11

wahrscheinlichkeitstheorie (Fach) / wtheorie 19 multivariante Normalverteilung (Lektion)

w

Diese Lektion wurde von monia erstellt.

Lektion lernen

zurück  |  weiter 1 / 1

Anzeige
  • Erwartungswert von X Sei X= (X1,...,Xd)^t : (Omega,F,P) -> R^d ein Zufallsvektor. Gilt EIXiI<unendlich für alle i=1,.....,d so heißt E(X):=(EX1,...,EXd)^t Erwartungswert von X
  • Kovarianzmatrix von X Gilt E(Xi^2)<unendlich für alle i =1,...,d so heißt Cov(X):=(Cov(Xi,Xj))ij=1,..,d Kovarianzmatrix von X
  • Korrelationsmatrix von X Ist zusatzlich zu den Voraussetzungen von Kovarianzmatrix noch V(Xi)>0 für alle i=1,...,d so heißt Corr(X):= (Corr(Xi,Xj))i,j=1,..,d Korrelationsmatrix von X
  • Sei X=(X1,...Xd)^t:(Omega ,F, P)-> R^d ein Zufallsvektor mit E(IXiI^2 a) Cov(X) = E[ (X-E(X)) (X-E(X))^t ] b) Cov(X) ist positiv semidefinit , dh Cov(X) ist symmetrisch und es gilt      a^t Cov(X)a>=0 für alle a aus R^d c) Sei A aus R^n x d und sei Y:= AX.         X:Omega-> R^d.                   Dann    Y:(Omega,F,P)->R^n und es gilt           Cov(Y)=A Cov(X) A^t d) Ist A aus R^n x d, B aus R^m x r, C aus R^n x r und                                     M : (Omega,F,P)-> R^d x m eine zufällige Matrix mit endlichem Erwartungswert so gilt                            E(AMB+C)=AE(M)B+C
  • wann heißt ein Zufallsvektor normalverteilt? Ein Zufallsvektor X=(X1,..,Xd)^t : (Omega,F,P) -> R^d heißt normal bzw Gaußverteilt  falls// genau dann wenn // <a,X> =a1X1+...+adXd für alle a=(a1,..,ad)^t aus R^d normalverteilt ist
  • a)Ist X=(X1,..,Xd)^t normalverteilt, so....... b) hat X Erwartungswert mü aus R^d und Kovarianzmatrix Sigma=Cov(X) aus R^d x d und ist A aus R^n x d eine Matrix sowie c aus R^n ein Vektor, so....... a) so existieren alle Momente von X. b)so ist Y:=AX+c normalverteilt mit Erwartungswert Amü+c aus R^n und Kovarianzmatrix Cov(Y)=ASigmaA^t
  • Ist X=(X1,..,Xd)^t normalverteilt mit Erwartungswert mü und Kovarianzmatrix Sigma so gilt:..... Phix(u) = Ee^i<u,X>=e^i<u,mü>-0.5u^tSigma u       //alles hoch// für alle u aus R^d Insbesondere ist Px eindeutig durch mü und Sigma bestimmt
  • wann heißt N(0,Id) Standardnormalverteilt? Ist X=(X1,......,Xd)^t normalverteilt mit EX=mü und Cov(X) = Sigma so schreibt man X=d (((über dem Gleichheitszeichen steht das d )))) N(mü, Sigma) oder auch  X~N(mü,Sigma) Gilt mü=0 aus R^d und Sigma= Id aus R^d x d so heißt  N(o,Id) Standardnormalverteilt
  • Satz Existenz Sei mü aus R^d und Sigma aus R^d x d pos semi def . Seien X1,....,Xd  iid N(0,1) und X=(X1,..................,Xd)^t. Dann existiert eine symmetrische Matrix B aus R^d x d mit B^2 = Sigma und in diesem Fall hat man         Y:=mü+BX(=d) N(mü, Sigma) Gilt det Sigma >0 so hat Y Dichte    y-> f_Y(y)=(2pi)^-d/2  (det Sigma)^-1/2  exp{-1/2(y-mü)^t Sigma^-1(y-mü)} y aus R^d bzgl lamda^d    
  • Sei X=(X1,......,Xd)^t ~ N(mü,Sigma). Dann sind äquivalent zu X1,.,Xd sind unabhängig X1,........,Xd sind paarweise unkorrelliert Sigma ist Diagonalmatrix
  • Anzeige
  • Multivarianter Zentraler Grenzwertsatz Seien (Xn)n aus N iid Zufallsvektoren Xn:(Omega,F,P) -> R^d mit EIXnI^2 < unendlich und sei EX1 = mü und Sigma = Cov(X1). Dann gilt 1/√n   * Summe von k=1 bis n  ( Xk-mü) (-> ^d) N(0, Sigma), n->unendlich  

zurück  |  weiter 1 / 1