Lineare Algebra 1 und 2

Question 1

injektiv Definiton

Accepted Answer

F(x) = F(y) ==> x = y

Question 2

surjektiv def

Accepted Answer

f(X) = Y

Question 3

reflexiv

Accepted Answer

für alle x element M gilt: x~x

Question 4

symmetrisch

Accepted Answer

x~y ==> y~x

Question 5

transitiv

Accepted Answer

x~y und y~z ==> x~z

Question 6

def Äquivalenzrelation

Accepted Answer

reflexive, transitive und symmetrische relation

Question 7

[x]index R: Äquivalenzklasse von x bezüglich R

Accepted Answer

Menge aller y für die x~y gilt

Question 8

Gruppe def

Accepted Answer

1 Menge mit Abbildung G: + erfüllt: assoziativ: (a+b)+c = a+(b+c) Es ecistiert ein neutrales Element e: e+a = a (Wir nennen es Null) Es gibt inverseses Element (b) für jedes a aus G: b+a= e

Question 9

kommultative Gruppe def

Accepted Answer

Gruppe und komm.: komm: a+b= b+a Gruppe: 1 Menge mit Abbildung G: + erfüllt: assoziativ: (a+b)+c = a+(b+c) Es ecistiert ein neutrales Element e: e+a = a Es gibt inverseses Element (b) für jedes a aus G: a+b= e

Question 10

Untergruppe def und alternative def H ist Untergruppe von H, falls

Accepted Answer

H ist Teilmenge bon G und H ist Gruppe. alternativ: * H ist Teilmenge von G und H ist nicht leer *abgeschlossen bzgl. der Abbildung, d.h. a+b ist in H für alle a,b *abgeschlossen bzgl. Inversenbildung

Question 11

Gruppenhomomorphismus def

Accepted Answer

Eine Abbildung f heit Gruppenhomomorphismus, falls G1, G2 Gruppen sind und f: G1 --> G2 f(a+b) =f(a) + f(b)

Question 12

Gruppenisomorphismus def

Accepted Answer

Gruppenhomomorphismus und bijektiv Gruppenhomomorphismus: f(a+b) = f(a) +f(b)

Question 13

Ring def

Accepted Answer

Menge R und 2 Abbildungen +, *: (R,+) ist komm Gruppe Multiplikation ist assoziativ Es gilt Distributivgesetz:a*(b+c)= a*b+a*c (a+b)*c = a*c + b*c

Question 14

kommultativer RIng mit eins

Accepted Answer

Ring für den gilt: er ist kommultativ: a*b = b*a Er hat 1: 1 * a = a * 1 = a für alle a aus R Menge R und 2 Abbildungen +, *: (R,+) ist komm Gruppe Multiplikation ist assoziativ Es gilt Distributivgesetz:a*(b+c)= a*b+a*c (a+b)*c = a*c + b*c

Question 15

Körper def. (Ring)

Accepted Answer

Ein kommutativer Ring R mit Eins heißt Körper, falls 0 =\= 1 gilt und jedes a aus R ohne 0 invertierbar (bzgl. *) ist. invertierbar: Für alle a aus R existiert ein b so dass a * b = b*a = 1 gilt.

Question 16

Körper def (Gruppe)

Accepted Answer

Menge K mit 2 Abbildungen + und *: - (K,+) ist komm Gruppe - (K\{0}, *) ist komm Gruppe - Es gelten Distributivgesetze: a*(b+c) = a*b+a*c (a+b)*c = a*c + b*c

Question 17

bedeutung GLn(R) (n steht im index)

Accepted Answer

GLn(R) := Menge der invertierbaren Matrizen

Question 18

obere Dreiecksmatrix

Accepted Answer

Nulleinträge oberhalb der Diagonalen von Links unten nach rechts oben. formal: aij = 0 für alle i > j

Question 19

Permutationsmatrix def

Accepted Answer

IN jeder Zeile und Spalte steht genau eine 1 und sonst nur Nullen

Question 20

Rechenregeln Matrix transposition

Accepted Answer

(AT)T = A (A+B)T = AT + BT (A+B)T= BT * AT Seien A, B invertierbar:AT ist invertierbar (AT)-1 = (A-1)T A* B ist invertierbar mit (A*B)-1 = B-1 * A-1

Question 21

Notation Umformungen von Matritzen: Vertauschen zweier Zeilen von A Multiplizieren einer Zeile von A mit einem invertierbaren Skalar Addition eines Vielfachen einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A

Accepted Answer

Pij Mi(l) (lambda) Gij(l) (lambda)

Question 22

Treppennormalform einer bel. matrix mit Form nxm Wie können wir Matritzen dahin umformen? Wie sieht sie aus?

