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wahrscheinlichkeitstheorie (Fach) / 18 der zentrale Grenzwertsatz (Lektion)
- Zentraler Grenzwertsatz ( klassisch) Sei (Xn) n aus N eine unabh und identisch verteilte Folge von Z*Ven Xn:(Omega,F,P)->R mit EX1=mü und 0<V(X1)=:sigma^2 <unendl.Dann gilt für Sn:=X1+.....+Xn: (Sn-nmü)/sigma√n (->^d) N(0,1) n gegen unendl
- Wann heißt (X_nk)n aus N,k=1,..,r_n ein Zeilenschema(manchmal auch Dreiecksschema ) von Zufallsvariablen ? Sei (Omega, F,P) ein Wraum.Zu jedem n aus N gebe es ein r_n aus N und ZVen X_n,1,................,X_n,r_n:(Omega, F,P)->R.Dann heißt (X_nk)n aus N,k=1,..,r_n ein Zeilenschema(manchmal auch Dreiecksschema ) von Zufallsvariablen: X_1,1 X_1,2 .... X_1,r_1 X_2,1 X_2,2 ..... .X_2,r_2 .. Für jedes Zeilenschema sei Sn:=X_n,1+....+X_n,rn dieZeilensumme
- Ein Zeilenschema heißt a) unabhängig b) zentriert falls... a)für jedes n aus N die Familie (X_n,k)k=1,....,r_n unabh ist ( dh Unabh innerhalb jeder Zeile) b)EI X_nk I < unendl und E(X_nk)=0 für alle n aus N , k=1,.....,r_n
- Wann erfüllt das Zeilenschema die Lindeberg-Bedingung? Sei (X_nk)n aus N, k=1,....,r_n ein zentriertes Zeilenschema und es gelte 0<=sigma^2_nk:=E(X^2_nk)<unendl für alle n,k sei s_n^2:=Summe von k=1 -r_n sigma^2_nk und gelte s_n=√s_n^2 >0 für n hinreichend groß Das Zeilenschema erfüllt die Lindeberg-Bedingung falls lim n gegen unendl 1/s_n^2 Summe k=1-r_n Integral über { I X_nkI >=epsilon*s_n } X_nk ^2 dP=0 für alle epsílon>0
- Wann erfüllt ein Zeilenschema die Lyapunov-Bedingung? Sei (X_nk)n aus N, k=1,....,r_n ein zentriertes Zeilenschema und es gelte 0<=sigma^2_nk:=E(X^2_nk)<unendl für alle n,k sei s_n^2:=Summe von k=1 -r_n sigma^2_nk und gelte s_n=√s_n^2 >0 für n hinreichend groß Gibt es ein delta>0 sodass EIX_nk I^(2+delta) <unendl für alle n,k so erfüllt das Zeilenschema die Lyapunov-Bedingung falls lim 1/(s_n^(2+delta)) Summe k=1 bis r_n E ( IX_nk I^(2+delta) )=0
- Zentraler Grenzwertsatz nach Lindeberg und Feller Sei(X_nk)n aus N , k=1,...,r_n ein unabhängiges und zentriertes Zeilenschema mit E(X^2_nk ) <unendl, für alle n,k und es gelte die Lindebergbedingung. Dann gilt für die Zeilensummen Sn, n aus N : Sn/sn (->^d) N(0,1) n gegen unendl
- Wann heißen Zeilenschemata asymptotisch vernachlässigbar? aus der Lindebergbedigung folgt dass lim1/s_n^2 max 1<=k<=r_n sigma_nk^2=0 Zeilenschemata die dies erfüllen heißen asymptotisch vernachlässigbari Man kann zeigen dass für ein unabh und zentriertes Zeilenschema mit EX_nk^2<unendl für alle n,k äquivalent sind a)es gilt die Lindebergbedingung b)(X_nk) ist asymptotisch vernachlässigbar und Sn/sn (->^d) N(0,1) für n gegen unendl.
- Zentraler Grenzwertsatz nach Lyapunov Aus der LyapunovBedingung folgt die Lindeberg-Bedingung. Ist also (X_nk)n aus N , k=1,....,r_n ein unabh und zentriertes Zeilenschema welches der Lyapunov Bedingung genügt (für ein delta >0) so folgt Sn/sn (->^d) N(0,1) für n gegen unendl
- Satz von Berry-Essen Seien (Xn)n aus N iid mit EX1=0 EX1^2=.sigma^2 >0 und EI X1 I^3=: p< unendl und sei Fn die Verteilungsfkt von (X1+...Xn)/sigma √n, Dann gilt IFn(x)-Φ(x)I<= 3p/√n sigma^3 für alle x aus R für alle n aus N
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