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KMKS (Fach) / KMKS (Lektion)

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• Complex Systems: Definition 1. They consist of a large number of interacting agents.2. They Exhibit Emergence; that is,self- organizing collective behavior difficult toanticipate from the knowledge of the agents’ behavior.3. Their emergent behavior doesn't result from the existence of a central controller
• System behavior is determined by: - connectivity patterns- coupling strength- interactions
• Continuous systems Continuous systems are those types of systems in which input and output signals are thesame at both the ends. In this type of system, variable changes with time and any type ofvariation is not found in the input and output signal. In response to the input signal, acontinuous system generates an output signal.
• Discrete systems In discrete systems, both input and output signals are discrete signals. The variables in thediscrete systems vary with time. In this type of system, the changes are predominantlydiscontinuous. The state of variables in discrete system changes only at a discrete set ofpoints in time
• Components of a Model 1. An abstract “output” parameter describing some system behavior aspect that wewant to know       - often several parameters spanning a multi dimensional space 2. Aset Abstract “control” variables on which the output depends 3. A relationship describing how the Output parameter(s) depends on the controlvariables
• Aims of the Model - Be able to predict the exact value of the output parameter at any time    - Not always feasible as models may not be exactly solvable - Be able to predict certain properties of the solution    - Stability: presence and conditions for equilibrium    - Periodicity
• Logistische Gleichung Die Gleichung ist ein Beispiel dafür, wie komplexes, chaotisches Verhalten aus einfachennichtlinearen Gleichungen entstehen kann.Die zugehörige Dynamik kann anhand eines sogenannten Feigenbaum Diagrammsveranschaulicht werden
• Stability - stable equilibrium is one that can be reached from a variety of starting conditions    - In particular from starting values that are near the equilibrium value - Unstable equilibrium means that starting values near the    - equilibrium value lead away from the equilibrium
• Phase space representation Green line: values of x(t) blue arrow: time red dot: equilibirum value for x(t) red line dotted: unstable equilibrium  red line solid: stable equilibirium 
• Lotka Voltera model H′ = bH − sHPP′ = − dP + esHP P = Population predator; H = Population Pray; d = Sterberate;b = Reproduktionsrate; s = food loot; e = efficiency; - From a random starting population animals move randomly around the area- At each step, a predator may die with a given probability p~d- At each step, a prey animal may procreate (one become two) with a given probabilityp~b- If a prey animal is too close to a predator, it is eaten (close means within the radiusr=f(s))- Predators procreate (one become two) with a probability proportional to:- The number of eaten prey since last procreation- Its efficiency „e“
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• Cobwebs und Konvergenz Cobweb plot, or Verhulst diagram is a visual tool used in the dynamical systems field ofmathematics to investigate the qualitative behaviour of one-dimensional iterated functions,such as the logistic map. Using a cobweb plot, it is possible to infer the long term status ofan initial condition under repeated application of a map. On the cobweb plot, a stable fixed point corresponds to an inward spiral, while an unstable fixed point is an outward one. It follows from the definition of a fixed point that these spirals will center at a point where the diagonal y=x line crosses the function graph. A period 2 orbit is represented by a rectangle, while greater period cycles produce further, more complex closed loops. A chaotic orbit would show a 'filled out' area, indicating an infinite number of non-repeating values. 
• Drawing a Cobweb To draw a cobweb diagram for the recursive formula an = f (an −1 ), proceed as follows.1. Graph (on the same rectangular coordinate system) the equations y = f(x) and y = x.2. Start at the point (a1, 0).3. Draw a line vertically to meet the graph of y = f (x). (Graph)4. Draw a line horizontally to meet the graph of y = x. (Winkelhalbierende)5. Return to step 3
• Bifurcation Eine Bifurkation oder Verzweigung ist eine qualitative Zustandsänderung in nichtlinearenSystemen unter Einfluss eines Parameters. Ein dynamisches System kann durch eine Funktion F(x) beschrieben werden, die diezeitliche Entwicklung des Systemzustands x bestimmt. Diese Funktion sei nun von einemParameter μ abhängig, was man durch die Schreibweise F(x, μ) ausdrückt. Wenn nun dasSystem für Parameterwerte unterhalb eines bestimmten kritischen Werts μc ein qualitativanderes Verhalten aufweist als für Werte oberhalb von μc, dann spricht man davon, dass dasSystem bei μc eine Bifurkation im Parameter μ erfährt. Der Parameterwert μc wird dann alsBifurkationspunkt bezeichnet.Die Änderung am Bifurkationspunkt besteht in den meisten Fällen entweder in einerÄnderung der Anzahl von Attraktoren wie Fixpunkte oder periodischen Orbits, oder eineÄnderung der Stabilität dieser Objekte.
