Mathematik (Fach) / Lineare Algebra Kapitel 2 (Lektion)
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Verknüpfungen
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- Verknüpfung Sind A,B Mengen, so ist eine Verknüpfung zwischen A und B eine Funktion φ mit AxB ⊆ V(φ)
- φ heißt Standard-Skalarprodukt auf Q^n Sei n ∈ NN 1.) φ: QxQn → Qn , (a, (q,b)) → (ab1,....,abn) 2.) A=B=Qn φ: QnxQn → Q , ((a1,...,an) (b1,...,bn)) → a1b1,....,anbn
- Magma Ein Magma ist ein Urpaar (A;⋄) bei dem ⋄ ein Verknüpfung auf A ist A heißt dann die Trägermenge des Magmas. Ein Magma ist assoziativ (kommutativ), wenn ⋄ assoziativ (kommutativ).
- Halbgruppe ein assoziatives Magma
- Monoid Halbgruppe mit neutralem Element
- Gruppe eine Gruppe ist ein Monoid, indem jedes Element invertierbar ist
- abelsche Gruppe kommutative Gruppe
- Untergruppenkriterium sei (G;⋄) eine Gruppe, T ⊆ G. Es sind äquivalent: i) T ist eine Untergruppe von (G;⋄) ii) T ≠ ∅ un für alle a,b ∈ T gilt: a⋄b-1 ∈ T (bei additiver Schreibweise: a-b ...
- Direkte Summe/Produkt Seien (A;⋄a) und (B;⋄b) Magmen. ∀ a, a' ∈ A und b, b' ∈ B (a,b) ⋄ (a',b') = (a⋄a a' , b⋄b b') Dann ist ⋄ eine Verknüpfung auf AxB. Das Magma (AxB ; ⋄) heißt direkte Summe ...
- Isomorphismus von φ Sei φ: Q → Q2 , c → (c,0) i) φ ist eine Bijektion von Q auf Qx{0} ii) Sind a,a',b ∈ Q, so gilt: a + a' = b ⇒ aφ + a'φ = bφ
- direkte zweiteilige Zerlegung einer Gruppe (G;⋄) ist eine Menge {Y,Z} von Untergruppen von G, sodass gilt: i) ∀ y ∈ Y , z ∈ Z y⋄z = z⋄y (Y und Z sind elementweise vertauschbar) ii) Für jedes x ∈ G gibt ...
- Isomorphismus von Magmen Sind (A;⋄) und (B;⋄) Magmen, so versteht man unter einem Isomorphismus von (A;⋄) und (B;⋄) eine Abbildungφ: A → B mit i) φ ist bijektiv ii) ∀ x,y ∈ A (x⋄y)φ = xφ ⋄ yφ Schreibweise: ...
- Homomorphismus Gilt ii) von der Definition für Isomorphismus, also: ∀ x,y ∈ A (x⋄y)φ = xφ ⋄ yφ so heißt φ ein Homomorphismus von (A;⋄) in (B;⋄)
- Monomorphismus ein injektiver Homomorphismus
- Epimorphismus ein surjektiver Homomorphismus
- Doppelmagma Ein Urpaar (X;⋄) bei dem X ein Magma und ⋄ eine Verknüpfung auf der Trägermenge von X ist Form eines Doppelmagmas: ((A;+);⋄)
- Algebra Ein Doppelmagma ((A;+);⋄) bei dem (A;+) eine abelsche Gruppe ist und die beiden Distributivgesetze gelten: D1) ∀ a,b,c ∈ A a*(b+c) = ab+acD2) ∀ a,b,c ∈ A ...
- unitär hat eine Algebra ein neutrales Element ≠ 0K bez ⋄ so heißt sie unitär (mit Eins) und das neutrale Element heißt das einselement der Algebra (1A)
- Ring Eine Algebra, deren Multiplikation auf der Trägermenge assoziativ ist, heißt eine assoziative Algebra oder Ring
- Körper ein kommutativer, unitärer Ring A, in dem jedes Element ≠ 0A ein multiplikatives Inverses besitzt
- Doppelmagma heißt Körper, wenn: (A;+) und (A/{0A} ; ⋄) sind abelsche Gruppen