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Risikotheorie und -management (Fach) / Berechnungen Vorgehensweisen (Lektion)
- Einem Entscheider mit konstanter relativer Risikoaversion γ = 0.5 werden zwei Lotterien L1 = (0.5, 0.5) mit W1 = {10, 20} und L2 = (0.6, 0.4) mit W2 = {10, 40} angeboten. Für welche Wahrscheinlichkeit p ist der Entscheider zwischen beiden Lotterien indifferent? 1. Formel HARA ausrechnen 2. Sicherheitsäquivalent berechnen --> ∑ pw * u(ww) --> Wahrscheinlichkeit der Lotterie mal HARA mit w = Wahlausgang 3. Ergebnis aus 2 nach w von HARA umstellen 4. Differenzen der beiden Lotterien aus 3. berechnen --> Sicherheitsäquivalent wo beide indifferent sind
- Ein Investor besitzt eine konstante absolute Risikoaversion mit α = 1 und β = 0. Welcher Geldbetrag sofort und in bar stiftet dem Investor den gleichen Nutzen wie das unsichere Vermögen (Sicherheitsäquivalent), dass aus der Teilnahme an der Lotterie L = (0.25, 0.5, 0.25) mit W = {5, 12, 15} resultieren würde? Berechnen Sie außerdem die Differenz aus dem Erwartungswert der Lotterie und dem Sicherheitsäquivalent des Investors (Risikoprämie). 1. Erwartungswert ausrechnen --> Formel Neumann-Morgenstern-Erwartungsnutzen 2. Formel CARA --> Werte von Alpha und aus L und W einfügen --> Beta bleibt bestehen 3. E[u(w)] = u(w) --> nach w auflösen 4. Differenz aus Erwartungswert und w
- Der Wohlstand eines Wirtschaftssubjekts beläuft sich am Ende einer Finanzierungsperiode mit der Wahrscheinlichkeit p = 1/3 auf w1 = 3 und mit der Wahrscheinlichkeit 1 − p = 2/3 auf w2 = 6. Das Entscheidungsverhalten des Wirtschaftssubjekts wird durch die Nutzenfunktion u(w) = −w−1 abgebildet. a) Zeigen Sie, dass der Entscheider über abnehmende absolute Risikoaversion verfügt. b) Berechnen Sie die Risikoprämie des Wirtschaftssubjekts. c) Ermitteln Sie die Risikoprämie mit Hilfe der Approximationsformel --> Differenz zum exakten Ergebnis? a) abnehmende absolute Risikoaversion --> Ableitung von ARA b) Erst Erwartungswert berechnen, dann das Sicherheitsäquivalent mit der Nutzenfunktion ausrechnen --> Ergebnis mit Nutzenfunktion gleichsetzen und nach w auflösen --> Risikoprämie berechnen --> Erwartungswert - w* c) Formel approximative Risikoprämie --> Standardabw. für Varianz ausrechnen --> L1 * (W1-Erwartungswert)^2 + L2 * (W2-Erwartungswert)^2 --> alles in Formel einsetzen --> Differenz Risikoprämie und approximierte
- Es existieren zwei Wertpapiere A und B, mit erwarteter Rendite µA = 13% bzw. µB = 9% und Standardabweichung σA = 28% bzw. σB = 21%. Die beiden Wertpapiere sind unkorreliert. Bestimmen Sie das Minimum-Varianz-Portfolio. 1. Formel Varianz --> nach w umstellen --> plus in der Mitte wird zu Minus 2. Endformel der Umstellung = w= SigmaB^2 / sigmaA^2 + sigmaB^2 3. Werte in die Varianz Formel eintragen --> Lösung = Risiko des Portfolios
- Es existieren zwei Wertpapiere A und B, mit erwarteter Rendite µA = 4% bzw. µB = 8% und Standardabweichung σA = 11% bzw. σB = 19%. Die beiden Wertpapiere sind unkorreliert. Ein Investor besitzt bezüglich der Portfoliorendite RP das Nutzenfunktional U(RP) = µP − a 2σ2 P. a) Bestimmen Sie das nutzenmaximale Portfolio des Investors aus den Wertpapieren A und B für a = 2 und a = 4, sowie das Minimum-Varianz-Portfolio. Nun existiert zusätzlich die Anlagemöglichkeit in einen Sparbrief D mit risikoloser Rendite R0 = 3%. Das Marktportfolio weist die Parameter µMP = 6.5% und σMP = 12.6% auf. b) Bestimmen Sie den Anteil des Marktportfolios in Verbindung mit dem Sparbrief für a = 3 und a = 5. a) 1. Formel Erwartungswert --> anhängen der Nutzenfunktion des Investors und für die Varianz die Formel eintragen --> umstellen --> als Ergebnis erhält man Formel optimale Gewichtung 2. Werte einfügen für a=2 und a=4 3. Minimum-Varianz-Portfolio --> Werte in Formel w = SigmaB^2 / SigmaA^2 + SigmaB^2 b) 1. Formel optimales Portfoliogewicht --> Werte eintragen 2. Ergebnis = umso risikoaverser eine Person ist, desto geringer der Anteil an risikobehaftetem Marktportfolio und desto höher wird der Anteil an den risikolosen Alternativen
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