• Saddle Node Bifurcation - Creation / Destruction of fixed points from / to nothing- Durch die änderung von μ (bsp rechts) verschiebt sich dieParabel nach oben oder unten, was verursacht, dass dieParabel die X-Achse entweder gar nicht schneidet, einmaltangiert oder 2 mal schneidet -> also kein Fixpunkt; 1 FlatFixpunkt; 2 Fixpunkte- 0 - 1 - 2 || 2 - 1 - 0
• Transcritical Bifurcation Bifurkation mit Sattelpunkt bei μ und jeweils 2 Fixpunkten für μ >0 und μ < 0- 2-1-2
• Pitchfork Bifurcation A system that‘s stable in one point divides into a system with one high and one low stableequilibrium- E.g.:instead of one stable population size there are now two options- Stable state of the system changes from symmetric to asymmetric: “spontaneous symmetry breaking” 1-3
• Cusp Catastrophe At a certain point, a small change of system parameter(s) causes a drastic change in system state- usually, accompanied by markedly different behaviourReturning to the original state can not be achieved by undoing the small change to the parameters- instead, a massive change is required Bsp:- A dog may respond by becoming cowed or becoming angry. The suggestion is that atmoderate stress (a > 0), the dog will exhibit a smooth transition of response fromcowed to angry, depending on how it is provoked. But higher stress levelscorrespond to moving to the region (a < 0). Then, if the dog starts cowed, it willremain cowed as it is irritated more and more, until it reaches the 'fold' point, when itwill suddenly, discontinuously snap through to angry mode. Once in 'angry' mode, itwill remain angry, even if the direct irritation parameter is considerably reduced.
• Hysteresis Hysteresis ist eine Änderung der Wirkung, die verzögert gegenüber einer Änderung derUrsache auftritt (z. B. bei der thermostatgesteuerten Heizung die Differenz von Ein- undAusschalttemperatur).[1] Hysterese charakterisiert ein – bezogen auf die Eingangsgröße(bei der Heizung die Soll-Temperatur) – variant verzögertes Verhalten der bewirktenAusgangsgröße (bei der Heizung die Ist-Temperatur), welche ihr Maximum bzw. ihrMinimum erreicht hat.
• Period-doubling bifurcation In mathematics, a period doubling bifurcation in a discrete dynamical system is a bifurcationin which a slight change in a parameter value in the system's equations leads to the systemswitching to a new behavior with twice the period of the original system. With the doubledperiod, it takes twice as many iterations as before for the numerical values visited by thesystem to repeat themselves.
• Chaos Definition Let S be a set. The mapping f : S -> S is said to be chaotic on S if :1. f hast sensitive dependence on initial conditions2. f is topologically transitive3. f has periodic points that are dense in S.
• Sensitive dependence In chaos theory, the butterfly effect is the sensitive dependence on initial conditions inwhich a small change in one state of a deterministic nonlinear system can result in largedifferences in a later state. (Wikipedia)
• Topologically transitive A function f is topologically transitive if, given any two intervals U and V, there is somepositive integer k such that  ft(U)ΛV≠0 . Vaguely, this means that neighborhoods ofpoints eventually get flung out to "big" sets so that they don't necessarily stick together inone localized clump
• Dense in S Let I be an interval of R. A subset J of I is dense in I if the closure of J coincides with I. In other words, any neighborhood of any point in I contains points in J. For example, the set of rational numbers Q is dense in R
• Ways into chaos Infinite sequence of Period Doubling Bifurcations Is not the only way for a deterministicsystem to decay into chaos„Intermittency Route”- For small values of a given control parameter thesystem has periodic behaviour- Once the parameter is slightly past the critical value, thestable trajectory breaks down in short, seemingly random- “Bursts” aren’t correlated with the system periodicity- When the parameter increases further, the stable trajectorydisappears completely
• Deterministic Chaos If there is no stable behaviour and no equilibria, how to describe a chaotic system?    1. Show the limits where the system transitions into chaos    2. Quantify the amount of divergence / instability    3. Unstable doesn't mean there‘s no useful description        - Strange attractors and fractal
• Sharkovsky ordering Rule to infer additional periodic orbits from already known onesThe Sharkovsky ordering describes the coexistence of cycles with different periods fordiscrete-time dynamical systems given by maps f:I→I , where I is an interval in the real line ℝ, and, possibly I=ℝ . One can also say that it provides a forcing relation for the existence ofcycles of certain periods due to the presence of a cycle of another period.
