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wahrscheinlichkeitstheorie (Fach) / 14 Konvergenz von Zufallsvariablen (Lektion)

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• Wann konvergiert (Xn)n aus N fast sicher gegen X für n->unendl? Seien X und Xn n aus N Zufallsvektoren von (Omega, F,P) in R^d und sei p aus [0,unendl) (Xn) n aus N konvergiert fast sicher gegen X für n->unendl falls P( { w aus Omega :limXn(w)=X(w) } ) =1 beachte die Menge ist messbar   in Zeichen Xn(-> ^f.s), n ->unendl oder lim Xn=X f.s
• Wann konvergiert (Xn)n aus N in L^p gegen X für n gegen unendl?  (Xn)n aus N  konvergiert in L^p gegen X für n gegen unendl falls EIXnI^p<unendl für alle n, EIXI^p<unendl und                limEIXn-XI^p=0   in Zeichen Xn(->^L^p)X für n gegen unendl oder L^p -lim Xn =X
• Wann konvergiert (Xn)n aus N stochastisch?  (Xn)n aus N  konvergiert stochastisch gegen X für n gegen unendl falls             lim P(IXn-XI>epsilon)=0 oder P-limXn=X
• Eindeutigkeit Gilt Xn(->^P)X für n gegen unendl und Xn(->^P)Y für n gegen unendl so folgt X=Y f.s . Gleiches gilt für fast sichere und für L^pKonvergenz
• Aus L^p folgt stochastisch Seien Xn n aus N und X :(Omega, F,P)-> R^d Zufallsvektoren so dass Xn(->^L^p) X , n gegen unendl, für ein p aus [1,unendl). Dann folgt i)Xn(->^L^p`) X bei n gegen unendl für alle p`aus[1,p] ii)Xn(->^p) X n gegen unendl
• eine Schreibweise xΛy:= x v y:= min{x,y} max{x,y}
• Seien Xn n aus N und X:(Omega,F,P)->R^d Zufallsvektoren und K>0 beliebig. Dann gilt Xn(->^p)X n gegen unendl äquivalent zu ? E( I Xn-X I Λ 1) ->0 für n gegen unendl E( I Xn-X I Λ K)->0 für n gegen unendl
• Teilfolgenkriterium Seien Xn n aus N und X:(Omega,F,P)->R^d Zufallsvektoren. Dann sind äquivalent:     i) Xn(->^P)X n gegen unendl    ii) Für jede Teilfolge(nk)k aus N gibt es eine weitere Teilfolge (n_k_j)j aus N von (n_k)k aus N so dass            lim j gegen unendl X_n_k_j=X f.s
• f.s führt zu stochastisch Gilt für Zufallsvektoren Xn(->^f.s) X für n gegen unendl so auch Xn(->^P)X n gegen unendl
• stetige Abbildungen seien Xn n aus N und X:(Omega,F,P)->R^d Zufallsvektoren und f:R^d->R^m stetig. Dann gilt: a)Xn(->^f.s)X n gegen unendl führt zu f(Xn)(->^f.s)f(x) n gegen unendl b) Xn(->^P)X n gegen unendl führt zu f(Xn)(->^p)f(X) n gegen unendl
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• Elementare Eigenschaften Seien Xn n aus N , Yn n aus N, X,Y:(Omega,F,P)->R^d Zufallsvektoren, a,b aus R a)Gelte Xn(->^P) für n gegen unendl und Yn(->^P) Y für n gegen unendl. dann gilt:      i)aXn+bYn(->^P) aX+bY (n gegen unendl)      ii)<Xn,Yn>(->^P) <X,Y>   (n gegen unendl)      iii)Sei d =1.Gilt Y ungleich 0 f.s. und Yn ungleich 0 f.s  so Xn/Yn (->^P) X/Y                                             (n gegen unendl) b)Teil a gilt analog auch für fast sichere Konvergenz c)Gelte Xn(->^Lp)X und Yn(->^Lp`) (n gegen unendl), 1<=p, p`<unendl          i)Falls p=p`so a Xn+bYn(->^Lp) aX+bY      (n gegen unendl)          ii) Falls 1/p+1/p`=1 so <Xn,Yn>(->^Lp)<X,Y>      (n gegen unendl)
• Wann heißt eine Folge (Xn) n aus N von Zufallsvektoren CauchyFolge in Wahrscheinlichkeit ?  eine Folge (Xn) n aus N von Zufallsvektoren heißt  CauchyFolge in Wahrscheinlichkeit  falls für alle epsilon>0 , für alle epsilon' >0 gibt es ein N_epsilon,epsilon' aus N: P( I Xn-Xm I > epsilon )<= epsilon' für alle n,m >= N_epsilon, epsilon'
• Vollständigkeit bei stochastischer Konvergenz Eine Folge (Xn) n aus N von Zufallsvektoren konvergiert genau dann stochasitsch gegen ein X falls (Xn) n aus N eine Cauchy Folge in Wahrscheinlichkeit ist
• Charakterisierung fast sicherer Konvergenz Für eine Folge (Xn) n aus N von Zufallsvektoren und einen Zufallsvektor X, Xn:(Omega, F,P ) ->R^d sind äquivalent: i) Xn(->^f.s) X  für n gegen unendl ii) für alle epsilon >0 :                   P(limsup k>=n { I Xk-X I>=epsilon } )=0 iii) für alle epsilon >0 :                   P(limsup n gegen unendl { I Xk-X I>=epsilon } )=0

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