Mathematik (Fach) / Folgen und Reihen (Lektion)
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Definitionen für geometrische und arithmetische Folgen, usw
Diese Lektion wurde von bwachsmuth erstellt.
- Folge Eine reelle Folge entsteht, wenn jeder natürlichen Zahl n ε N eine reelle Zahl an ε R zugeordnet wird: {an} = a1, a2, a3,...
- Beschränktheit einer Folge Eine Folge {an}, n ε N, heisst beschränkt, wenn es zwei Zahlen c und C gibt, zwischen denen alle Glieder der Folge liegen, also c ≤ an ≤ C für alle n ε N
- Monotonie einer Folge EIne Folge {an}, n ε N, heißt monoton, wenn die Glieder der Folge im gesamten Verlauf immer kleiner, bzw. immer größer werden. Die Folge ist - monoton wachsend, wenn an+1 ≥ an für alle n, - streng monoton wachsend, wenn an+1 > an für alle n, - monoton fallend, wenn an+1 ≤ an für alle n, - streng monoton fallend, wenn an+1 < an für alle n ist.
- Konvergenz von Folgen Eine Folge {an}, n ε N, heißt konvergent gegen g ε R, wenn gilt: für alle ε > 0 , es existiert n0 ε N : |an - g| < ε für alle n ≥ n0
- Schreibweisen für die Konvergenz gegen Grenzwert g an n→∞ g oder lim n→∞ an = g
- Nullfolge Ist der Grenzwert einer Folge g= 0, so nennt man die Folge Nullfolge.
- uneigentliche Grenzwerte Eine Folge {an}, n ε N, hat den uneigentlichen Grenzwert +∞, wenn es zu jeder (noch so großen) Zahl M ε R ein n0 ε N gibt, so dass an > M für alle n ≥ n0 gilt.
- Reihe Bildet man die Summe aus den ersten n Gliedern einer Folge {an}, erhält man eine so genannte Partialsumme sn: s1 = a1 ; s2 = a1 + a2 ; s3 = a1 + a2 + a3 allgemein: sn = a1 + a2 +...+ an = Die Folge dieser Partialsummen nennt man die zu {an} gehörige Reihe {sn}=s1,s2,s3,... Als Symbol für diese unendliche Reihe verwendet man
- Konvergenz von Reihen Eine Reihe heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen sn konvergiert. Ist a der Grenzwert der Partialsummen, also , so schreibt man = s