10
wahrscheinlichkeitstheorie (Fach) / 15 gesetze der großen Zahlen (Lektion)
- Sei (Xn)n aus N eine Folge von Zufallsvektoren Xn:(Omega,F,P) -> R^d mit EIXnI falls 1/n *summe von i=1 bis n (Xi-E(Xi)) fast sicher gegen 0 konvergiert
- Sei (Xn)n aus N eine Folge von Zufallsvektoren Xn:(Omega,F,P) -> R^d mit EIXnI falls 1/n Summe (Xi-E(Xi)) (->^p) 0 für n gegen unendlich
- Folgt aus dem starken Gesetz der großen Zahlen das schwache? ja
- wann heißt eine Familie von Zufallselementen identisch verteilt? wann iid? eine Familie (Xi)i aus I von Zufallselementen heißt identisch verteilt falls P_Xn=P_Xk für alle n,k aus I. Sind die (Xi)i aus I zusätzlich unabhängig so sagt man (Xi)i aus I sei iid Haben 2 Zufallselemente X und Y die gleiche Verteilung so schreibt man auch X(=^d)Y
- WLLN Sei (Xn)n aus N eine Folge paarweise unkorrelierter Zufallsvariablen mit endlcihen Varianzen und gelte : K:=sup naus N V(Xn) < unendlich Dann gilt P(I(1/n)Summe(Xi-E(Xi))I>=epsilon)<=K/(epsilon^2 n) für alle epsilon>0 , n aus N
- Cesaro Limes sei (xn)n aus N eine in R konvergente Folge reeller Zahlen, lim n gegen unendlich xn =x. Dann hat der CesaroLimes den gleichen Grenzwert, also lim 1/n Summe xk=x
- sei X>=0 eine positive ZV. Dann gilt.. E(X)=Integral 0-unendlich P(X>t)dt
- SLLN Sei (Xn) n aus N eine Folge identisch verteilter und paarweise unabh Zufallsvariablen mit EIX1I< unendlich. Dann gilt SLLN also 1/n Summe Xk konvergiert fast sicher gegen E(X1) für n gegen unendlich In dieser Form geht das SLLN auf Etemadi zurück, sind die Xn sogavr iid so wurde es bereits von Kolmogorov bewiesen
- was ist eine empirische Verteilungsfkt von X1,...,Xn? Sind X1,X2,...... identisch verteilte Zufallsvariablen so heißt für jedes n aus N x-> Fn (dach) (x) =1/n Summe 1_(-unendlich,x) (Xk) x aus R empirische Verteilungsfkt von X1,...,Xn
- Satz von Glivenko-Cantelli Seien X1,X2,... iid Zufallsvariablen mit Verteilungsfkt F und seien Fn(dach) die empirischen verteilungsfktnen . Dann gilt : lim sup x aus R I Fn(dach)(x)- F(x) I=0 fast sicher
Anzeige