Accepted Answer

Es gibt invertierbare Matritzen S1, ..., St ∈ Kn,n (jeweils Produkte von Elementarmatritzen), so dass C = St*...*S1*A https://gyazo.com/e8c0f0df222b6ecdfd422552b9ab5e87

Question 23

LU - Zerlegung Was ist sie? Wann existiert sie? Wann ist sind die Matritzen invertierbar?

Accepted Answer

Für jede quadratische Matrix gibt es Matritzen P, L und U, so dass P einer Permutationsmatrix aus Knxn ist L untere Dreiecksmatrix mit 1 Diagonale (daher invertierbar) aus Knxn und U eine obere Dreiecksmatrix aus Knxn Existiert für alle quadratischen Matritzen U invertierbar <==> A invertierbar

Question 24

A, B in Treppennormalform mit gleicher Dimension. Sei Z eine invertierbare nxn Matrix mit A = Z*B ==> ??

Accepted Answer

A = B

Question 25

Rang einer Matrix def.

Accepted Answer

Die Anzahl r der Pivotpositionen in der Treppennormalform von A

Question 26

2 Matritzen A, B heißen Äquivalent, wenn

Accepted Answer

A, B ∈ K n, m es invertierbare Matritzen Q, Z gibt, wobei Q nXn ist und Z mXm mit A = Q B Z Äquivalenz von Matrizen eine Äquivalenzrelationauf der Menge Kn;m

Question 27

Gleichungssysteme Was ist ein homogenes (inhomogenes) Gls? Wie wird die Lösungsmenge von Ax = b bezeichnet? (Abkürzung)

Accepted Answer

Ax = b mit b= 0 (b=\= 0) L (A, b) mit einem geschwungenem L

Question 28

Ränge von Matritzen im Zusammenhang mit der Anzahl der Lösungen von Lin Gls *Lösung ist Leere Menge *genau 1 Lsg * viele Lsg, unendlich falls es unendlich viele Elemente hat

Accepted Answer

A ∈ Kn.m b ∈Kn,1 Rang(A) < Rang([a,b]) Rang(A) = Rang([A,b]) = m Rang(A) = Rang([A,b]) < m

Question 29

det(A* B) =

Accepted Answer

det(A) * det(B)

Question 30

Adjunkte iner Matrix def. Bedeutung?

Accepted Answer

adj(A) =[bi,j] bi,j = (-1)i+j * det(A(j,i)) A(j,i) := Matrix die entsteht, wenn j - Zeile und i- Spalte gestrichen wird falls A invertierbarsein sollte, bis auf einen skalaren Faktor als die Inverse von A heraus.

Question 31

Minor:

Accepted Answer

A(j,i) Matrix , die durch das Streichen der j -ten Zeile und der i -tenSpalte von A entsteht,

Question 32

Gleichung die Adjunkte erfüllt

Accepted Answer

A * adj(A) = adj(A) * A = det(A) *In für quadratische MAtrix mit n > 1 insbesondere ist A invertierbar < == > det(A) ist invertierbar

Question 33

charakteristisches Polynom def Satz von Satz von Cayley-Hamilton

Accepted Answer

PA = det(t I1 -A) PA(A) = 0 (beim einsetzen werden konstante Beträge als Einheitsmatrix mal den betrag abgezogen)

Question 34

Eigenvektor und Eigenwert def

Accepted Answer

Sei a ∈ Kn,n . Falls v ∈ Kn,1 \ {0} und lambda ∈ K die Gleichung A*v = lambda * v erfüllen, so heißt v Eigenvektor von A zum Eigenwert lambda

Question 35

1) v ist Eigenvektor was sind dann andere Eigenvektor? 2) wie berechent man Eigenwerte? 3) wann ist lambda = 0 ein Eigenwert? 4) Eigenwert und Transposition? 5) Eigenvektor und Transposition?

Accepted Answer

1) für a ∈ K \ {0} ist v mal a ein Eigenvektor 2) Eigenwerte sind die NS des charakteristischen Polynoms idee: det(lambda * In -A) = 0 ==> lambda * In -A nicht invertierbar ==> lin Gls L(lambda * In -A, 0) hat Lösung =/= 0. 3) wenn det(a) = 0 lambda = 0 ist Eigenwert <=> PA(0) = 0 = (-1)n *det(A) 4) Eigenwerte bleiben gleich PA = PAT 5) Eigenvektoren können sich verändern

Question 36

Kriterium für Invertierbarkeit duch Eigenewrte

Accepted Answer

invertierbar <==> 0 ist kein Eigenwert <=> 0 ist keine NS von PA

Question 37

Ähnlichkeit def. was kann man über charaktaristische polynom ähnlicher matritzen sagen?

