LinAlg (Fach) / Lineare Algebra 1 und 2 (Lektion)

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• g(lambda, f) ? a(lambda , f) <= 
• diagonalierbare Endomorphismen und Matritzen Ein Endo. f aus L(V, V) ist diagonalisierbar, falls es eine Basis gibt so dass [f] B, B  eine Diagonalmatrix ist. Ählich dazu ist eine MAtrix A aus K nxn dianolisierbar, falls es es eine invertierbare Matrix S gibt mit D = S  A S -1      und D ist eine Diagonalmatrix
• Vektoren bezüglich verschiedener Eigenwerte der gleichen Matrix sind linear unabhängig los gehts!
• äquivalente Aussagen zu f ist diagonalisierbar * f hat Basis bestehend aus Eigenvektoren *Das Charakteristische Polynom zerfällt un LInearfaktoren und es gilt für alle Eigenwerte a(lambda, f) = g(lambda, f)
• f hat eine Basis, so dass [f] B, B eine obere Dreiecksmatrix (alternative CHarakterisierung) ist ( f ist triangulierbar) Das Charakteristische Polynom zerfällt komplett in Linearfaktoren
• Wie kann man [f] darstellen falls f diagonalisierbar ist? <Sei f aus L(V, V) Sei B Basis bestehend aus Eigenvektoren dann ist [f] B B = zugehörige Eigenwerte auf Hauptdiagonalen und sonst nullen 
• der Fundamentalsatz der Algebra + alternative Charakterisierung Jedes nicht konstante Polynom hat eine Nullstelle in C Ist V = / = 0 ein C VR, so hat jeder Endomorphismus f aus L(V, V) einen Eigenvektor 
• Von welchen Polynomen können wir eine reelle Nullstelle garantieren? ungerader Grad
• kommultierende Endomorphismes lassen sich in unitären VR gleichzeitig triangulieren, dh es existiert eine Basis so dass [f1] BB und [f2] BB beide obere Dreiecksmatritzen sind weiter so!
• m heißt Grad eines Vektors bzgl. f (f aus L(V, V) kleinste Zahl aus N, so dass v, f(v), f2(v), ..., f(m-1) (v) linear unabhängig sind, aber  v, f(v), f2(v), ..., fm (v) linear abhängig
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• Krylov Raum def (Kj(f, v0) Span{v0, f(v0), f2(v0), ..., fj(v0)}
• nilpotent def nilpotent vom Grad g Eine FUnktion aus L(V;V) heißt nilpotent, falls f m = 0 gilt gilt zudem f i = /= 0 für alle i aus 1, ..., m-1 so gilt f ist nilpotent vom Grad m
• nilpotent Abschätzung Sei V ein VR =/= {0}, mit f ist nilpotent vom Grad m, wie können wir m abschätzen? m <= dim(V)
• Aufspalten eines Vektorraums V mit der Hilfe von f invarianten Unterräumen Sei V ein endlich dim. VR  dann findet man U1 und U2 wobei U1 und U2 f invariante Unterräume von V sind für die gilt: U 1 +U2 = V f| U1 ist bijektiv f|U2 ist nilpotent
• Annihilator von U (U hoch 0) wobei U i guck es dir nochmal an
• Wann existiert die Jordannormalform? Sie existiert, wenn das Charakteristische Polynom in LInearfaktoren zerfällt
• normale Endomorphismen def normale Matrix def Ein Endomorphismus heißt normal, falls  f o fad = f ad o f A T A = A AT  bzw. A H A = A A H 
• alternative Charakterisierung von normalen endomorphismen in unitären Vektorräumen für Matritzen (auch in C) Es gibt eine Basis, so dass [f] B B eine Diagonalmatrix ist  Nur in C!! MAtrix normal in C < = > unitär diagonalisierbar
• alternative Charakterisierung von normalen endomorphismen in unitären Vektorräumen für Matritzen (auch in C) noch eine alternative Charakterisierung für normale endomorphismen in C Es gibt eine Basis, so dass [f] B B eine Diagonalmatrix ist  Nur in C!! MAtrix normal in C < = > unitär diagonalisierbar f ad kann man als POlynom darstellen
• Ein Endomorphismus heißt orthogonal, bzw. unitär, falls alternative charakterisierung f orthogonal ?? f normal Eigenwerte aussage f ad o f = Id < f(v), f(w) > = < v, w > ?? ==> eigenwerte haben betrag 1
• unitäre / orthogonale = Matrix def Zeilen und SPalten sind jeweils orthogonal  inverse = adjungierte
• alternative charakterisierung für selbstadjungierte Endomorphismen * Für jede Orthonormalbasis gilt: [f] BB = ([f] BB) H * Es gibt eine Orthonormalbasis für die gilt: [f] BB = ([f] BB) H Wenn f selbstadjungiert ist, finden wir sofar eine Orthonormalbasis, so dass [f] BB eine reelle Diagonalmatrix ist
• Trägheitsindex Anzahl der Eigenwerte, die (positiv, negativ, null) sind,. wobei eigenwerte mit vielfachheiten gezählt werden nur bei symmetrischen oder hermitischen Matritzen verändert isch nicht unter Kongruenz, daher A und GT A G haben gleichen Trägheitsindex, wenn G invertierbar ist Wir könen Matritzen in C folgerndermaßen darstellen:  A = G H diag(In +, In - , 0) G
• def positiv (semid) definit A muss symmetrisch oder hermitisch sein positiv definit:  vH A v > 0 für alle v =/= 0 positiv semidefinit:  v H A v > = 0
• alternative Charakterisierung für positiv definite Matritzen A ist symmetrisch und hat nur positive, reelle Eigenwerte Wir können A darstellen als L L T wobei L eine untere Dreiecksmatrix ist
• positiv definite Bilinearform den und alternative charakterisierung b(v, v) > 0 in jeder Matrix ist [b] B xB eine positiv definite Matrix (und daher symmetrisch) Für eine Basis ist [b] B xB eine positive definite MAtrix (und daher symmetrisch)
• Singulärwertzerlegung AUssehen wann existiert A = V * Sigma* W H V, W unitär Sigma = Nujllmatrix mit Wurzeln der Eigewerte auf Diagonalen (so viele wie es gibt)
• Eine Funktion heißt Richtungsdifferenzierbar in Richtung h, falls Eine Funktion heißt Richtungsdifferenzierbar, falls die Richtunsableitung f´(x,h) := lim  t von oben gegen 0 [f(x+t*h) - f(x)] / t     existiert falls die Richtungableitung in Richtung h für alle h existiert

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