
• Komplementärereignis zu A (Ā):  wenn A nicht eintritt Das mit Ā (lies: Komplementärmenge zu A) bezeichnete Komplementärereignis zu A ist das Ereignis, das genau dann eintritt, wenn A nicht eintritt. Die Menge Ā umfasst alle Elementarereignisse, die zu Ω, nicht aber zu A gehören. Man schreibt hierfür auch   -          Ā = Ω \ A (lies: Ā ist Differenzmenge von  Ω und A). 
• sicheres Ereignis Ω     Da auf jeden Fall eines der Elemente der Menge Ω als Ergebnis des Zufallsvorgangs realisiert wird, ist durch Ω ein sicheres Ereignis definiert. 
• das unmögliche Ereignis (oder leere Menge)     Das Komplementärereignis   zum sicheren Ereignis Ω ist das unmögliche Ereignis, das durch die leere Menge ∅ ; dargestellt wird. 
• logische Verknüpfung von Ereignissen -> Definition neuer Ereignisse     Aus Ereignissen, also Teilmengen einer Ereignismenge Ω, lassen sich durch logische Verknüpfung der sie repräsentierenden Mengen neue Ereignisse bilden.
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• die Schnittmenge A ∩ B     So ist durch die Schnittmenge A ∩ B der Ereignisse A und B ein Ereignis definiert, das genau dann eintritt, wenn sowohl A als auch B eintritt. Zwei Ereignisse A und B, deren Schnittmenge die leere Menge  ∅  ist, schließen sich aus. Man spricht auch von disjunkten Ereignissen.
• die Vereinigungsmenge A u B     Die Vereinigungsmenge A u B beschreibt ein Ereignis, das dann realisiert wird, wenn mindestens eines der beiden Ereignisse A oder B eintritt. 
• Venn-Diagramme     Zur Veranschaulichung solcher zusammengesetzter Ereignisse werden häufig sog. Venn-Diagramme verwendet. Diese bestehen aus einem Rechteck, in dem die Ausgangsereignisse (Mengen A, B, . . . ) als Kreise oder Ellipsen dargestellt sind. Das Rechteck repräsentiert die Ergebnismenge Ω , von dem die eingezeichneten Mengen Teilmengen sind.
• Wahrscheinlichkeit - das Axiomensystem von Kolmogoroff -   Der heute gängige Wahrscheinlichkeitsbegriff der Statistik geht auf den russischen Mathematiker Andrej Kolmogoroff (1903 - 1987) zurück.  Die Bewertung der Chance für das Eintreten eines Ereignisses (Teilmenge der Ergebnismenge Ω einschließlich des unmöglichen Ereignisses ∅ und des sicheren Ereignisses Ω) erfolgt  -  anhand einer Funktion P, -          die jedem Ereignis A eine als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A bezeichnete Zahl P(A) zuordnet, -          welche folgenden Bedingungen genügt:   K1: P(A) ≥ 0 (Nicht-Negativitätsbedingung) K2: P(Ω) = 1 (Normierung)   K3: P(A u B) = P(A)+P(B) falls A ∩ B =∅ (Additivität bei disjunkten Ereignissen).
• die Ereignismenge Ω nur endlich viele Elemente (K3)     Das dritte Axiom ist hier für den Fall formuliert, dass die Ereignismenge Ω nur endlich viele Elemente enthält. 
• Zufallsvorgängen mit nicht-endlicher Ergebnismenge     Bei Zufallsvorgängen mit nicht-endlicher Ergebnismenge ist K3 etwas allgemeiner zu fassen und schließt hier auch den Fall der Vereinigung abzählbar unendlich vieler und paarweise disjunkter Ereignisse ein.
• eine auffallende Analogie mit den Eigenschaften relativer Häufigkeiten   Diese als Axiome von Kolmogoroff bezeichneten Bedingungen weisen eine auffallende Analogie mit den Eigenschaften relativer Häufigkeiten auf: -          auch relative Häufigkeiten sind nicht-negativ und -          durch 0 nach unten und -          durch 1 nach oben begrenzt. -          Ferner addieren sich bei einem Merkmal, -          dessen Ausprägungen durch eine Menge M ={a1, a2, … ; ak}beschrieben sind, -          die relativen Häufigkeiten für je zwei disjunkte Teilmengen von M und   -          die Summe aller relativen Häufigkeiten ist stets 1.
• einige elementare Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten     Aus dem Axiomensystem von Kolmogoroff lassen sich einige elementare Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten ableiten. 
• Unter Heranziehung der Venn-Diagramme aus Abbildung 10.1 verifiziert man die Gleichungen     P(Ā) = 1 - P(A)                         (10.2) P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)          (10.3) (weil nicht disj. TM)   P(A \ B) = P(A) - P(A ∩ B).              (10.4)
• Gleichung (10.3) wird z. B. anhand des dritten Venn-Diagramms aus Abbildung 10.1 verständlich (Diagramm für A u B): -          da A und B hier nicht disjunkt sind, -          muss man bei der Berechnung von P(A u B) -          die Summe aus P(A) und P(B) um P(A u B) vermindern, -          weil andernfalls die Wahrscheinlichkeit für den Überschneidungsbereich   -          doppelt zählte.