Accepted Answer

*Zwei Matrizen A B ∈ Kn;n heißen ähnlich, wenn es eine Matrix Z ∈GLn(K) mit A = ZBZ-1 gibt. * PA = PB

Question 38

Spalten-stochastische Matrix def Eigenwert einer Spalten-stochastische Matrix

Accepted Answer

quadratisch alle einträge >= 0 und alle Einträge summieren sich jeweils auf 1 Eine spalten-stochastische Matrix A hat einen Eigenvektor zumEigenwert 1

Question 39

2 charakterisierungen von Unterräumen:

Accepted Answer

Sei (V, +, *) ein K Vektorraum und sei U Teilmenge von V. 1) Ist (U, +, *) ein K Vektorraum so ist es ein Unterraum 2) abgeschlossen bezüglich Addition und skalarer Multiplikation: v+w ∈ U für alle v,w aus U a*v ∈ U für alle a ∈ K und v ∈ U

Question 40

2 charakterisierungen von Unterräumen:

Accepted Answer

Sei (V, +, *) ein K Vektorraum und sei U Teilmenge von V. 1) Ist (U, +, *) ein K Vektorraum so ist es ein Unterraum 2) nicht leer , abgeschlossen bezüglich Addition und skalarer Multiplikation: v+w ∈ U für alle v,w aus U a*v ∈ U für alle a ∈ K und v ∈ U

Question 41

Lineare Hülle def. Sei V ein VR mit v1, .., vm aus V, nenne 3 Unterrüme von V!

Accepted Answer

Lineare Hülle von v1, ..., vn =Span(v1, ..., vn) = {Summe von i = 1 bis n über ai vi mit a1, ..., an ∈ K} {0}, V, Span(va, ..., vm)

Question 42

Vektoren v1, ..., vn heißen lin unabhängig, falls leere Liste unabhängig wann ist eine Menge von Vektoren linear unabhängig?

Accepted Answer

wenn aus Summe von i = 1 bis n über ai * vi = 0 mit a1, ..., an aus K folgt das a1= ...= an = 0 ist leere Liste ist lin unabhängig wenn jede Auswahl von endlich viele Vektoren lin unabhängig sind

Question 43

def Basis eines K VR Basis des Vektorraums {0}

Accepted Answer

Eine Menge {v1, ... ,vn} heißt Basis von V, falls sie eine Teilmenge von V ist; v1, ..., vn linear unabhängig sind Span{v1,..., vn} = V leere Menge

Question 44

Austauschsatz (

Accepted Answer

W= {w1, ..., wn} U= {u1, ..., um} mit W, U endlich und Teilmenge eines K Vektorraums Zusätzlich sei W linear Unabhängig Wenn W ⊆ Spann{u1, ..., um} gilt, so gilt n ≤ m Bei geeigneter Numerierung können u1, ..., un gegen die n Elemente von W ausgetauscht werden, so dass Span{w1 ,..., wn, un+1, ..., um} = Span{u1, um}

Question 45

Sei V ein K VR mit v1, ..., vn aus V lin unabhängig, wann ist (u1, ..., um) = (v1, ..., vn) *A lin unabhängig? mit A aus K nxm

Accepted Answer

<==> wenn rang(A) = m

Question 46

Unterräume Sien U und V Unterräume von W dann ist U Schnitt V und U plus V wieder ein Unterraum U+V sind alle Elemente aus W die sich als Element von U plus V darstellen lassen also als u +v

Accepted Answer

das war es schon, viel Erfolg noch und halte durch !

Question 47

Dimensionsformel für Unterräume Sei W ein K VR mit U,V Unterräume

Accepted Answer

dim(U ∩ V) + dim(V +W) = dim( U) + dim(V)

Question 48

eine Abbildung heißt linear def

Accepted Answer

f(x+y) = f(x) + f(y) f(a*x) = a* f(x), wobei a ein Skalar ist Die Menge der Lin Abbildungen von V nach W

Question 49

Homomorphismus def Isomorphismus def. Endomorphismus def Automorphismus

Accepted Answer

linear linear und bijektiv lineare Abb von V nach V bijektiver Endo

Question 50

Seien 2 Basen {v1, ..., vn} und {w1, ..., wn} gegeben. Wie viele L(V, W) gibt es, die f(vi) = wi für alle i aus 1 bis n erfüllt?

Accepted Answer

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LinAlg (Fach) / Lineare Algebra 1 und 2 (Lektion)