• Lypunov Exponent Metric for the sensitivity of a system in relation to initial conditionsDer Ljapunow-Exponent eines dynamischen Systems beschreibt die Geschwindigkeit, mitder sich zwei (nahe beieinanderliegende) Punkte im Phasenraum voneinander entfernenoder annähern (je nach Vorzeichen). Pro Dimension des Phasenraums gibt es einenLjapunow-Exponenten, die zusammen das sogenannte Ljapunow-Spektrum bilden. Häufigbetrachtet man allerdings nur den größten Ljapunow-Exponenten, da dieser in der Regeldas gesamte Systemverhalten bestimmt.
• Strange Attractor A strange attractor is an attractor where orbits are spatially restricted, but where they can bechaotic anyway because of the fine distribution within the restricted space Ein seltsamer Attraktor ist ein Attraktor, also ein Ort im Phasenraum, der den Endzustandeines dynamischen Prozesses darstellt, dessen fraktale Dimension nicht ganzzahlig unddessen Kolmogorov-Entropie echt positiv ist. Es handelt sich damit um ein Fraktal, das nichtin geschlossener Form geometrisch beschrieben werden kann. Gelegentlich wird auch derBegriff chaotischer Attraktor bevorzugt, da die „Seltsamkeit“ dieses Objekts sich mit denMitteln der Chaostheorie erklären lässt. Der dynamische Prozess zeigt ein aperiodischesVerhalten.
• Attractor ein Begriff aus der Theorie dynamischer Systeme und beschreibt eine Untermenge einesPhasenraums (d. h. eine gewisse Anzahl von Zuständen), auf die sich ein dynamischesSystem im Laufe der Zeit zubewegt und die unter der Dynamik dieses Systems nicht mehrverlassen wird. Das heißt, eine Menge von Variablen nähert sich im Laufe der Zeit(asymptotisch) einem bestimmten Wert, einer Kurve, oder komplexerem (also einer Regionim n-dimensionalen Raum) und bleibt dann im weiteren Zeitverlauf in der Nähe diesesAttraktors. Ein Attraktor erscheint als klar erkennbare Struktur. Umgangssprachlich könnteman von einer Art „stabilen Zustands“ eines Systems sprechen (wobei auch periodisch, alsowellenartig wiederkehrende Zustände oder andere erkennbare Muster gemeint seinkönnen), also ein Zustand, auf das sich ein System hin bewegt. Das Gegenteil einesAttraktors wird Repellor oder negativer Attraktor genannt. Bei der Untersuchung dynamischer Systeme interessiert man sich vor allem für dasVerhalten für bei einem bestimmten Anfangszustand. Der Grenzwert in diesemFall wird als Attraktor bezeichnet. Typische und häufige Beispiele von Attraktoren sind:- asymptotisch stabile Fixpunkte: Das System nähert sich immer stärker einembestimmten Endzustand an, in dem die Dynamik zum Erliegen kommt, es entstehtein statisches System. Typisches Beispiel eines solchen Systems ist ein gedämpftesPendel, das sich dem Ruhezustand im tiefsten Punkt annähert.- (asymptotisch) stabile Grenzzyklen: Der Endzustand ist die Abfolge gleicherZustände, die periodisch durchlaufen werden (periodische Orbits). Ein Beispieldafür ist die Simulation der Räuber-Beute-Beziehung, die für bestimmte Parameterder Rückkopplung auf ein periodisches Ansteigen und Absinken derPopulationsgrößen hinausläuft.
• Hausdorf (Fractal) Dimension The dimension of a space is defined as the amount of information required to describe apoint within Dimension D defniniert als:          a = s D bzw. D = log a / log s a = Anzahl der Teile, aus der eine Struktur auf der nächst tieferen Ebene besteht.  s = Skalierungsfaktor zwischen zwei Ebenen. 
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• Hausdorf Fractale Beispiele                                Anzahl a     |     Skalierung s       |     Diemension Cantor-Menge:                 2                      3.0                      log 2 / log 3 = 0.631 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Koch-Kurve:                     4        |            3.0             |        log 4 / log 3 = 1.262  ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Sierpinski-Dreieck:           3        |            2.0             |        log 3 / log 2 = 1.585
• Cantor Set The Cantor ternary set C  is created by iteratively deleting the open middle third from a set of line segments. One starts by deleting the open middle third (1/3, 2/3) from the interval [0, 1], leaving two line segments: [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. Next, the open middle third of each of these remaining segments is deleted, leaving four line segments: [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]. This process is continued ad infinitum.  __________________________________________ ______________                         ______________ ____         _____                         _____       _____

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