• Berechnung von Wahrscheinlichkeiten erfordert zusätzliche Information Das Axiomensystem von Kolmogoroff legt also Eigenschaften fest, die für Wahrscheinlichkeiten gelten müssen, und liefert den Ausgangspunkt für die Herleitung von Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten. Es macht vor allem den Wahrscheinlichkeitsbegriff von persönlichen Einschätzungen unabhängig.    Allerdings liefert das System noch keinen Ansatzpunkt zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse.   
• Um Wahrscheinlichkeiten quantifizieren zu können, benötigt man Zusatzinformationen über den jeweiligen Zufallsvorgang.
• Laplace-Experimente Eine solche Zusatzinformation kann z. B. Bedingungen für darin bestehen, dass man weiß, dass die Ergebnismenge die nachstehenden Laplace-Experimente Bedingungen erfüllt:   L1: Die Ergebnismenge ist endlich, also Ω = {ω1, ω2, … , ωn}. L2: Die Wahrscheinlichkeiten für die n Elementarereignisse sind alle gleich groß.     Ein Zufallsexperiment mit diesen beiden Eigenschaften wird nach dem französischen Mathematiker Simon Pierre Laplace (1749 - 1827) auch Laplace-Experiment genannt. 
• Dieser berechnete unter den einschränkenden Voraussetzungen L1 und L2 die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A:     -     als Quotient -           aus der Anzahl der für A „günstigen“ (die Bezeichnung „günstig“ ist wertfrei (neutral) zu verstehen, kann sich also sowohl auf ein willkommenes Lottoereignis als auch auf das Vorliegen einer Erkrankung beziehen, und bedeutet lediglich „A ist eingetreten“) Fälle und -          der  Anzahl aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments:   P(A) = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse.   (10.5)            Im Zähler steht also die Anzahl der Elementarereignisse, für die das Ereignis A als eingetreten gilt, im Nenner die Anzahl aller zu Ω gehörenden Elementarereignisse.
• Eine nach (10.5) berechnete Wahrscheinlichkeit erfüllt stets die Bedingungen K1 - K3. Der Ansatz von Laplace ist folglich mit dem Axiomensystem von Kolmogoroff verträglich, betrifft aber nur eine spezielle Gruppe von Zufallsvorgängen. Dass K1 und K2 bei Gültigkeit von (10.5) erfüllt sind, folgt z. B. sofort daraus, dass der Zähler in (10.5) stets einen Wert besitzt, der zwischen 0 und dem Wert des Nenners liegt.
• Gleichung (10.5) liefert für viele Anwendungen – etwa bei Glücksspielen – eine leicht handhabbare und sehr nützliche Rechenformel. 
• Die Formel 10.5 ist keine Definition von Wahrscheinlichkeit!     Eine Definition des Begriffs „Wahrscheinlichkeit“ stellt (10.5) in Verbindung mit L1 und L2 aber nicht dar, weil der zu erklärende Begriff der Wahrscheinlichkeit schon in die Annahme L2 eingeht.
• Wahrscheinlichkeiten als Grenzwert relativer Häufigkeiten Ein anderer Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(A) für ein Ereignis A beinhaltet – unter der Voraussetzung der beliebigen Wiederholbarkeit eines Zufallsexperiments unter konstanten Bedingungen – die Bestimmung von P(A) als Grenzwert der relativen Häufigkeit für das Eintreten von A.   
• Wenn man z. B. eine „faire“ Münze n-mal wirft und die  relativen Häufigkeiten ƒj(Zahl) für das Eintreten von  "Zahl" während dieses Zufallsexperiments verfolgt (j = 1, 2, …, n), so stellt sich am Ende ein Wert  ƒn (Zahl) ein, der beliebig nahe an den Wert 0,5 kommt, sofern man die Anzahl n der Münzwürfe groß genug wählt.
• Abbildung 10.2 zeigt den Verlauf eines virtuellen Münzwurfexperiments mit n = 1000. Bei einem solchen Simulations-experiment kann man,  anders als in der Realität, die Wahrscheinlichkeit p := P(Zahl) für „Zahl“ und damit auch die von 1 - p = P(Kopf) für „Kopf“ bei der Programmierung festlegen und folglich als bekannt voraussetzen.
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• Da man ein Zufallsexperiment in der Praxis nicht unendlich oft, sondern nur n-mal durchführen kann, verwendet man   ƒn als Approximation (Schätzwert) für die interessierende Wahrscheinlichkeit, wobei die Schätzgüte sich mit wachsendem n tendenziell verbessert. Der rechte Teil von Abbildung 10.2 zeigt, dass die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten als Grenzwert (die Konvergenz in (10.6) bezieht sich auf die Konvergenz eines Zufallsprozesses, auch stochastischer Prozess genannt. Man spricht in diesem Zusammenhang von stochastischer Konvergenz)                                                                                   (10.6)  relativer Häufigkeiten bei Zufallsexperimenten mit endlicher Ergebnismenge, anders als der Laplace-Ansatz (10.5), nicht an die Bedingung L2 der Gleichwahrscheinlichkeit der Elementarereignisse gebunden ist.
• Wirft man bei einem realen Münzwurfexperiment eine Münze n-mal ohne zu wissen, ob es sich um eine „faire“ Münze handelt, so kann der Wert,  gegen den die relative Häufigkeit ƒn(Zahl) mit zunehmendem n konvergiert, Aufschluss darüber gegeben, ob die Münze „fair“ ist. Wenn sich die relative Häufigkeit dem Grenzwert 0,5 annähert, ist von einer fairen Münze auszugehen.

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